莫正云

[摘 要]《數(shù)學課程標準》指出：“數(shù)學教學要讓學生能根據(jù)解決問題的需要，收集有用的信息并進行歸納、類比與猜測，發(fā)展初步的合情推理能力?！币虼耍n堂教學中，教師要引導學生經(jīng)歷數(shù)學思考的過程，使他們感悟合情推理的方法，培養(yǎng)與發(fā)展學生的合情推理能力。

[關鍵詞]數(shù)學教學 數(shù)學思考 合情推理 培養(yǎng)

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）08-056

《數(shù)學課程標準》指出“數(shù)學教學要讓學生能根據(jù)解決問題的需要，收集有用的信息并進行歸納、類比與猜測，發(fā)展初步的合情推理能力”，這里說明了培養(yǎng)學生合情推理能力的重要性。而小學生的年齡和認知特點也決定他們不可能通過嚴密的邏輯推理去獲取知識，數(shù)學猜想、列舉歸納、類比遷移等合情推理的方法便成為他們重要的學習方式。

一、對合情推理的本質(zhì)解讀

推理主要有演繹推理、歸納推理、類比推理。其中，歸納推理有完全歸納和不完全歸納兩種情況，完全歸納是確定性推理，不完全歸納是或然性推理。人們把結論具有或然性的不完全歸納推理和類比推理稱為合情推理。數(shù)學合情推理是直接反映數(shù)學對象、結構以及關系的思維活動，思維者不是按部就班地進行推理，而是對思維對象從整體上進行考察，調(diào)動自身的全部知識經(jīng)驗，通過豐富的想象做出敏捷而迅速的假設、猜想或判斷，這種思維過程是由特殊到一般的推理過程?？茖W家凱德洛夫明確指出：“沒有任何一個創(chuàng)造性行為能離開合情推理?！币簿褪钦f，任何一個概念的建立，總是先猜測、發(fā)現(xiàn)一定的規(guī)律、內(nèi)容，再進行檢驗、完善、修改，然后加以類比。其中一次次的嘗試，需要充分運用的不是論證推理，而是合情推理，其實質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)——猜想”。

二、培養(yǎng)合情推理能力的方法

徐利治教授指出：“數(shù)學合情推理能力是可以后天培養(yǎng)的，實際上每個人的數(shù)學合情推理能力也是不斷提高的?！蹦敲?，如何在課堂教學中使學生學會合情推理，掌握合情推理的方法，進而形成合情推理的能力呢？

1.創(chuàng)設問題情境，激發(fā)猜想的需要

一切探究活動都是從問題開始的，只有當學生自己感到問題的存在，不得不問“為什么”“是什么”“怎么辦”時，思維活動才真正開始。因此，要使學生學會合情推理，教師要善于把教學內(nèi)容改編成適合學生推理的內(nèi)容，設計能夠激發(fā)猜想的問題。

（1）增強生活趣味。

教師可根據(jù)教學內(nèi)容、生活實際和學生的求知心理，把學生引入?yún)⑴c問題解決的情境中，激發(fā)他們的學習興趣，使他們產(chǎn)生進行推理的動機。例如，教學圓錐的體積計算公式時，教師可創(chuàng)設這樣的情境：“誰能猜猜圓錐容器中的果汁有多少？（提供選擇的范圍）猜對了就送給他?！钡谝槐聦α?，學生很想再猜第二次，教師馬上拿出第二杯果汁——高度不變，但底面積變大。有學生猜出果汁比原來多，于是教師又送出第二杯果汁。這時，其他學生急了，嚷著還要猜，教師拿出第三杯果汁——體積變高，但底面積變小了。有學生猜果汁變多了，有學生猜果汁變少了，最后學生通過討論一致認為不好猜。教師問：“看來，圓錐的體積和什么有關？（底面積和高）下面，讓我們用實驗一起驗證我們的猜想?！薄杂螒虻男问絼?chuàng)設與學生密切相關的生活情境，再引導學生合情推理圓錐的體積計算公式，教學自然水到渠成。

（2）增強數(shù)學思考性。

根據(jù)學生學習水平設計具有探索性、挑戰(zhàn)性的數(shù)學問題，同樣可以激發(fā)學生猜想的需要。例如，教學“圓面積”一課時，教師可先提供圓面積與半徑的關系（如右圖），讓學生猜想圓面積和半徑有怎樣的關系、圓面積大約在什么范圍內(nèi)。學生邊觀察邊猜想，從圓面積與外接正方形面積的估計中，從以半徑為邊的小正方形面積與圓面積的包容比較中，進行多種猜測和估計。這樣就初步從整體上把握圓面積大小的本質(zhì)，進一步理解與解決問題了。

2.結合教學內(nèi)容，滲透合情推理的方法

（1）在不同知識領域中運用。

其實，學生合情推理能力的培養(yǎng)在“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計與概率”及“實踐與綜合應用”等課程內(nèi)容中也有體現(xiàn)。例如，在“數(shù)與代數(shù)”的教學中，計算要依據(jù)一定的規(guī)則（如公式、法則、運算律等），而計算中的推理（算理）、現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系等，往往有其自身的規(guī)律。如找60的因數(shù)，不同的學生會得到不同的結果：6和10;3和20;1和60……學生進行討論交流時，會發(fā)現(xiàn)這幾對因數(shù)之間的關系：6乘2得12，10除以2得5，60的一對因數(shù)是12和5……如果學生繼續(xù)舉例探究，會這樣歸納：把一對因數(shù)中的一個因數(shù)除以某個數(shù)（商是整數(shù)），另一個因數(shù)乘以這個數(shù)，就能得到一對新的因數(shù)。在這樣的過程中，學生實際上運用了合情推理中的簡單歸納推理。

（2）在新舊知識聯(lián)系中運用。

教師在教學中要將新知識與舊知識進行類比，既可以降低新知識的教學難度，起到化難為易的作用，又可以鞏固學生已學的舊知識，溝通新舊知識間的聯(lián)系。例如，教學“分數(shù)的基礎性質(zhì)”時，教師可以先讓學生復習商不變的規(guī)律，然后引導學生：“如果把每個除法都改寫成分數(shù)，推理一下，分數(shù)是不是也有什么性質(zhì)呢？”經(jīng)教師啟發(fā)后，學生發(fā)現(xiàn)分數(shù)的分子、分母相當于除法里的被除數(shù)、除數(shù)，既然在除法中有商不變的規(guī)律，那么分數(shù)里也應該存在分數(shù)大小不變的規(guī)律，進而發(fā)現(xiàn)“分數(shù)的分子和分母同時乘或者除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變”這一基本性質(zhì)。

3.提供豐富的素材，搭建合情推理的階梯

合情推理能力的培養(yǎng)，是以學生已有的數(shù)學知識和經(jīng)驗為基礎的。因此，教師要為學生提供合適的學習素材，激活學生相關的知識與經(jīng)驗，為學生搭建、接近正確結論的階梯。例如，教學“探索圖形覆蓋規(guī)律”一課時，教師為學生提供以下充足的探索素材：1～10、1～15、4～15三種不同的數(shù)表，每次框2個數(shù)、每次框3個數(shù)及每次框4個數(shù)的數(shù)框。教師提問：“有幾種不同的和可能與什么有關？”學生有的說與框的總數(shù)有關，有的說與每次框的個數(shù)有關，還有的說與數(shù)框平移的次數(shù)有關……然后教師組織學生根據(jù)猜想和提供的材料進行小組合作探究，學生通過多次實驗比較及不完全歸納得出結論：數(shù)的總個數(shù)-每次框的個數(shù)+1=不同和的個數(shù)。試想：“如果教師不提供上述素材，直接提出猜測的問題，則學生的推理會變成沒有任何思維含量的臆測。如果教師提供的只是一種數(shù)表或一種數(shù)框，學生的推理就顯得片面、不完整，給人巧合的感覺，其結論當然不為學生所信服?！?/p>

4.分析驗證結論，發(fā)展合情推理的能力

培養(yǎng)合情推理的能力，還可以選取一些典型的數(shù)學結論的創(chuàng)造過程，讓學生通過模仿和實踐驗證，在實踐活動中發(fā)展合情推理能力。例如，教師可以利用多邊形內(nèi)角和的公式，引導學生通過列舉三角形、四邊形、五邊形、六邊形等圖形的內(nèi)角和，經(jīng)過計算明確內(nèi)角和計算公式的來龍去脈，使學生的合情推理能力得到進一步發(fā)展。

三、合情推理能力的培養(yǎng)要明確幾個問題

1.合情推理能力的培養(yǎng)不是孤立的

合情推理與演繹推理既不相同，又相輔相成，兩者緊密結合。由合情推理得到的猜想，往往通過演繹推理得出證明;演繹推理需要建立在合情推理的“發(fā)現(xiàn)——猜想”之上。合情推理能力不是孤立發(fā)展的，必須與觀察力、想象力、創(chuàng)造力、表達力等多種能力相互作用，才能得以發(fā)展。

2.合情推理能力的培養(yǎng)具有差異性、層次性

合情推理能力的培養(yǎng)必須考慮學生的身心特征與學習水平，注意層次性。同時，教師還要關注學生的個體差異，因為不同學生的知識水平、思維方式不同，思維能力的形成會存在較大差異。課堂教學中，教師應針對學生的個體差異，制定不同的要求，把學生掌握推理的過程變?yōu)閷W生的自覺要求。長此以往，學生獲得的不僅僅是知識，更重要的是數(shù)學思維的發(fā)展與數(shù)學素養(yǎng)的提高。

（責編 杜 華）