張瑤

摘 要：功是在認(rèn)識(shí)能量的過(guò)程中產(chǎn)生的一個(gè)物理概念。歷史上對(duì)功的認(rèn)識(shí)比對(duì)能量的認(rèn)識(shí)晚，其認(rèn)識(shí)過(guò)程是一個(gè)漫長(zhǎng)的歷史過(guò)程。直到現(xiàn)在，人們還不斷地對(duì)功進(jìn)行認(rèn)識(shí)和探究。本文結(jié)合物理學(xué)史對(duì)功進(jìn)行了再認(rèn)識(shí)，認(rèn)為不管對(duì)功作何理解，都不能脫離“功是能量轉(zhuǎn)化的量度”這一實(shí)際意義。

關(guān)鍵詞：功；能量；動(dòng)能；位移；受力質(zhì)點(diǎn)元

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2015）5-0047-3

目前，對(duì)功的理解眾說(shuō)紛紜，各自都有一些道理。但有些理解存在欠妥之處，如功的概念，特別是對(duì)功的表達(dá)式中位移的理解，人們對(duì)其爭(zhēng)論不休，各執(zhí)一詞。有的認(rèn)為，該位移是物體的位移，而有的認(rèn)為該位移應(yīng)該是作用點(diǎn)的位移，等等。這讓很多學(xué)習(xí)者感到很困惑，特別是對(duì)中學(xué)生來(lái)說(shuō)，功的概念本來(lái)就很抽象，剛接觸到功的概念，對(duì)功的理解難度就較大，如功的物理意義，計(jì)算力做的功時(shí)應(yīng)該用什么位移等。因此，這也引起了不少中學(xué)物理教師對(duì)這一問(wèn)題的思考，以及對(duì)這一概念的進(jìn)一步探討和認(rèn)識(shí)。

本文將從以下三點(diǎn)談?wù)劰P者對(duì)功的認(rèn)識(shí)和理解。

1 歷史上對(duì)功的認(rèn)識(shí)

科學(xué)并沒(méi)有捷徑，道路是曲折而艱辛的。如對(duì)功這一概念的認(rèn)識(shí)，并不是像中學(xué)生接觸這一概念時(shí)想象的那么簡(jiǎn)單，而是經(jīng)歷了很多科學(xué)家的努力，最終才使這一概念清晰明了。

對(duì)功的認(rèn)識(shí)，可以從笛卡兒學(xué)派和萊布尼茲學(xué)派關(guān)于“運(yùn)動(dòng)量度”的一場(chǎng)曠日持久的爭(zhēng)論說(shuō)起。經(jīng)過(guò)對(duì)碰撞問(wèn)題的研究，笛卡爾認(rèn)為用“運(yùn)動(dòng)量”（也就是現(xiàn)在所說(shuō)的動(dòng)量）作為物體運(yùn)動(dòng)的量度；而萊布尼茲主張用“活力”（也就是現(xiàn)在所說(shuō)的動(dòng)能）作為物體運(yùn)動(dòng)的度量。萊布尼茲的觀點(diǎn)是繼承了惠更斯的思想?；莞菇?jīng)過(guò)碰撞實(shí)驗(yàn)的研究后，得到“在兩個(gè)物體碰撞中，它們的重量及其速度平方乘積之和，在碰撞前后保持不變”的結(jié)論，即mv2不變。而導(dǎo)致mv2發(fā)生變化的是力對(duì)空間的積累效應(yīng)，這使得功這一概念開始萌芽。

萊布尼茨認(rèn)為，把重物舉到一定的高度。只要重物“大的程度”（也就是現(xiàn)在所說(shuō)的質(zhì)量或重力）與被舉起的高度的乘積具有相同值，重物將獲得相同的“活力”。后來(lái)，工程師卡諾在他的論文中，確立了活力與機(jī)械功之間的關(guān)系，并用重物“大的程度”與被舉起的高度的乘積來(lái)評(píng)價(jià)機(jī)器的作用，他把這一乘積稱為“作用距”。而蒙日把這一乘積稱為“動(dòng)力效應(yīng)”。之后，科里奧利建議把■mv2作為“活力”，將F·S命名為“功”。并且蓬瑟勒繼續(xù)保持了這種用法，他采用“千克·米”作為功的單位。現(xiàn)在我們雖繼續(xù)延用這一概念，但單位是“牛頓·米”，或“焦耳”。

2 對(duì)“功是能量轉(zhuǎn)化的量度”這一物理意義的理解

正如本文前面所說(shuō)，功是力對(duì)空間的積累效應(yīng)，之所以出現(xiàn)這一概念，是為了度量能量變化的多少。從牛頓第二定律F=m■中可以推論出質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理，而功的定義式的依據(jù)正是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理。將上式兩邊同時(shí)點(diǎn)乘元位移dr，即F·dr=m■·dr=m■·dv，在該式中，v是F直接作用的質(zhì)點(diǎn)的速度，因此如果dr是此受力質(zhì)點(diǎn)的元位移，那么dr=vdt，則有：

F·dr =mv·dv=d（■mv2）。

即元功d（A）=d（■mv2），此式是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式。

它表明：功是引起動(dòng)能變化的原因。因此，可以用功來(lái)度量動(dòng)能變化的多少。這只是在機(jī)械功的范圍，推廣到所有非熱傳遞引起的能量的變化，也可以用功來(lái)度量。所以說(shuō)，功的物理意義是“能量轉(zhuǎn)化的量度”，對(duì)功的任何理解都不能脫離這一物理意義。

3 對(duì)功的表達(dá)式中位移的理解

對(duì)功的表達(dá)式中的位移，引起了很多爭(zhēng)論，特別是在中學(xué)教學(xué)中。由于教學(xué)知識(shí)的局限性，加上人教版教材《物理2》（必修）對(duì)這個(gè)位移沒(méi)有指明是什么的位移，而魯科版教材《物理2》（必修）把這個(gè)位移明確為物體的位移，這就讓人更加困惑了。所以，有人說(shuō)應(yīng)理解為物體的位移，而有人說(shuō)應(yīng)理解為作用點(diǎn)的位移，還有其他一些觀點(diǎn)，但持這兩種觀點(diǎn)的人較多。持第一種觀點(diǎn)的人大多都搬出這樣一類的例子來(lái)證明自己的觀點(diǎn)：

例1 人抱在粗糙的電桿上，緩慢往下運(yùn)動(dòng)，問(wèn)人對(duì)電桿是否做功？

很顯然，根據(jù)生活實(shí)際，人對(duì)電桿是不做功的。理由是，電桿雖然受到人施加的摩擦力，但電桿并沒(méi)有發(fā)生位移，所以人對(duì)電桿不做功。如果把表達(dá)式中的位移看成作用點(diǎn)的位移，那么人對(duì)電桿的摩擦力的作用點(diǎn)是有位移的，所以人對(duì)電桿就做了功，這與生活實(shí)際相矛盾。

持第二種觀點(diǎn)的人大多搬出另外一類例子來(lái)證明自己的觀點(diǎn)：

例2 如圖1所示，質(zhì)量為m的物體上固定一光滑滑輪（質(zhì)量不計(jì)），放在傾角為θ的光滑斜面上的M點(diǎn)（用手扶著）。斜面頂端系一根不可伸長(zhǎng)的輕繩，輕繩繞過(guò)滑輪且與斜面平行，現(xiàn)用一豎直向上的力F拉繩子另一端，使物體緩慢沿斜面向上運(yùn)動(dòng)s的距離。問(wèn)該過(guò)程中力F對(duì)物體做了多少功？

解析 根據(jù)功的表達(dá)式W=Fscosα，可以證明，題目中的F=■是一個(gè)恒力，而位移應(yīng)該是圖2中的s'，而不是物體的s，設(shè)F與s'的夾角為β，則s與G'的夾角也為β，且β=■，則：s'=2scosβ。所以，F(xiàn)對(duì)物體做的功

W=Fs'cosβ=2Fscos2β=Fs（1+sinθ）。

■

圖2 例2分析圖

如果將F代入上式，那么，W=mgssinθ，這與實(shí)際情況是相符合的。但是，把物體的位移s代入功的計(jì)算式，將會(huì)得到W=Fssinθ≠mgssinθ，這與實(shí)際情況相違背。

其實(shí)，無(wú)論是哪種理解，都不能脫離“功是能量轉(zhuǎn)化的量度”這一實(shí)際意義。從上面質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分式中可以看出，公式中的位移應(yīng)該是受力質(zhì)點(diǎn)的位移，不能簡(jiǎn)單地理解為物體的位移或作用點(diǎn)的位移。這在高等教育出版社出版的普通物理學(xué)教程《力學(xué)》第四章第2節(jié)有明確的表述和論證，功的表達(dá)式中位移是受力質(zhì)點(diǎn)元的位移。

如果受力物體是剛體，且剛體只有平動(dòng)，例1中的觀點(diǎn)是正確的。這種情況下，只是受力質(zhì)點(diǎn)元發(fā)生了轉(zhuǎn)移，并非位移。如果只局限于中學(xué)物理知識(shí)范圍，可以認(rèn)為受力質(zhì)點(diǎn)元和力的作用點(diǎn)重合，例2的觀點(diǎn)也是正確的。

但是，位移是一個(gè)相對(duì)量，在計(jì)算功時(shí)，要明確受力質(zhì)點(diǎn)元的位移是相對(duì)于哪個(gè)參考系的位移。從下面的例子可以看出。

例3 在傾角為θ的粗糙斜面上有一半徑為R的圓柱體，由靜止開始無(wú)相對(duì)滑動(dòng)地滾下。求斜面對(duì)圓柱體做的功？

解析 首先，要明確該題中的摩擦力為滾動(dòng)摩擦力。若選斜面為參考系，則摩擦力不做功，圓柱體的機(jī)械能守恒。因?yàn)閷?duì)于斜面，圓柱體受力質(zhì)點(diǎn)元沒(méi)有發(fā)生位移，故摩擦力做功為零；若選圓柱體的中心軸為參考系，那么摩擦力做功，使圓柱體的部分平動(dòng)能轉(zhuǎn)化成了轉(zhuǎn)動(dòng)能，但是轉(zhuǎn)化的過(guò)程中并不消耗機(jī)械能。

總之，對(duì)功的理解，應(yīng)該結(jié)合物理學(xué)史，不能背離功的實(shí)際意義，那么對(duì)功就不難理解。跳出中學(xué)物理知識(shí)的局限范圍，可以發(fā)現(xiàn)，功的表達(dá)式中的位移指的是受力質(zhì)點(diǎn)元的位移，并不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為是物體的位移或作用點(diǎn)的位移。

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（欄目編輯 陳 潔）