王春敏

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院鎮(zhèn)江分院 基礎(chǔ)部,江蘇 鎮(zhèn)江 212016)

隨機(jī)自共形測度關(guān)于幾何均值誤差的量子化維數(shù)

王春敏

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院鎮(zhèn)江分院 基礎(chǔ)部,江蘇 鎮(zhèn)江 212016)

主要證明強(qiáng)分離條件下,隨機(jī)自共形測度關(guān)于幾何均值誤差的量子化維數(shù)與其Hausdorff維數(shù)相等。

隨機(jī)自共形測度;量子化維數(shù);強(qiáng)分離條件

1 幾何均值誤差的量子化維數(shù)及主要結(jié)果

量子化問題起源于信號傳輸和數(shù)據(jù)壓縮的相關(guān)理論。從數(shù)學(xué)角度來講,量子化的主要意義在于用具有有限支撐的離散概率測度逼近給定的概率測度。用分形進(jìn)行量子化處理的噪聲趨向于0的速度明顯快于歐式空間中的普通子集。量子化維數(shù)的定義最先由Zador[1]給出,隨著人們對隨機(jī)分形集所支撐的測度產(chǎn)生興趣,許多研究者開始探索隨機(jī)測度的多重分形性質(zhì)與維數(shù),Arbeiter與Patzschke[2]探討了隨機(jī)自相似測度的多重分形性質(zhì),給出了隨機(jī)自相似測度的Hausdorff維數(shù)公式。在隨機(jī)測度的量子化維數(shù)研究方面,Dai與Tan[3]探討了隨機(jī)自相似測度的量子化維數(shù),并證明了隨機(jī)自相似測度與其分布之間的關(guān)系。Zhu[4]研究了r→0時(shí)自共形測度的量子化維數(shù)的幾何誤差,即當(dāng)r→0時(shí),r階量子化誤差收斂于幾何均值誤差[1]。而與非隨機(jī)分形相比,隨機(jī)分形通常與自然現(xiàn)象更接近。研究隨機(jī)測度μ關(guān)于幾何均值誤差的量子化維數(shù)及其與Hausdorff維數(shù)之間的關(guān)系非常有意義。

|S′(x)-S′(y)|≤CS|x-y|γ,

x,y∈U,其中S′(x)是S在x處的導(dǎo)數(shù),|S′(x)|是導(dǎo)數(shù)的算子范數(shù)。

令N≥2且是整數(shù),給出N個(gè)共形微分同胚Si:U→Si(U),i=1,…,N,考慮積空間

那么滿足上述3個(gè)條件的(Ω0,F0)上的概率測度P0叫做隨機(jī)共形函數(shù)系。

對隨機(jī)變量(S1,…,SN;p1,…,pN),如果有

那么這個(gè)唯一的緊致隨機(jī)集E?U稱為與P0相關(guān)的隨機(jī)自共形集,其中Ei(i=1,2,…,N)是E獨(dú)立于(S1,…,SN;p1,…,pN)的復(fù)制。類似地,存在使得supp(Φ)=E的與P0相關(guān)的有限隨機(jī)測度μ滿足

其中μi(i=1,2,…,N)是μ獨(dú)立于(S1,…,SN;p1,…,pN)的復(fù)制。若Si是相似映射,則上述隨機(jī)集是自相似集,測度是隨機(jī)自相似測度。

由文獻(xiàn)[5]可知,Rd上隨機(jī)測度μ關(guān)于幾何均值誤差的量子化誤差定義為

(1)

其中

如果對某些 1≤card(α)≤n的集合α?Rd,式(1)中的最小值能夠取到,那么這個(gè)集合α叫做μ的n-最優(yōu)集。n-最優(yōu)集的全體用Cn(μ)表示。在某些約束條件下,當(dāng)n→∞時(shí),en(μ)→0。定義

(2)

如果

則D(μ)稱為μ關(guān)于幾何均值誤差的量子化維數(shù)。

Graf與Luschgy[5]證明了開集條件下,Rd上自相似測度的0階量子化維數(shù)等于其Hausdorff維數(shù),Zhu[4]證明了強(qiáng)分離條件下自共形測度有相同的結(jié)論。本文主要證明強(qiáng)分離條件下,支撐在隨機(jī)自共形集E上的隨機(jī)自共形測度關(guān)于幾何均值誤差的量子化維數(shù)與其Hausdorff維數(shù)相等。

定理強(qiáng)分離條件下,與隨機(jī)變量(S1,…,SN;p1,…,pN)相關(guān)的隨機(jī)自共形測度μ有

D(μ)=dimH(μ)

以概率1成立。

2 隨機(jī)自共形測度及相關(guān)性質(zhì)

用[σ]={τ∈Σ:στ}表示以σ開頭的序列的柱集,其中σ∈Σ*。令是Ω上的σ-代數(shù),P是Ω上每個(gè)部分都有P0的積測度,則稱P是隨機(jī)共形迭代函數(shù)系。

dist(Ei,Ej)≥δmax{|Ei|,|Ej|}

(1≤i≠j≤N)以概率1成立,其中|Ei|表示Ei的直徑。注意到Si(E)?E,i,j=1,2,…,N,歸納可知,對任意兩個(gè)互不相容的詞σ,τ∈Σ*,有

dist(Eσ,Eτ)≥δmax{|Eσ|,|Eτ|}

(3)

以概率1成立。

對每個(gè)τ∈Σ*,記

由文獻(xiàn)[6]知,存在常數(shù)C≥1使對所有的x,y∈E,

(4)

以概率1成立。這意味著對所有的x,y∈E有

(5)

以概率1成立。

令

顯然0

(6)

(7)

以概率1成立。同時(shí)，對τ∈Σ*有

(8)

以概率1成立,其中Eτ:=Sτ(E)。

為了證明本文定理,還需要?jiǎng)e的記號。定義映射h:Ω×Σ→E為

其中x0∈Rd是任意點(diǎn)。由式(7)知,對ω∈Ω,上述極限存在且不依賴于x0的選取以概率P成立。然后,定義隨機(jī)變量

(9)

對每個(gè)n∈Ν,令

Γn:={τ∈Σ*:Εpτ-≥n-1pmin≥Εpτ},

易知

定義

同時(shí)，令

由文獻(xiàn)[4]可知下面的性質(zhì)。

3 定理的證明

引理1存在常數(shù)M0,λ>0,使對x∈Rd以及ε>0,有

μ(B(x,ε))≤M0ελ

(10)

以概率1成立。

證明令

ε0:=δmin{|Ei|:1≤i≤N}。

由文獻(xiàn)[5]的引理12.3知,欲證引理1成立,只需證式(10)對x∈E及所有的ε∈(0,ε0)成立即可。

對x∈E及ε∈(0,ε0),存在τ∈Σ*使x∈Eτ,δ|Eτ|≤ε<δ|Eτ-|。因此由式(2)知B(x,ε)∩E?Eτ-。從而有

(11)

以概率1成立。

由式(8)及式(6)可知，

以概率1成立。因此

以概率1成立,由式(11)可得,

令

可證引理1成立。

用(A)ε表示A?Rd的閉ε鄰域。對有限集β?Rd及τ∈Σ*,定義

χβ(τ):=card(β∩(Eτ)8-1δ|Eτ|),

則可得引理2。

引理2對任意有限集β?Rd,τ∈Σ*,存在常數(shù)M≥1,使

(12)

以概率1成立。特別地,如果β?(Eτ)8-1δ|Eτ|,那么

以概率1成立。

證明令M:=[(16δ-1+2)d]+1,則Eτ可以被M個(gè)中心在其內(nèi)部,半徑為8-1δ|Eτ|的閉球覆蓋?？上瓤紤]由中心在Eτ內(nèi)、半徑為16-1δ|Eτ|的閉球組成的Eτ的一個(gè)最大覆蓋P,然后，把半徑擴(kuò)大2倍得到Eτ的覆蓋。通過體積估計(jì)知

card(P)(16-1δ|Eτ|)d≤((1+8-1δ)|Eτ|)d。

由式(7)得

以概率1成立。如果β?(Eτ)8-1δ|Eτ|,那么

以概率1成立。

推論令α∈Cn(μ),τ∈Σ*,由式(7)可得

以概率1成立。

則有

以概率1成立。

證明參考文獻(xiàn)[7]中引理2的證明方法。

引理4對n≥1及常數(shù)M0,λ>0,有

證明參考文獻(xiàn)[5]中引理5.8的證明方法。

綜合上面的引理可以得到定理的證明。

證明定義

N1:=[(16-1δ+6)d]+1,

由引理4,存在最小整數(shù)N≥N1+N2,使對k≥N,有

(13)

以概率1成立。N,N1,N2是獨(dú)立于τ∈Σ*的。對h≤card(Γn),α∈Ch(μ),有

χα(τ)≤N

(τ∈Γn)以概率1成立。

假設(shè)對某些τ∈Γn,有χα(τ)>N。事實(shí)上,由N1,N2的定義可知

1) (Eτ)4-1δ|Eτ|能被N1個(gè)中心在此集合上、半徑為8-1δ|Eτ|的閉球覆蓋,若用γ1表示這個(gè)閉球的中心組成的集合,那么card(γ1)=N1。

令γ3∈Cχα(τ)-N1-N2(μ),同時(shí)定義

γ:=(α(Eτ)8-1δ|Eτ|)∪γ1∪γ2∪Sτ(γ3),

則card(γ)≤card(α)。再由γ1的定義及度量d的三角不等式,易知3)(見下)。

(14)

以概率1成立。

4) 對x∈Eτ,有

(15)

d(x,α)≥8-1δ|Eτ|

(16)

均以概率1成立。

由式(15),式(16)及Γn的定義可得

γ)dμ(x)≥Εpτlog (8-1δ|Eτ|)-

(17)

以概率1成立。

由引理2,引理3和式(13)可得

(18)

以概率1成立。

聯(lián)立式(14)，式(17)和式(18)可得,

以概率1成立。這顯然與α的最優(yōu)性矛盾。

以概率1成立。因此,由引理4可推得

(19)

以概率1成立。類似地,易證

(20)

以概率1成立。

顯然地,對任意x∈Eτ和所有的τ∈Γn,

定義

由式(9)及引理2知,對足夠大的n有

(21)

以概率1成立。類似地,可推得

(22)

以概率1成立。綜合式(19)至式(22),由性質(zhì)可證明定理成立。

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〔責(zé)任編輯：盧 蕊〕

Quantizationdimensionofrandomself-conformalmeasureswithrespecttothegeometricmeanerror

WANG Chun-min

(Basic Courses Department,Zhenjiang Branch of Jiangsu Joint Vocational College,Zhenjiang 212016,China)

In the strong separation condition,the thesis mainly studies and proves the quantization dimension of random self-conformal measures with respect to the geometric mean error and it coincedes with the Hausdorfl dimension.

random self-conformal measures; Hausdorff dimension; strong separation condition

2015-03-18

王春敏(1982—),女,江蘇鎮(zhèn)江人,講師,碩士生,主要從事分形幾何研究。

O211.9

：C

：1008-8148(2015)03-0061-05