李 奇, 張均富

(西華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610039)

·機(jī)電工程·

平面軌跡機(jī)構(gòu)的靜態(tài)綜合可靠性分析

李 奇, 張均富*

(西華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610039)

傳統(tǒng)的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)可靠性研究多以各分量運(yùn)動(dòng)誤差來(lái)建立機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的可靠性分析模型，進(jìn)而獲得各分量誤差落在允許誤差范圍內(nèi)的概率。為獲得各分量誤差的綜合效應(yīng)，將機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)在每一坐標(biāo)分量上的失效看作一種失效模式，基于多失效模式提出軌跡機(jī)構(gòu)的綜合運(yùn)動(dòng)可靠性分析模型。在各運(yùn)動(dòng)分量的相關(guān)性分析的基礎(chǔ)上，采用二維正態(tài)分布導(dǎo)出各運(yùn)動(dòng)分量的聯(lián)合概率密度，最后采用數(shù)值積分方法求解機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合可靠度。通過(guò)數(shù)值實(shí)例對(duì)該模型的有效性和精度進(jìn)行驗(yàn)證，其結(jié)果表明，這一模型能夠反映機(jī)構(gòu)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)區(qū)間上某指定點(diǎn)處整體失效情況。

運(yùn)動(dòng)可靠度;軌跡機(jī)構(gòu);多失效模式

軌跡再現(xiàn)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)是機(jī)構(gòu)綜合問(wèn)題的重要內(nèi)容。近年來(lái)，學(xué)者們特別關(guān)注軌跡機(jī)構(gòu)的綜合模型的建立和其算法的求解[1]， 旨在提高機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度。在確定性條件下，現(xiàn)有機(jī)構(gòu)綜合模型及其求解方法是十分有效的，但在真實(shí)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)中不確定性是固存的，如尺寸公差、運(yùn)動(dòng)副間隙、構(gòu)件材料與彈性變形等。這些不確定性使機(jī)構(gòu)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)偏離期望運(yùn)動(dòng)軌跡，造成機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度降低、可靠性下降。為提高軌跡生成的精度，應(yīng)綜合考慮不確定性因素對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的影響。

機(jī)構(gòu)系統(tǒng)中存在的不確定性?？醋麟S機(jī)不確定性。機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)可靠性理論就是應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)理論研究這些隨機(jī)不確定性問(wèn)題的方法和理論。軌跡機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)可靠性問(wèn)題已被廣泛的研究[2-8]，現(xiàn)有方法多數(shù)是基于機(jī)構(gòu)輸出點(diǎn)的各運(yùn)動(dòng)分量誤差(歐氏誤差)模型提出機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)可靠性分析模型。該模型分別求解機(jī)構(gòu)在各運(yùn)動(dòng)分量上再現(xiàn)期望軌跡的概率，難以體現(xiàn)機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)區(qū)間上某指定點(diǎn)處機(jī)構(gòu)的整體失效情況，即機(jī)構(gòu)在該點(diǎn)的綜合可靠度。Zhang等[5]將這種綜合可靠度定義為軌跡機(jī)構(gòu)的系統(tǒng)可靠度，但沒(méi)考慮各分量之間的相關(guān)性。Huang等[6]采用結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域的系統(tǒng)可靠度分析的矩陣法對(duì)軌跡機(jī)構(gòu)系統(tǒng)可靠度的求解進(jìn)行研究，但得到的可靠度是機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)可靠度的上下限。在現(xiàn)有文獻(xiàn)中，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)可靠度分為點(diǎn)可靠度和時(shí)變可靠度[7]。點(diǎn)可靠度研究機(jī)構(gòu)在某時(shí)間點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)誤差落在許用誤差范圍內(nèi)的概率，而時(shí)變可靠度研究機(jī)構(gòu)在整個(gè)指定運(yùn)動(dòng)區(qū)間上的運(yùn)動(dòng)誤差不超過(guò)許用誤差的概率。前者為靜態(tài)可靠度，后者為動(dòng)態(tài)可靠度[9]。本文將軌跡機(jī)構(gòu)輸出點(diǎn)的每個(gè)分量誤差超出允許誤差限看作一種失效模式，以多失效模式建立軌跡型機(jī)構(gòu)的可靠性分析模型，并應(yīng)用該模型研究求解機(jī)構(gòu)在指定時(shí)間點(diǎn)處的靜態(tài)綜合可靠度問(wèn)題。

1 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)可靠性模型

圖1為一平面四桿軌跡機(jī)構(gòu)，構(gòu)件AB為機(jī)構(gòu)的輸入曲柄，θ為曲柄AB相對(duì)機(jī)架AD的轉(zhuǎn)角。連桿BC與構(gòu)件BP固連且?jiàn)A角為β。φ為機(jī)架AD與坐標(biāo)系x軸的夾角。L1、L2、L3、L4、L5分別為機(jī)架AD、曲柄AB、連桿BC、搖桿CD、構(gòu)件BP的桿件長(zhǎng)度。

圖1 平面四桿軌跡機(jī)構(gòu)

(1)

(2)

考慮機(jī)構(gòu)系統(tǒng)中的隨機(jī)性，即各尺寸參數(shù)的制造公差和機(jī)構(gòu)的安裝誤差，則X為隨機(jī)向量。傳統(tǒng)研究按各誤差分量形式定義機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)可靠性模型，即:

1)在x方向，機(jī)構(gòu)在曲柄轉(zhuǎn)角θ處的可靠度R1(θ)為

(3)

2)在y方向，機(jī)構(gòu)在曲柄轉(zhuǎn)角θ處的可靠度R2(θ)為

(4)

式中，ε為機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)誤差限。

上述可靠性模型僅能反映機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)誤差分量落在允許誤差范圍內(nèi)的概率。在機(jī)構(gòu)的不確定性(概率)綜合時(shí)，人們更多地關(guān)注機(jī)構(gòu)在曲柄轉(zhuǎn)角θ處各誤差的綜合效應(yīng)，即機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)誤差分量同時(shí)落在允許誤差范圍內(nèi)的概率。為此，可將各運(yùn)動(dòng)分量的失效看作一種失效模式，基于多失效模式定義機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)可靠性模型，為

(5)

式(5)中，由于同時(shí)考慮了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)在坐標(biāo)x、y方向上的誤差，因此稱(chēng)其為機(jī)構(gòu)在曲柄轉(zhuǎn)角θ處的綜合可靠度。

2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)可靠性分析

2.1各分量可靠性分析

假定各隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，即X～N(μX,σX)，且假定σX相對(duì)于μX非常小，則式(3)(4)定義的運(yùn)動(dòng)可靠度可由一次二階矩方法(FOSM)高精度求解，即

(6)

對(duì)應(yīng)的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度失效概率為

pfi(θ)=1-Ri(θ)。

(7)

式中，μi(X,θ)、σi(X,θ)(i=1,2)分別表示機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)誤差函數(shù)gi(X,θ)的均值和均方差。

根據(jù)FOSM 方法，μi(X,θ)、σi(X,θ)可由運(yùn)動(dòng)誤差函數(shù)gi(X,θ)在X的均值處線性展開(kāi)獲得,用泰勒公式線性化gi(X,θ)可得

(8)

作變換Xj=μXj+σXj·Uj，其中Ui～N(0,1)，于是，式(8)可改寫(xiě)為

(9)

μi(X,θ)=b0i；

(10)

σi(X,θ)=‖bi‖。

(11)

式中bi=[bi1,bi2,…,bin]。

2.2綜合可靠性分析

σ12(X,θ)=E[(g1(X,θ)-μg1(X,θ))(g2(X,

θ)-μg2(X,θ))]。

(12)

將式(9)帶入式(12)得到

σ12(X,θ)=b1·b2。

(13)

式中，b1=[b11,b12,…,b1n]，b2=[b21,b22,…,b2n]。

由此寫(xiě)出g1(X,θ)與g2(X,θ)的相關(guān)系數(shù)

(14)

(15)

3 實(shí)例分析

以圖1所示平面四桿機(jī)構(gòu)為例再現(xiàn)期望軌跡，如表1所示。為簡(jiǎn)化，將機(jī)架桿1的方位角φ、輸出桿5與連桿3的夾角β、鉸鏈點(diǎn)A的坐標(biāo)處理為確定性參數(shù)，機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)尺寸作為隨機(jī)變量，即X=(L1,…,L5)。各尺寸變量均服從正態(tài)分布，其均指為μX=(79.516 1,9.724 0,45.842 5,51.432 8，8.728 9)，變異系數(shù)C=0.01，確定性變量φ=5.596 9 rad，β=-0.345 2 rad，鉸鏈A的坐標(biāo)(xa,ya)=(2.021 1,13.216 6)。機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)輸出允許的誤差限ε=0.07。

由圖1知，機(jī)構(gòu)輸出點(diǎn)P的軌跡坐標(biāo)為：

(16)

連桿3的轉(zhuǎn)角α可由機(jī)構(gòu)環(huán)路方程式求解。機(jī)構(gòu)環(huán)路方程式為：

(17)

根據(jù)式(17)，連桿轉(zhuǎn)角α為

(18)

機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)可靠度的求解流程如下。

1)根據(jù)式(16)～(18)對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，獲得機(jī)構(gòu)的實(shí)際輸出軌跡。

2)根據(jù)式(16)和(17)，應(yīng)用直接線性化方法可以得到誤差傳遞系數(shù)bi(i=1,2)，進(jìn)而獲得gi(X,θ)的均值、均方差，以及g1(X,θ)與g2(X,θ)的相關(guān)系數(shù)。

3)根據(jù)式(6)和(7)求解機(jī)構(gòu)各運(yùn)動(dòng)輸出分量的可靠度或失效概率。

4)根據(jù)式(15)求解曲柄轉(zhuǎn)角θ處的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合可靠度。

結(jié)合上述流程與方法，對(duì)實(shí)例進(jìn)行分析得到機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)可靠度，如表2所示。為驗(yàn)證前述方法的精度，將蒙特卡洛方法(MCS)的計(jì)算結(jié)果作為精確值(其仿真次數(shù)為108)與本文方法進(jìn)行比較。可以看出，各分量失效概率和綜合失效概率與蒙特卡洛結(jié)果非常接近，由此驗(yàn)證了前述近似計(jì)算方法的有效性和精確性。

表1 機(jī)構(gòu)期望再現(xiàn)軌跡

表2 機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)可靠度

4 結(jié)論

現(xiàn)有平面軌跡機(jī)構(gòu)的不確定性研究多以機(jī)構(gòu)各坐標(biāo)分量上的運(yùn)動(dòng)誤差為基礎(chǔ)建立各運(yùn)動(dòng)分量可靠性分析模型。該模型不能很好地反映機(jī)構(gòu)的整體運(yùn)動(dòng)失效情況。本文將機(jī)構(gòu)在每一坐標(biāo)分量上的運(yùn)動(dòng)看作一種失效模式，基于多失效模式提出軌跡機(jī)構(gòu)的綜合運(yùn)動(dòng)可靠性分析模型。在各運(yùn)動(dòng)分量的相關(guān)性分析基礎(chǔ)上，采用二維正態(tài)分布導(dǎo)出了各運(yùn)動(dòng)分量的聯(lián)合概率密度，最后采用數(shù)值積分方法求解機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合可靠度。數(shù)值實(shí)例分析結(jié)果表明，本文所提出的基于各分量聯(lián)合概率密度的數(shù)值積分法的求解結(jié)果非常接近蒙特卡洛方法的結(jié)果，而且該方法具有較高求解精度和較小的計(jì)算代價(jià)(與蒙特卡洛方法相比，在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上本方法僅調(diào)用1次機(jī)構(gòu)分析程序，而蒙特卡洛方法調(diào)用108次)。此外，所提出的可靠性分析模型能夠反映機(jī)構(gòu)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)區(qū)間上某指定點(diǎn)處整體失效情況，或者說(shuō)反映了機(jī)構(gòu)在某指定點(diǎn)能夠再現(xiàn)期望軌跡的整體概率和能力。本文提出的可靠性分析模型及求解算法適用于軌跡機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)可靠性分析，能全面、直觀地反映機(jī)構(gòu)的整體運(yùn)動(dòng)狀況和再現(xiàn)軌跡的精度。

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(編校：饒莉)

StaticCompositeReliabilityofPlanarPathMechanisms

LI Qi, ZHANG Jun-fu*

(SchoolofMechanicalEngineering,XihuaUniversity,Chengdu610039China)

In traditional probabilistic mechanism analysis, reliability analysis model of path generating mechanisms is set up with motion error of each coordinate.Because these kinds of mechanisms have multiple motion output components. The probability that a mechanism realizes its desired motion within a specified error is then calculated. In this work, each component of motion is taken as a failure mode and the kinematic reliability analysis model of path generating mechanisms is proposed with multiple failure modes in order to obtain the comprehensive effect of component errors. Based on statistical correlation analysis of failure events, the joint probability density function of each motion error is obtained by using two-dimensional normal distribution. The kinematic reliability is then calculated with the numerical integration method. The method is demonstrated by the analysis of a four-bar path generating mechanism.This model can provide a global failure of probability at a specified point during the motion interval.

kinematic reliability; path mechanisms; multiple failure modes

2014-06-24

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275425)；教育部“春暉計(jì)劃”資助項(xiàng)目(z2011081)。

：張均富(1972—)，男，教授，博士，主要研究方向?yàn)闄C(jī)構(gòu)概率設(shè)計(jì)、機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)。

TH112;TH115

：A

：1673-159X(2015)03-0017-04

10.3969/j.issn.1673-159X.2015.03.004

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