卿龍邦，劉換換，羅丹旎，田穩(wěn)苓

（1.河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，天津 300401；2.河北省土木工程技術(shù)研究中心，天津 300401；3.清華大學(xué)水沙科學(xué)與水利水電工程國家重點實驗室，北京 100084）

混凝土裂縫非線性斷裂的簡化預(yù)測方法研究

卿龍邦1，2，劉換換1，羅丹旎3，田穩(wěn)苓1，2

（1.河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，天津 300401；2.河北省土木工程技術(shù)研究中心，天津 300401；3.清華大學(xué)水沙科學(xué)與水利水電工程國家重點實驗室，北京 100084）

混凝土的裂縫斷裂問題是評定混凝土結(jié)構(gòu)工程安全的關(guān)鍵問題．結(jié)合起裂韌度準(zhǔn)則和黏聚力模型，提出了一種混凝土裂縫斷裂分析的簡化預(yù)測方法．通過給定裂縫黏聚力的分布形式，推導(dǎo)了裂縫張開位移、外荷載的表達(dá)式，結(jié)合拉伸軟化曲線給出了相應(yīng)的求解方程和求解步驟，獲得了裂縫起裂至擴(kuò)展的全過程曲線．其中，裂縫擴(kuò)展基于起裂韌度準(zhǔn)則，黏聚力產(chǎn)生的應(yīng)力強度因子和位移采用權(quán)函數(shù)方法進(jìn)行計算．利用不同尺寸的楔入劈拉試件對斷裂全過程進(jìn)行了計算，結(jié)合現(xiàn)有的混凝土斷裂試驗成果對本文方法進(jìn)行了驗證．結(jié)果表明采用本方法可完整的計算裂縫斷裂全過程并準(zhǔn)確的預(yù)測帶裂縫構(gòu)件的極限承載力，從而驗證了本文方法的有效性和合理性．

混凝土；裂縫；斷裂；起裂韌度；黏聚力

0 引言

混凝土的裂縫問題一直是土木、水利等行業(yè)科技界和工程界極為關(guān)心的熱點問題．在實際結(jié)構(gòu)安全分析中，模擬裂縫結(jié)構(gòu)在外荷載作用下的斷裂全過程對結(jié)構(gòu)設(shè)計及安全校核起著至關(guān)重要的作用．混凝土裂縫前端存在斷裂過程區(qū)，斷裂過程區(qū)內(nèi)發(fā)生微裂縫，集料互鎖，粗糙表面的接觸和摩擦等非線性現(xiàn)象，為能量耗散區(qū)．?dāng)嗔堰^程區(qū)的存在是混凝土裂縫斷裂呈現(xiàn)非線性的主要原因．自Kaplan[1]于1961年首次進(jìn)行混凝土斷裂試驗以來，眾多學(xué)者對混凝土斷裂機理進(jìn)行了研究，提出了大量的混凝土斷裂模型和準(zhǔn)則，而圍繞這些斷裂模型展開的分析方法研究也成為熱門的課題．

基于有效裂縫概念的模型可采用簡單的解析方法，如：Shah雙參數(shù)模型[2]，Bazant尺寸效應(yīng)模型[3]，Karihaloo有效裂縫模型[4]等．其中，Jenq和Shah[2]提出混凝土斷裂雙參數(shù)模型，采用臨界應(yīng)力強度因子判別裂縫斷裂，同時引入另一個斷裂參數(shù)，即臨界裂縫尖端張開位移CTODc．Bazant[3]在鈍裂縫帶模型的基礎(chǔ)上，從能量角度釋放角度提出了準(zhǔn)脆性材料結(jié)構(gòu)破壞名義強度的尺寸效應(yīng)公式，也稱為Bazant尺寸效應(yīng)律．Karihaloo等[4]基于等效裂縫的概念，提出采用有效裂縫模型來計算混凝土的斷裂韌度．以上模型僅關(guān)注峰值荷載對應(yīng)的裂縫斷裂狀態(tài)．Hillerborg等[5]提出虛擬裂縫模型，也稱作黏聚裂縫模型，其思路與經(jīng)典彈塑性斷裂力學(xué)中Dugdale和Barenblatt分別提出的窄條塑性區(qū)模型相類似．虛擬裂縫模型將斷裂過程區(qū)視為能傳遞應(yīng)力的假想裂縫，該假想裂縫的尖端為未裂材料和損傷材料的分界點，假想裂縫的末端黏聚力為零，為真正裂縫的尖端，裂縫擴(kuò)展的判據(jù)為裂縫尖端處的主拉應(yīng)力等于材料的抗拉強度，裂縫沿與最大主拉應(yīng)力垂直方向開裂，且黏聚力隨裂縫張開位移的增大而減小．基于虛擬裂縫模型，采用有限元[5]、邊界元[6]等方法能夠模擬裂縫擴(kuò)展過程．Bazant和Oh[7]提出的裂縫帶模型將過程區(qū)等效為其有一定寬度的裂縫帶，亦可模擬混凝土裂縫斷裂的非線性過程．虛擬裂縫模型及裂縫帶模型均利用拉伸軟化曲線描述斷裂過程區(qū)的軟化特性．

然而，對于裂縫擴(kuò)展而言，以上研究分別采用等效斷裂韌度準(zhǔn)則或強度擴(kuò)展準(zhǔn)則，而忽略了裂縫的起裂狀態(tài)．Shah[8]明確指出混凝土裂縫斷裂過程中裂縫起裂的概念，即裂縫開始緩慢擴(kuò)展的起始點．徐世烺[9]首先提出將起裂韌度作為裂縫起裂的判別準(zhǔn)則，并將起裂韌度定義為裂縫起裂時外荷載對應(yīng)于裂縫尖端的應(yīng)力強度因子．因此，起裂韌度可看作材料抵抗裂縫起裂擴(kuò)展的能力．

近年來，考慮起裂韌度的模型在混凝土斷裂力學(xué)領(lǐng)域得到了一定的應(yīng)用．起裂韌度可通過起裂荷載進(jìn)行計算，而起裂荷載的試驗確定方法可分為直接測量法和間接識別法兩種．1）使用應(yīng)變測試技術(shù)[10]、光彈貼片法、激光散斑法[9]等方法可直接測量起裂荷載．2）通過讀取P-CMOD曲線的線性段與非線性段的拐點，來間接識別起裂荷載[11-12]．此外，徐世烺和Reinhart[13]提出將起裂韌度和失穩(wěn)韌度分別作為裂縫起裂的雙K判別準(zhǔn)則，并提出了該斷裂準(zhǔn)則參數(shù)簡單的解析計算方法．卿龍邦和李慶斌[14]提出了基于峰值荷載的斷裂韌度理論計算方法．在模擬裂縫擴(kuò)展分析方面，目前考慮起裂韌度的斷裂全過程研究較少．吳智敏等[15]、董偉等[16]采用起裂韌度作為裂縫起裂擴(kuò)展的判別準(zhǔn)則，利用混凝土三點彎曲梁試件，采用有限元方法提出了混凝土裂縫的斷裂過程模擬方法，并研究了斷裂過程區(qū)長度及裂縫擴(kuò)展阻力曲線隨荷載變化的規(guī)律．李慶斌等[17]考慮起裂韌度作用，利用楔入劈拉試件分析了不同黏聚力分布對斷裂全過程的影響，其研究表明黏聚力分布形式對裂縫擴(kuò)展荷載下降段具有一定的影響，而對斷裂峰值狀態(tài)的影響較?。?/p>

鑒于混凝土非線性斷裂問題的復(fù)雜性，且考慮起裂韌度的模型能較好的反映混凝土的起裂機理，因此，發(fā)展基于起裂韌度準(zhǔn)則的簡化斷裂分析方法就具有較大的科研價值．

本文基于混凝土裂縫非線性斷裂的黏聚力模型，采用起裂韌度擴(kuò)展準(zhǔn)則，發(fā)展了簡化的混凝土裂縫斷裂全過程的分析方法．結(jié)合現(xiàn)有的混凝土楔入劈拉斷裂試驗成果，對本文斷裂預(yù)測方法進(jìn)行了計算和驗證．

圖1 虛力對和相對位移Fig.1 Virtual forceand the relative displacement

1 分析方法

1.1 裂縫張開位移表達(dá)式

如圖1所示，含裂縫的單位厚度板受外力P的作用．假想沿裂縫面上D1、D2連線方向引入一對虛力F，Paris根據(jù)Castigliano法則和線彈性斷裂力學(xué)原理，推得裂紋面上下兩點D1、D2沿其連線方向的相對位移[18]：

其中：對于平面應(yīng)力問題，E'=E；平面應(yīng)變問題，E'=E/1 v2；E為彈性模量；v為泊松比．KIP、KIF分別代表力P和力F分別提供的應(yīng)力強度因子．式(1)也稱為Paris位移公式．

對于如圖2所示的帶裂縫有限尺寸構(gòu)件，在縫端坐標(biāo)χ處引入一對虛力F，點對力F在有效裂縫尖端處的應(yīng)力強度因子可采用斷裂力學(xué)方法計算．利用權(quán)函數(shù)方法表示時，其表達(dá)式如式(2)：

根據(jù)Kumar和Barai[19]關(guān)于權(quán)函數(shù)方法的研究，將mχ,a采用四階多項式表示

根據(jù)文獻(xiàn)[17]，采用起裂韌度作為裂縫擴(kuò)展準(zhǔn)則時，黏聚力分布形式對峰值狀態(tài)計算結(jié)果影響較小，因此，為簡化計算，本文假定黏聚力采用線性分布．其中，假設(shè)初始裂縫尖端處的黏聚力與裂縫尖端張開位移滿足拉伸軟化曲線關(guān)系[13]．此時，可將黏聚力產(chǎn)生的應(yīng)力強度因子表示為式(6)．

圖2 點對力作用圖Fig.2 A pair of force

其中，c1，c2，wc為材料參數(shù)．

將式(18)代入式(17)，可得到外荷載隨裂縫尖端張開位移和有效裂縫長度的表達(dá)式．

以上即為考慮起裂韌度后裂縫擴(kuò)展過程中的裂縫張開位移表達(dá)式和外荷載表達(dá)式．

2 分析步驟

根據(jù)文獻(xiàn)[17]，將斷裂全過程分為起裂前、起裂后兩個階段．其中，起裂前可直接采用線彈性斷裂力學(xué)公式進(jìn)行計算，以起裂韌度參數(shù)作為起裂的判斷標(biāo)志．起裂后隨著裂縫逐漸擴(kuò)展，以裂縫有效長度作為加載方式，計算每一步裂縫擴(kuò)展量對應(yīng)的裂縫張開位移、外荷載等參數(shù)，以有效縫長即將擴(kuò)展到試件的邊界作為計算停止的標(biāo)志．

起裂前階段：

由于起裂前裂縫尖端張開位移和裂縫擴(kuò)展長度值均為零，因此只需計算外荷載隨裂縫嘴張開位移的變化曲線即可．具體步驟如下：1）將試驗的起裂韌度參數(shù)代入線彈性斷裂力學(xué)應(yīng)力強度因子公式（式(10)），求出起裂荷載；2）將外荷載從零逐漸增大，通過式(16)計算外荷載隨裂縫嘴張開位移的變化曲線；3）當(dāng)外荷載增大至起裂荷載時，停止計算．

起裂后擴(kuò)展：

起裂后，裂縫開始擴(kuò)展．根據(jù)以上兩節(jié)的推導(dǎo)可知，裂縫尖端張開位移表達(dá)式(15)、外荷載表達(dá)式(17)、拉伸軟化曲線(18)等3式中含有外荷載、黏聚力大小、裂縫尖端張開位移、有效裂縫長度等未知數(shù)．若任意給定裂縫擴(kuò)展長度值或裂縫尖端張開位移值，其它量即可通過聯(lián)立該3式求解．因此，將裂縫擴(kuò)展長度由零逐漸增大，即可求得CTOD-a、P-a等曲線．

按照以上的分析步驟，對于給定的黏聚力分布模型，若已知試驗的起裂荷載以及拉伸軟化曲線，即可唯一確定裂縫起裂前與擴(kuò)展階段的變化曲線．

由于裂縫擴(kuò)展階段采用了裂縫擴(kuò)展長度加載的方式，所以對于峰值后，若仍繼續(xù)增加裂縫擴(kuò)展量，可通過式(15)～式(18)直接計算出峰值后裂縫擴(kuò)展階段的解答．

以上即為考慮起裂韌度及黏聚力的裂縫斷裂過程分析方法．依據(jù)本文的計算思路，在實際試件的斷裂分析中，只需利用起裂韌度參數(shù)判別裂縫起裂，考慮黏聚力作用，即可模擬裂縫斷裂過程．

3 計算結(jié)果驗證

采用文獻(xiàn)[22]報道的混凝土斷裂試驗對本文計算方法進(jìn)行驗證．文獻(xiàn)[22]給出了不同尺寸試件的起裂荷載、峰值荷載和臨界裂縫嘴張開位移．以一級配楔入劈拉混凝土試件為例，不同尺寸的試件編號為依次為WS13～WS17，試件厚度B均為200mm．試件的有效高度D及長度H為300～1 200mm依次變化，相應(yīng)的初始裂縫長度a0依次為150～600mm，具體數(shù)值如表1所示．

表1 試件尺寸與試驗參數(shù)Tab.1 Specimen sizesand parameters

不同尺寸試件計算的峰值荷載狀態(tài)結(jié)果見表2所示，其中，Pini為實測開裂荷載，ac為穩(wěn)定裂縫擴(kuò)展長度，Pmax為峰值荷載，CMODc為臨界裂縫嘴張開位移．計算的荷載～裂縫嘴張開位移（P～CMOD）全曲線及荷載～裂縫尖端張開位移（P～CTOD）全曲線分別見圖3、圖4．

表2 計算結(jié)果與試驗結(jié)果比較Tab.2 Comparison between theexperimentaldata and the calculation results

不同尺寸試件的平均峰值荷載值與試驗結(jié)果比較見圖5，由表2及圖5可以看出，采用本文方法計算的峰值荷載與試驗計算結(jié)果對比較好．不同尺寸試件計算結(jié)果的平均相對誤差依次為6.661%、4.795%、5.328%、8.064%、4.826%．表明本文方法能夠有效的預(yù)測構(gòu)件的極限承載能力，從而驗證了本文計算方法的合理性．

不同尺寸試件計算的平均CMODc相對誤差依次為27.385%、16.030%、6.099%、10.720%、8.266%．當(dāng)試件高度小于600mm時，計算的CMODc誤差較大．其可能的原因是，為解析的表達(dá)黏聚力產(chǎn)生的應(yīng)力強度因子，本文假定黏聚力沿黏聚裂縫面為線性分布．但當(dāng)試件高度大于600mm時，采用本文方法計算結(jié)果與試驗對比較好．總體來看，隨著試件尺寸逐步增大，計算誤差有逐漸減小的趨勢．

圖3 P-CMOD全曲線Fig.3 Thewhole P-CMOD curves

不同尺寸試件臨界相對有效縫長比（臨界有效縫長與試件有效高度的比值）的平均值與文獻(xiàn)[22]的雙K方法解析結(jié)果對比見圖6所示．可以看出，除WS15系列試件外，本文計算結(jié)果略小于雙K方法計算的結(jié)果，其主要的原因是，雙K方法采用了線性漸進(jìn)疊加假定，而采用本文方法計算有效縫長時考慮了黏聚力的作用．但隨著試件高度逐漸增大，其差值逐漸減?。?/p>

圖4 P-CTOD全曲線Fig.4 Thewhole P-CTOD curves

圖5 不同高度試件峰值荷載的平均值Fig.5 Theaverage valuesofpeak load ofspecimens w ith differentheights

圖6 不同高度試件臨界相對有效縫長的平均值Fig.6 Theaverage valuesof critical relativeeffective fracture length of specimensw ith differentheights

4 結(jié)論

本文基于拉伸軟化曲線推導(dǎo)了裂縫擴(kuò)展過程中的外荷載與裂縫張開位移關(guān)系表達(dá)式，發(fā)展了混凝土裂縫斷裂全過程的簡化分析方法，利用楔入劈拉試件獲得了裂縫擴(kuò)展的全過程曲線．依據(jù)現(xiàn)有的混凝土斷裂試驗資料，采用本文提出的分析方法計算了不同尺寸試件的混凝土裂縫斷裂全過程曲線，并與實測試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較．結(jié)論如下：

本文方法計算的峰值荷載與試驗對比較好，表明本文方法能夠有效的預(yù)測構(gòu)件的極限承載能力，從而驗證了本文方法的合理性．

采用本文方法計算的相對有效縫長結(jié)果略小于采用雙K方法計算的結(jié)果，但隨著試件高度逐漸增大，其差值逐漸減?。?/p>

本文方法既考慮了起裂前的計算，又能反應(yīng)起裂后混凝土的軟化特性，求解理論完備，可有效的預(yù)測混凝土裂縫斷裂全過程．

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[責(zé)任編輯 楊屹]

A simplifiedmethod for predicting nonlinear fractureof concrete

QING Long-bang1，2，LIU Huan-huan1，LUO Dan-ni3，TIANWen-ling1，2

(1.Schoolof Civil Engineering,HebeiUniversity of Technology,Tianjin 300401;2.Civil Engineering Technology Research Center ofHebeiProvince,Tianjin 300401,China;3.State Key Laboratory ofHydroscienceand Engineering,Tsinghua University,Beijing 100084,China)

Cracksare thekey issue for thesafety ofconcretestructure.A sim p lifiedmethod forpredicting concrete fracture w as proposed in this paper on the basis of the initial fracture toughness criterion and the cohesive stressmodel.The expressionsof crack openingdisplacementand loadwerederivedby assum ing thedistributionof the cohesivestresses.Based on the tensilesoftening curve,thegoverningequations forconcrete fracturewereobtained,and thewhole fractureprocess curves from the crack initiation state to thepropagation statewerecalculated.In thismethod,the initial fracturetoughness criterion was adopted as crack propagation criterion,and the stress intensity factor and the crack opening displacement w ere calculated by weight function.The proposed method wasused to calculate the w hole fracture processes of wedge sp litting specimensw ith differentsizes,and the resultsw ere comparedw ith existing test results.The resultsdemonstrated that the whole process of fracture can be accurately calculated and the ultimate bearing capacity of the specimen can be predicted.The reasonability of the proposedmethod was thus verified.

concrete;crack;fracture;initial fracture toughness;cohesive stress

TV 431；TU528

A

1007-2373(2015)01-0089-07

10.14081/j.cnki.hgdxb.2015.01.017

2013-12-22

國家自然科學(xué)基金（51309073）；河北省自然科學(xué)基金（E2014202257）；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金（20131317120012）；清華大學(xué)水沙科學(xué)與水利水電工程國家重點實驗室開放基金（sklhse-2014-C-02）

卿龍邦（1982-），男（漢族），講師，博士．