戴志偉,戴志梅
(1.蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070; 2.寧德師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,福建 寧德 352000)
時滯的功能反應(yīng)的食餌捕食模型的穩(wěn)定性
戴志偉1,戴志梅2
(1.蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070; 2.寧德師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,福建 寧德 352000)
利用Ruan S的關(guān)于時滯的功能反應(yīng)的食餌捕食模型的穩(wěn)定性判定方法的思想,研究了時滯的功能反應(yīng)的食餌模型及其穩(wěn)定性.
時滯; 功能反應(yīng); 食餌捕食模型; 穩(wěn)定性
文章介紹了時滯和功能反應(yīng)的食餌捕食模型,引入判定該模型的方法和相關(guān)定理[1].種群動力學(xué)作為生物數(shù)學(xué)的重要分支近年來得到了充分的重視,捕食者與食餌之間的動力學(xué)行為一直是一項重要的研究領(lǐng)域,不同類型的食餌捕食模型已經(jīng)得到了廣泛的研究和長足的發(fā)展.因此不論從生物學(xué)家還是從數(shù)學(xué)家的角度來說研究捕食者與食餌的動力學(xué)都有深遠的影響[3,5-8].本文主要介紹關(guān)于非單調(diào)的功能效應(yīng)的時滯食餌捕食系統(tǒng),系統(tǒng)如下:
其中x(t),y(t)分別表示食餌和捕食者的樣本的密度,r表示在沒有捕食者的情況下,食餌的成長率,K表示環(huán)境對食餌的容納量,D表示捕食者的死亡率,A表示捕食者和食餌保持半飽和穩(wěn)定下功能反應(yīng)已經(jīng)達到半個極大值時的捕食者的半穩(wěn)定常量,H表示捕食者的收獲率常量,τ表示時滯,它們都是大于零的常量.
本文主要研究該模型的穩(wěn)定性,主要思路: 1)有正平衡點的情況下求出正平衡點; 2)對該方程系統(tǒng)進行線性化,得到相應(yīng)的線性系統(tǒng); 3)應(yīng)用常微分方程理論求出相應(yīng)的特征方程和特征根,判斷根的實部是否是負的;有負實部,則該系統(tǒng)的正平衡點穩(wěn)定,否則不穩(wěn)定,同時有可能在相應(yīng)的分岔點會產(chǎn)生霍普夫分岔[2-4].
本部分主要研究如下系統(tǒng)的穩(wěn)定性情況
(1)
其中x(t),y(t)分別表示食餌和捕食者的樣本的密度,r表示在沒有捕食者的情況下,食餌的成長率,K表示環(huán)境對食餌的容納量,D表示捕食者的死亡率,A表示捕食者和食餌保持半飽和穩(wěn)定下功能反應(yīng)已經(jīng)達到半個極大值時的捕食者的半穩(wěn)定常量,H表示捕食者的收獲率常量,τ表示時滯,它們都是大于零的常量.
(I)求出正平衡點
(II)線性化
令z1(t)=x(t)-x0,z2(t)=y(t)-y0,得到如下形式
其中
則線性系統(tǒng)如下:
(2)
λ2-(α1e-λτ+β2)λ+β2α1e-λτ-α2β1=0
(3)
當τ變化時,有些特征值的實部是否隨著增大趨于零或者有可能由負變?yōu)榱?甚至最后成為正的情況.因此,可以假設(shè)iω是式(3)的根,則帶入式(3)整理得
ω2+α2β1=α1[β2cos(τω)-ωsin(τω)]
(4)
-β2ω=α1[β2sin(τω)+ωcos(τω)]
(5)
由式(4)的平方加上式(5)的平方,得
(6)
(III)穩(wěn)定性
(A)當τ=0時,特征方程為λ2-(α1+β2)λ+β2α1-α2β1=0,則(H1)α1+β2<0.(H2)β2α1-α2β1>0,
(B)當τ≠0時,
(C)穩(wěn)定性情況如下:
如果(H1),(H2)和(H3)成立時,式(6)的根對所有τ≥0,都有負實部,那么系統(tǒng)(1)的正平衡點(x0,y0)是漸近穩(wěn)定的;
由式(6)可得
由式(4)乘以β2加上式(5)乘以ω,得
由式(4)×β2+式(5)×ω,得
如果(H1),(H2)和(H3)成立時,式(6)的根對所有τ≥0,都有負實部,那么系統(tǒng)(1)的正平衡點(x0,y0)是漸近穩(wěn)定的;
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[責任編輯:李春紅]
TheStabilityofaDelayPredator-PreyModelwithFunctionalResponse
DAI Zhi-wei1,DAI Zhi-mei2
(1.School of Mathematics and Physics,University of Lanzhou Jiaotong,Lanzhou Gansu 730070,China)
(2.Department of Mathematics,Ningde Normal University,Ningde Fujian 352100,China)
In this paper,the stability of a delay predator-prey model with functional response was introduced; The methods of the main idea of S.Ruan for the stability of a delay predator-prey model with functional response is applied to this article,which is studied.
delay; functional response; predator-prey model; stability
2015-05-14
戴志偉(1989-),男,福建莆田人,碩士研究生,研究方向為科學(xué)與工程計算. E-mail:1026447889@qq.com
O175
:A
:1671-6876(2015)03-0210-04