王瑾，董澤

（華北電力大學(xué) 控制科學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北 保定 071002）

現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中往往存在許多不確定因素，將這些不確定因素建模為隨機(jī)過程可以使系統(tǒng)更真實(shí)、更準(zhǔn)確地反映實(shí)際工程技術(shù)中的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，但是參數(shù)的不確定性又會(huì)影響系統(tǒng)控制性能的穩(wěn)定性以及其他性能［1］，因此，要在系統(tǒng)中引入魯棒控制確保不確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性.而馬爾科夫跳變系統(tǒng)是一類系統(tǒng)模態(tài)受馬爾科夫鏈約束的混雜線性系統(tǒng)，其連續(xù)特性和離散特性并存［2］.實(shí)際工業(yè)過程中，由于外界工作環(huán)境變化、參數(shù)發(fā)生變化、元件失效及連接中斷等突發(fā)因素會(huì)造成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的變化，馬爾可夫跳躍系統(tǒng)能夠描述此類具有結(jié)構(gòu)突變的實(shí)際工業(yè)過程而獲得了廣泛的關(guān)注研究.此外，在工程實(shí)踐中，采用現(xiàn)代控制理論方法所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)一般難以達(dá)到期望的性能，穩(wěn)定性也難以保證，而魯棒控制理論基于外部擾動(dòng)不確定性與系統(tǒng)模型參數(shù)不確定性的考慮下，對(duì)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性問題進(jìn)行研究，彌補(bǔ)了現(xiàn)代控制理論需精確數(shù)學(xué)模型的缺點(diǎn)，使系統(tǒng)的分析方法更加有效和實(shí)用［3］.本文研究的帶有馬爾科夫參數(shù)的不確定系統(tǒng)，可以較好地體現(xiàn)實(shí)際系統(tǒng)的特性，對(duì)于隨即參數(shù)的控制有較好的探究意義.本文通過得到系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件來設(shè)計(jì)魯棒控制器，完成對(duì)結(jié)構(gòu)具有復(fù)雜性和突變性的系統(tǒng)的更好控制.

1 不確定性系統(tǒng)

1.1 帶有馬爾科夫跳變參數(shù)的不確定性系統(tǒng)模型

對(duì)于實(shí)際控制對(duì)象，尤其是隨機(jī)性較強(qiáng)的對(duì)象，較難得到準(zhǔn)確模型或模型形式復(fù)雜，以Markovian跳變系統(tǒng)來描述控制對(duì)象會(huì)有較好的效果.狀態(tài)空間的不確定性模型［4］.

其中，A，B 是適當(dāng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣，描述了系統(tǒng)的名義模型，即忽略了模型的不確定性后得到的系統(tǒng)模型；Δa和Δb是不確定參數(shù)矩陣，反映了系統(tǒng)模型中的參數(shù)不確定性，且其中的一些不確定參數(shù)可能是重復(fù)的；Ea，Eb，F(xiàn)a，F(xiàn)b是適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣，它們反映了不確定參數(shù)是如何影響系統(tǒng)模型的，即反映了模型不確定性的結(jié)構(gòu).模型的不確定參數(shù)盡管是未知的，但總可以設(shè)定它們?cè)谀硞€(gè)有界的范圍內(nèi)變化，這個(gè)變化范圍的大小直接影響到系統(tǒng)性能.

系統(tǒng)模型（2）中的不確定因素可寫成

其中ΔTΔ≤I，rt為馬爾科夫跳變參數(shù).

1.2 模型的自由系統(tǒng)

對(duì)于系統(tǒng)（1），當(dāng)u（t）＝0時(shí)，系統(tǒng)為自由系統(tǒng)，在自由系統(tǒng)中，不確定部分為0時(shí)，系統(tǒng)為名義系統(tǒng)［5］，魯棒穩(wěn)定性研究即是研究自由系統(tǒng)的穩(wěn)定性，考慮自由系統(tǒng)

其中，x∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)向量為實(shí)常數(shù)向量的函數(shù).所要研究的問題是：給出系統(tǒng)（4）的魯棒穩(wěn)定條件，在該條件下，對(duì)于所有不確定參數(shù)，系統(tǒng)都是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

2 系統(tǒng)的魯棒控制器設(shè)計(jì)

2.1 魯棒穩(wěn)定性條件

已知系統(tǒng)模型，要想進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，首先要得到其穩(wěn)定性的條件.根據(jù)模型表達(dá)式，選擇Lyapunov穩(wěn)定判據(jù)進(jìn)行求取，因此有以下定理：

定理1 系統(tǒng)（4）對(duì)于任意參數(shù)ε＞0，存在線性矩陣不等式

則可知系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定［6］.

證明：已知系統(tǒng)（4）為自由系統(tǒng)模型，設(shè)Lyapunov能量方程為V（x）＝xT（t）Pix（t），對(duì)能量方程進(jìn)行弱微分，可得

將不確定因素和確定因素分開，得到

在下文中，以Ai，Ei，F(xiàn)i代替A（rt），E（rt），F(xiàn)（rt）.由式（3）可知上式中的不確定因素可以寫成

定理2［7］對(duì)于給定對(duì)稱矩陣Q，適當(dāng)維度矩陣D，E 和F（t），若存在Q＋DF（t）E＋（DF（t）E）T＜0，對(duì)所有滿足FT（t）F（t）≤I的矩陣F（t）成立，則當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)標(biāo)量ε＞0，有Q＋εDDT＋ε－1ETE＜0.

即

定理3［7］對(duì)于如下的線性矩陣不等式，

其中Q＝QT，R＝RT，S 為適當(dāng)維度的矩陣，其等價(jià)于R＞0，Q＋STR－1S＞0.

由定理3可知，式（7）可寫成

由式（8）可知，可以證明該不等式為系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性條件。

2.2 魯棒控制器的設(shè)計(jì)

已知系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性條件，要進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，在自由系統(tǒng)基礎(chǔ)上要考慮系統(tǒng)的輸入部分，因此有以下定理：

定理4 對(duì)于給定的Ai＞0，如果存在矩陣Xi，Yi滿足，那么控制器是存在的［8］，且控制器形如

證明：已知連續(xù)跳變Markovian系統(tǒng)模型為

由穩(wěn)定性條件和系統(tǒng)模型可知，控制器模型為u（t）＝Kix（t）.

由Lyapunov穩(wěn)定性條件，設(shè)能量方程為V＝xTPix，對(duì)能量方程進(jìn)行弱微分，可得

將上式中的確定因素和不確定因素分開得到

其中，為了書寫方便，使用Ai，Bi，ΔAi，ΔBi代替A（rt），B（rt），ΔA（rt），ΔB（rt）.結(jié)合式（2），上式中的不確定因素可寫為，根據(jù)定理2，可知D＝PiEi，E＝［F1iF2iKi］.

要求證Q＋DF（t）E＋（DF（t）E）T＜0，即求證存在參數(shù)εi＞0使得，即

令Yi＝KiXi，得

由上式可知，式（11）即為系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性條件，可根據(jù)式（11）進(jìn)行控制器形式的求取.其中，在實(shí)際仿真中，一般忽略系統(tǒng)輸入的不確定影響即使ΔB＝0，即輸入變量中的不確定因素為0，所以上式F2i＝0，得到如下矩陣不等式：

式（12）即為忽略輸入量不確定性的魯棒穩(wěn)定性條件，在進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)即選取式（12）進(jìn)行仿真.

3 數(shù)值算例

由式（12）可知控制器的LMIs形式，已知系統(tǒng)1與系統(tǒng)2以及不確定因素如下：

通過LMIs仿真得到

可得到控制器結(jié)果為K1＝［1.238 7 1.448 0］；K2＝［0.759 8 2.145 5］；t＝－0.423 56.

由結(jié)果可知，使用該方法可得到簡(jiǎn)單不確定系統(tǒng)的魯棒控制器參數(shù)，且t值在單位圓的負(fù)平面，說明其能量呈現(xiàn)衰減的趨勢(shì)，系統(tǒng)最終控制在穩(wěn)定的狀態(tài)，因此，可知該控制器可對(duì)不確定系統(tǒng)進(jìn)行控制.

4 結(jié)束語

針對(duì)帶有Markovian參數(shù)的不確定性系統(tǒng)，通過Lyapunov穩(wěn)定性原理以及線性矩陣不等式中的Schur補(bǔ)原理以及范數(shù)有界矩陣消除法對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件進(jìn)行推導(dǎo)及證明，進(jìn)行了穩(wěn)定性分析和魯棒穩(wěn)定控制器的設(shè)計(jì)，得到了系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性條件和控制器形式，并通過對(duì)LMIs方法的綜合運(yùn)用，進(jìn)行了一系列仿真，得到了數(shù)值算例的穩(wěn)定性條件和控制器參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)的不確定參數(shù)造成的隨機(jī)性進(jìn)行控制，保證了不確定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

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