夏 艷 楊紹蘭 張飛翔

（1.無錫市輔仁高級(jí)中學(xué)，江蘇 無錫 214112；2.無錫市第一中學(xué)，江蘇 無錫 214031）

鏈條是最為普通、古老且廣為應(yīng)用的技術(shù)之一，很多人可能認(rèn)為物理學(xué)家已經(jīng)完全明白鏈條的所有規(guī)律.然而事實(shí)并非如此，近期BBC的一段節(jié)目就展示了一種奇異的“鏈條噴泉”現(xiàn)象.

圖1

視頻大概內(nèi)容是這樣的：把一條小鋼珠串成的足夠長的珠鏈堆放在燒杯中并靜置于某高處，用手拿起鏈子一端使它自由垂落，由于其重力作用整個(gè)杯中的鏈條會(huì)陸續(xù)被拖出來“流”向地面并越來越快.這沒什么新奇的，最讓人意想不到的是，當(dāng)速度大到一定程度時(shí)，杯中的鏈條會(huì)從杯中先向上凌空躍起、噴涌而出，就像噴泉噴水一樣在空中形成一條讓人驚嘆的“鏈條噴泉”，如圖1所示.

簡單來講，從能量轉(zhuǎn)化的角度，讓鏈條從杯中“流”出并落到地上的能量來自于此過程中鏈條減少的重力勢能，這一點(diǎn)與流體的“虹吸”現(xiàn)象有點(diǎn)類似.但最讓人驚訝和想不通的是：珠鏈在下落前為什么會(huì)先向上凌空“躍”起、噴涌而出，形成讓人驚嘆的“鏈條噴泉”？

通過理論分析和實(shí)驗(yàn)研究，下面筆者就試著來探究一下鏈條這奇妙現(xiàn)象背后的奧秘，希望能拋磚引玉.

1 讓鏈條向上“跳”起來的力是鏈條內(nèi)的張力嗎？

絕大多數(shù)人都會(huì)認(rèn)為，是高速運(yùn)動(dòng)的鏈條內(nèi)的張力把它拉上去、形成“鏈條噴泉”的.真的是這樣嗎？

我們從最簡單的模型開始分析，將“鏈條噴泉”的運(yùn)動(dòng)過程抽象為這樣一個(gè)模型：鏈條單位長度的質(zhì)量為m0、堆放在離地高度為h1的桌面上，運(yùn)動(dòng)鏈條達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)各部分的速率均為v，豎直向上跳起的最大高度為h2，“噴泉”頂部彎曲的弧線視為圓周運(yùn)動(dòng)一部分，整個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示.

圖2

圖3

令緊靠桌面端鏈條的張力為TT，緊靠地面端鏈條的張力為TF，頂部轉(zhuǎn)彎部分鏈條內(nèi)的張力為TC.在運(yùn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，鏈條各處速度為v.將懸浮在空中的“鏈條噴泉”頂端部分單獨(dú)分離出來，將其看成是一個(gè)半徑為r的半圓形，如圖3所示.

鏈條頂端做圓周運(yùn)動(dòng)，每一段鏈條的合力均指向圓心.若將半圓鏈條上每一點(diǎn)指向圓心的合力都沿水平和豎直方向進(jìn)行分解，根據(jù)對(duì)稱性，水平方向的分力都抵消，水平方向的合力Fx為0；將豎直方向的分力進(jìn)行積分，得豎直方向的合力Fy為

由圖3，提供圓弧段鏈條的豎直方向的合力為2TC，則有2TC＝Fy＝2m0v2，得

此式表明，頂部轉(zhuǎn)彎處鏈條張力與其速率的平方成正比，與半徑r無關(guān).可知沿其自身“流動(dòng)”的鏈條就能以任意銳角轉(zhuǎn)彎從而形成任意形狀的軌跡，并非只能豎直地向上離開杯子.另外，TC＝m0v2，與r無關(guān)，這也意味著，當(dāng)除張力外沒有其他力時(shí)，沿自身“流動(dòng)”的鏈條可以沿任意軌跡達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).這個(gè)結(jié)論最早可以追溯到19世紀(jì)中期對(duì)運(yùn)動(dòng)繩鏈穩(wěn)定構(gòu)型的研究，在Routh.EJ所著的剛體動(dòng)力學(xué)教材中第12章柔性體的運(yùn)動(dòng)（Motion of a flexible body）中繩鏈的運(yùn)動(dòng)（Motion of a string）這一節(jié)里就有詳細(xì)的推導(dǎo)，在此不再贅述.

達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，鏈條各部分的運(yùn)動(dòng)速率均為v，對(duì)桌面以上的鏈條受力平衡，則有

這個(gè)過程中，對(duì)緊靠桌面處的鏈條來講，在極短的時(shí)間dt內(nèi)，有段質(zhì)量為m0vdt的鏈條被從桌面上“拉拽”起來并獲得m0v2dt的動(dòng)量.如果假設(shè)這個(gè)動(dòng)量是由緊靠桌面處的鏈條內(nèi)的張力TT作用了dt時(shí)間產(chǎn)生的效果，由沖量定理則有TTdt＝m0v2dt，得TT＝m0v2.與式（2）聯(lián)立可得h2＝0，即不會(huì)出現(xiàn)向上懸空的“鏈條噴泉”.

類似地，對(duì)從最頂端到地面這一段的鏈條，由受力平衡，有

由上述分析可知，緊靠桌面處鏈條的張力只是剛剛能夠把杯中的鏈條拉動(dòng)并加速到速度v，如果沒有別的力來幫忙的話，鏈條只會(huì)貼著杯壁以速率v往下流，而不會(huì)向上懸空“跳”起.也就是說，只在鏈條內(nèi)部張力的作用下，鏈條是不會(huì)從杯子里先懸空向上“跳”起，像噴泉噴水一樣形成“鏈條噴泉”.

2 到底是什么力讓鏈條“跳”起來？

既然緊靠桌面的鏈條中的張力只是能夠把杯中的鏈條拉動(dòng)并加速到速度v，那到底是什么其他力來幫忙讓鏈條先向上“跳”起來形成“鏈條噴泉”的呢？

由實(shí)驗(yàn)確實(shí)存在“鏈條噴泉”，即h2＞0，由式（2）則有，TT＝m0v2－m0gh2＜m0v2，即僅僅靠桌面處鏈條內(nèi)的張力TT不足以提供鏈條被拉動(dòng)并向上跳起的沖量，那另外一部分的力從哪來呢？唯一的可能就是桌面上托盤底部給鏈條的彈力（或還未動(dòng)的鏈條堆給鏈條的彈力）.通過實(shí)驗(yàn)也可以很好地印證這一點(diǎn)，將長珠鏈擺放在水平桌面上，拉起鏈條一端讓其從桌子右端垂落，珠鏈沿水平桌面下落前也會(huì)被先向前甩出去、形成“鏈條噴泉”，如圖4所示.由實(shí)驗(yàn)視頻截圖可看出，在運(yùn)動(dòng)過程中，鏈條向前（圖中左側(cè)）甩出去的同時(shí)，未運(yùn)動(dòng)的那部分鏈條會(huì)不斷地向后退，并且未運(yùn)動(dòng)的鏈條越少后退現(xiàn)象越明顯，根據(jù)牛頓第三定律，未動(dòng)的那部分鏈條也會(huì)給運(yùn)動(dòng)鏈條一個(gè)向前（圖中左側(cè)）的推力，從而將其推甩出去、在桌面上形成“鏈條噴泉”.

圖4 長鏈條在水平桌面滑落視頻截圖

因此，對(duì)于緊靠桌面處的運(yùn)動(dòng)鏈條，我們引入一個(gè)容器底（或靜止鏈條堆）對(duì)它的一個(gè)不規(guī)則的向上的作用力Fx，支持力Fx和張力TT的合力提供桌面處鏈條被拉動(dòng)并向上跳起所需的沖量，類似地，對(duì)剛落到地面處的鏈條，我們也引入一個(gè)已落地的鏈條堆給它的向上的不規(guī)則的張力TF，它提供讓運(yùn)動(dòng)的鏈條減速并靜止在地面上所需要的沖量.則桌面處鏈條被拉動(dòng)并向上跳起所需動(dòng)量由支持力Fx和張力TT的合力提供，即

鏈條處于穩(wěn)態(tài)，在鏈條的維度上所有的力應(yīng)正比于m0v2，令

則幾式聯(lián)立，可得

根據(jù)這個(gè)推導(dǎo)結(jié)果，當(dāng)a＝b＝0時(shí)，仍然可以得到h2＝0，即只受鏈條張力時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)“鏈條噴泉”的現(xiàn)象.否則，有h2∝h1，即“鏈條噴泉”向上跳起的最大高度h2和托盤與地面高度h1成正比.

通過實(shí)驗(yàn)來探究鏈條向上跳起的最大高度h2和托盤最初所處位置的高度h1之間的關(guān)系，將直徑為4.5mm的鍍鎳銅球用長約2mm的短桿串成長為50m的珠鏈，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示，可得h2＝0.14h1，也很好地證實(shí)了上述推導(dǎo)結(jié)論.

圖5

總之，由上面分析可知，驅(qū)使鏈條向上運(yùn)動(dòng)的作用力并不是來自于已經(jīng)脫離容器的珠鏈的拉力，這股向上推的力最終來自于還停留在容器內(nèi)的那一部分珠鏈.也就是說，來自容器的推力才是鏈條向上“跳”起來，形成“鏈條噴泉”的主要原因，這個(gè)結(jié)論相信出乎了所有人的意料.

3 來自容器的向上推力可能的產(chǎn)生原因

既然這個(gè)幫忙往上推鏈條的力來自于杯底，那這個(gè)推力是怎么產(chǎn)生的呢？要想弄明白這個(gè)外力來源，關(guān)鍵在于弄明白珠鏈的性質(zhì)和結(jié)構(gòu).因?yàn)槊績蓚€(gè)小鋼珠之間是用一根很短的金屬桿聯(lián)結(jié)的，如圖6所示，那么金屬桿的一端被往上拉時(shí)，因?yàn)槔T不是作用在質(zhì)心上，所以會(huì)使金屬桿產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端就會(huì)有向下運(yùn)動(dòng)的趨勢，就像蹺蹺板一樣，如圖6所示.而向下運(yùn)動(dòng)的小球會(huì)擠壓支撐它的杯底，從而獲得杯底給它的一個(gè)向上的彈力FN，正是由于這種反彈提供了不規(guī)則的向上的推力，才使得鏈條騰空而起、懸浮在空中.

圖6

4 結(jié)語

盡管對(duì)這個(gè)實(shí)驗(yàn)的研究僅僅是出于好奇，但好奇心是人類的天性，也是人類尋求知識(shí)的動(dòng)力.“鏈條噴泉”這個(gè)有趣的力學(xué)實(shí)驗(yàn)，器材取自生活中最普通常見的鏈條，現(xiàn)象神奇，操作簡單，可以應(yīng)用在我們實(shí)際的物理教學(xué)中，例如，在高一第1節(jié)物理緒論課上，可以教師演示也可以由學(xué)生操作，相信一定會(huì)極大地激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，從而培養(yǎng)學(xué)生對(duì)物理的學(xué)習(xí)熱情和興趣.

另外，鏈條和繩索在工業(yè)和科技產(chǎn)業(yè)中有著廣泛的應(yīng)用，甚至在衛(wèi)星和航天器上也經(jīng)常會(huì)使用繩索或鏈條，在能源危機(jī)日益嚴(yán)峻的今天，人們當(dāng)然希望把驅(qū)動(dòng)繩索或鏈條所需要的質(zhì)量或能量盡可能地降到最低，或許這個(gè)有趣的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象可以對(duì)工程學(xué)有一定啟發(fā)作用.

1 視 頻 來 源：http：//v.youku.com/v＿show/id＿XN-jY2Mzc5ODc2.html；http：//v.youku.com/v＿show/id＿XNjgwNzczODYw.html

2 Routh EJ.1860Dynamics of a system of rigid bodies，with numerous examples.London，UK：MacMillan.460－492.

3 J S Biggins，M Warner.Understanding the chain fountain，Proc.R.Soc.A 8March 2014vol.470，20130689.