羅　琳,　馬志勇,　謝曉強(qiáng)(上海第二工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,上海201209)

可積耦合方程的代數(shù)結(jié)構(gòu)

羅琳,馬志勇,謝曉強(qiáng)
(上海第二工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,上海201209)

摘要:主要根據(jù)李代數(shù)半直和思想,構(gòu)造非線性數(shù)學(xué)物理方程的可積耦合系統(tǒng)(包括連續(xù)和離散2種情形),并研究這些連續(xù)和離散的可積耦合方程的代數(shù)結(jié)構(gòu),即耦合方程的元素組所對(duì)應(yīng)的李積元素組也滿足耦合的零曲率方程。關(guān)鍵詞:可積耦合方程;零曲率表示;代數(shù)結(jié)構(gòu)

0　引言

在孤立子理論中,可積耦合系統(tǒng)日益受到關(guān)注。常見(jiàn)的構(gòu)造可積耦合系統(tǒng)的方法有色散法、李代數(shù)半直和法、Loop代數(shù)法。人們可以利用這些方法得到方程的可積耦合系統(tǒng)[1-4],進(jìn)而研究耦合系統(tǒng)的可積性質(zhì),并求解該耦合方程。而在可積系統(tǒng)中方程的對(duì)稱是一個(gè)非常重要的方面,如果方程本身的性質(zhì)如Lax對(duì)等不明確,那么最有效的求解該方程的方法是考慮它們的對(duì)稱,而且對(duì)稱包含了很多好的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)[5-11]。本文主要討論和綜述連續(xù)和離散的可積耦合系統(tǒng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)。

1　連續(xù)的可積耦合方程

設(shè)G表示矩陣loop代數(shù),設(shè)矩陣譜問(wèn)題是:

式中:u=u(x,t)=[u1(x,t)u2(x,t)···uq(x,t)]T, x,t∈R是勢(shì)函數(shù);U,V∈G是同階方陣也被稱作Lax對(duì);λ∈C是譜參數(shù);f(λ)∈C∝(C)。則根據(jù)零曲率方程

可確定一個(gè)連續(xù)的可積方程

這就說(shuō)明元素組(U,V,K)滿足零曲率方程

式中,U0(u)[K]表示 Gateaux導(dǎo)數(shù),U0(u)[K]=U(u+εK)|ε=0。

為了生成連續(xù)方程式(3)的可積耦合系統(tǒng),我們引進(jìn)李代數(shù)的半直和思想,選取另一個(gè)loop代數(shù)Gc,使得

不妨選擇譜問(wèn)題式(1)的耦合譜問(wèn)題為:

這里矩陣Uc=Uc(v,λ),V=Vc(u,v,λ)與U,V同階,則相應(yīng)的零曲率方程

決定了式(3)的可積耦合方程

這說(shuō)明耦合的元素組(ˉU,ˉV,ˉK)滿足耦合的零曲率方程

我們將式(9)和(11)都稱為原連續(xù)方程式(3)的可積耦合方程。

2　離散的可積耦合方程

對(duì)于離散方程我們先定義位移算子E,設(shè)Ef(n)=f(n+1),E?1f(n)=f(n?1),則Emf(n)=f(m)(n)=f(n+m),n,m∈Z,且差分算子E?E?1的逆算子定義為(E?E?1)?1f(n)?

設(shè)離散譜問(wèn)題為:

式中,u=u(n,t)=[u1(n,t)u2(n,t)···uq(n,t)]T, n∈Z。根據(jù)離散的零曲率方程

譜問(wèn)題式(12)也可以確定一個(gè)離散的可積方程

這就說(shuō)明元素組(U,V,K)滿足離散零曲率方程:

同樣,為了生成離散方程式(14)的可積耦合系統(tǒng),我們可以仿照連續(xù)可積耦合方程式(9)的方法引進(jìn)李代數(shù)的半直和,選取另一個(gè)loop代數(shù)Gc,使得ˉG=G⊕Gc。那么我們也可以選擇譜問(wèn)題式(12)的耦合譜問(wèn)題為:

這里矩陣Uc=Uc(v,λ),V=Vc(u,v,λ)與U,V同階。則相應(yīng)于譜問(wèn)題式(12)的零曲率方程

決定了離散方程式(14)的可積耦合系統(tǒng)

這就說(shuō)明耦合的元素組(ˉU,ˉV,ˉK)滿足耦合的離散零曲率方程

顯然上述式(20)等價(jià)于下列方程組

我們將式(19)和(21)都稱為離散方程式(14)的可積耦合方程。

3　可積耦合方程的代數(shù)結(jié)構(gòu)

為了敘述方便,我們先給出一些數(shù)學(xué)記號(hào)。設(shè)F表示全體復(fù)值函數(shù)P=P(x,t,u,v)或者P= P(n,t,u,v)的全體,令Fr={[P1···Pr]T|Pi∈F}。用?r表示所有r×r階矩陣的線性微積分算子或者差分算子的全體,即

或者

定義

令向量場(chǎng)

其中K,S,L∈Fq,且Kc,Sc,Lc∈Fqc。則我們可以定義向量場(chǎng) ˉK,ˉS∈Fq+qc的交換關(guān)系為:

因此,這個(gè)積的關(guān)系式(22)使得向量場(chǎng) ˉK,ˉS,ˉL在Fq+qc中形成一個(gè)李代數(shù)結(jié)構(gòu)。

證明將式(22)～(24)代入式(21),直接計(jì)算即得。

4　結(jié)論

如果元素組(V,K,f),(W,S,g)∈M(U)滿足原方程的零曲率方程式(2)或(13),則耦合的元素組(ˉV,ˉK,f),(ˉW,ˉS,g)∈M(ˉU)所構(gòu)成的李積元素([[ˉV,ˉW]],[ˉK,ˉS],[f,g])∈M(ˉU)也分別滿足耦合零曲率方程式(10)或(20),即耦合方程的元素組所對(duì)應(yīng)的李積元素組也滿足耦合的零曲率方程。

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中圖分類號(hào):O29

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1001-4543(2015)02-0152-04

收稿日期:2015-02-28

通訊作者:羅琳(1968–),女,湖北人,教授,博士,主要研究方向?yàn)榭煞e系統(tǒng)。電子郵箱luolin@sspu.edu.cn。

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金(No.11371244)、上海市教委基金(No.14ZZ166)、上海第二工業(yè)大學(xué)應(yīng)用重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目(No.XXKZD1304)資助

The Algebraic Structure of Integrable Coupling Equations

LUO Lin,MA Zhi-yong,XIE Xiao-qiang
(School of Sciences,Shanghai Second Polytechnic University,Shanghai 201209,P.R.China)

Abstract:According to the theory of the semi direct sums of Lie algebras,the integrable coupling systems are constructed associated with nonlinear mathematical physics equations(continue and discrete).The algebraic structures is then established for such integrable coupling equations,that is,the elements of the couplings satisfy the coupling zero curvature representations in the sense of Lie product.

Keywords:integrable coupling equations;zero curvature representations;algebraic structures