（1.中國(guó)石油大學(xué)（北京）非常規(guī)天然氣研究院，北京 102249； 2.中國(guó)石油勘探開發(fā)研究院采油工程研究所，北京100083； 3.英國(guó)赫瑞·瓦特大學(xué)石油工程研究院，愛丁堡EH14 4AS； 4.中國(guó)石油勘探開發(fā)研究院廊坊分院壓裂酸化技術(shù)服務(wù)中心，河北廊坊 065007）

（1.中國(guó)石油大學(xué)（北京）非常規(guī)天然氣研究院，北京 102249； 2.中國(guó)石油勘探開發(fā)研究院采油工程研究所，北京100083； 3.英國(guó)赫瑞·瓦特大學(xué)石油工程研究院，愛丁堡EH14 4AS； 4.中國(guó)石油勘探開發(fā)研究院廊坊分院壓裂酸化技術(shù)服務(wù)中心，河北廊坊 065007）

對(duì)油氣井壓裂改造時(shí)，向井眼內(nèi)注入大量流體，井筒周圍應(yīng)力場(chǎng)重新分布，主要通過積分形式求解，過程繁雜，且對(duì)應(yīng)力場(chǎng)的影響因素分析較少.利用拉氏變換，以流固耦合控制方程和應(yīng)力平衡方程等為基礎(chǔ)，結(jié)合注入流體誘導(dǎo)應(yīng)力場(chǎng)的積分形式解，在定壓條件下推導(dǎo)內(nèi)、外邊界拉氏變換解；利用Stephfest拉氏數(shù)值反演方法對(duì)變換解進(jìn)行數(shù)值求解.數(shù)值模擬結(jié)果表明，切向應(yīng)力場(chǎng)在最小水平主應(yīng)力方向上變化較大，距離井壁越近，注入流體誘導(dǎo)的切向應(yīng)力場(chǎng)值越大，隨著距離增加，其值變??；在一定條件下（如地應(yīng)力差較?。邢驊?yīng)力場(chǎng)發(fā)生反轉(zhuǎn)，使得壓裂裂縫轉(zhuǎn)向.切向應(yīng)力場(chǎng)與注入時(shí)間、流體黏度和地層滲透率等因素有關(guān)：延長(zhǎng)注入時(shí)間、增加注入體積、較低的液體黏度和較高地層滲透率有利于使切向應(yīng)力場(chǎng)增加，誘導(dǎo)切向應(yīng)力場(chǎng)發(fā)生反轉(zhuǎn)，有利于人工裂縫轉(zhuǎn)向.

拉氏變換；注入流體；誘導(dǎo)應(yīng)力場(chǎng)；數(shù)學(xué)模型；切向應(yīng)力；徑向應(yīng)力

0 引言

油氣井長(zhǎng)期生產(chǎn)將導(dǎo)致地層孔隙壓力下降，引起原地應(yīng)力狀態(tài)的改變.Elbel J L等采用流固耦合二維數(shù)值模型，研究前次裂縫周圍孔隙壓力隨時(shí)間變化的影響［1］，證明長(zhǎng)期生產(chǎn)逐漸改變地應(yīng)力場(chǎng)，使得應(yīng)力發(fā)生90°的反轉(zhuǎn).范學(xué)平等利用流固耦合二維數(shù)值模擬方法，研究油氣井生產(chǎn)對(duì)地應(yīng)力的影響［2］.張丁涌等利用多孔彈性模型估計(jì)孔隙壓力衰竭對(duì)地應(yīng)力的影響，結(jié)果表明孔隙壓力減少使水平應(yīng)力降低［3］.Weng X等研究生產(chǎn)誘導(dǎo)的地應(yīng)力場(chǎng)對(duì)重復(fù)壓裂裂縫延伸及壓力響應(yīng)的影響，如果生產(chǎn)誘導(dǎo)的應(yīng)力場(chǎng)引起一條原始最小水平主應(yīng)力方向的新裂縫起裂，那么其增加伴隨快速增長(zhǎng)的壓力.原因是初始裂縫附近存在較高的應(yīng)力梯度［4］，壓力增加使初始裂縫張開，且一旦形成后，裂縫將消耗大部分注入流體，直到它到達(dá)初始裂縫端部為止；之后，與它垂直的裂縫開始增長(zhǎng).Sadegh Badakhshan Raz等給出天然氣水合物（Gas Hydrate）氣井生產(chǎn)過程中溫度、孔隙壓力、應(yīng)變和應(yīng)力分布的解析解，模擬生產(chǎn)對(duì)孔隙壓力的應(yīng)力場(chǎng)的影響［5］.Liu S等研究煤層氣藏（CBM）生產(chǎn)誘導(dǎo)的應(yīng)力場(chǎng)和割理滲透率的變化規(guī)律，結(jié)果表明氣藏壓力減少引起水平應(yīng)力場(chǎng)明顯減小、煤層滲透率增加［6］.Schutjens P M T M等應(yīng)用地質(zhì)力學(xué)模型研究鹽丘構(gòu)造周圍生產(chǎn)誘導(dǎo)的應(yīng)力場(chǎng)變化，采用地質(zhì)力學(xué)有限元模擬器GEOMEC模擬鹽丘的地質(zhì)力學(xué)參數(shù)和生產(chǎn)對(duì)應(yīng)力場(chǎng)的影響，分析井壁穩(wěn)定和注入誘導(dǎo)的裂縫延伸［7］.

這些研究主要采用實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬分析注入流體誘導(dǎo)的地應(yīng)力場(chǎng)變化規(guī)律.筆者利用拉氏變換，以彈性力學(xué)理論為基礎(chǔ)，結(jié)合注入流體誘導(dǎo)應(yīng)力場(chǎng)的積分形式解，推導(dǎo)內(nèi)、外邊界在定壓條件下拉氏變換解，并利用拉氏數(shù)值反演進(jìn)行數(shù)值求解.

1 物理模型

當(dāng)對(duì)油氣井進(jìn)行壓裂改造或向注水井注水時(shí)，流體滲透到地層并引起孔隙壓力升高，導(dǎo)致井筒周圍應(yīng)力場(chǎng)重新分布，使井周應(yīng)力場(chǎng)發(fā)生變化，即為注入流體誘導(dǎo)的應(yīng)力場(chǎng)［8－13］.注入流體誘導(dǎo)的應(yīng)力場(chǎng)的物理模型見圖1.假設(shè)條件：

（1）地層為無限大，井眼半徑為rw，外邊界半徑為re，地層為均質(zhì)油藏，地層滲透率K為各向同性；

（2）內(nèi)、外邊界定壓，在井壁處壓力為pw，在外邊界處壓力為pe；

（3）注入流體為微可壓縮，其黏度μ和綜合壓縮系數(shù)Ct保持不變，不隨壓力變化；

（4）水平原始應(yīng)力為各向異性，最大水平主應(yīng)力為σH，最小水平主應(yīng)力為σh；

（5）在注入過程中不考慮溫度變化對(duì)地應(yīng)力的影響；

（6）由于油藏厚度比泄油半徑小得多，因此可以近似成平面應(yīng)變（即二維情況）［13］；

（7）不考慮流固耦合，認(rèn)為地層滲透率K、孔隙度不隨壓力或應(yīng)力變化；

（8）極坐標(biāo)系下徑向應(yīng)力為σr，周向應(yīng)力或切向應(yīng)力為σθ.

圖1 注入流體誘導(dǎo)應(yīng)力場(chǎng)的物理模型Fig.1 Physical model of the stress field induced by injection fluid

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 計(jì)算公式

擴(kuò)散方程［8］為

壓力—應(yīng)變關(guān)系式為

應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系式為

應(yīng)變—位移關(guān)系式為

應(yīng)力平衡方程為

連續(xù)性方程為

達(dá)西定律為

2.2 公式推導(dǎo)

因此通解為

令pf（r，t）＝p（r，t）－p0，由文獻(xiàn)［13－15］知注入流體誘導(dǎo)應(yīng)力場(chǎng)積分形式解為

注入流體誘導(dǎo)徑向應(yīng)力

注入流體誘導(dǎo)切向應(yīng)力

其中L－1（r，s））為g（r，t）的拉氏反演變換；K0（ξ）、K1（ξ）為零階虛宗量第二類貝塞爾函數(shù)；I0（ξ）為零階虛宗量第一類貝塞爾函數(shù)；A1、A2為s的函數(shù).

將式（22）分別代入式（19）和式（20）得到：

注入流體誘導(dǎo)徑向應(yīng)力

注入流體誘導(dǎo)切向應(yīng)力

鉆井后徑向和切向地應(yīng)力場(chǎng)分別為

2.3 求解方法

式（18）、式（22）和式（23）為拉氏變換解，應(yīng)用Stephfest拉氏數(shù)值反演變換求其數(shù)值解［16］.

2.4 模型驗(yàn)證

由式（23）得，Δσθθ（rw，θ）＝－pw－2η（pw－p0）；再由式（20）得，Δσθθ（rw，θ）＝－pw－2η（pw－p0），兩者結(jié)果一致，并且與文獻(xiàn)［17］式（12）與式（13）中代入r＝rw后結(jié)果一致，驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的可靠性.

3 切向應(yīng)力場(chǎng)數(shù)值模擬

根據(jù)巖石張性破裂準(zhǔn)則，人工裂縫的起裂主要與切向應(yīng)力場(chǎng)相關(guān)，因此主要討論注入流體后切向應(yīng)力場(chǎng)的分布規(guī)律.地層和流體的基本參數(shù)見表1，利用式（25）模擬計(jì)算鉆井后井筒周圍原始切向應(yīng)力（見圖2）；根據(jù)式（23）、式（26－29）計(jì)算注入流體2.0h的誘導(dǎo)切向應(yīng)力場(chǎng)分布，將它與鉆井后井周原始切向應(yīng)力場(chǎng)迭加，得到注入流體2.0h的新切向應(yīng)力場(chǎng)（見圖3）.由圖2和圖3可以看出，由于孔隙壓力變化，使得切向應(yīng)力場(chǎng)在最小水平主應(yīng)力方向上變化較大，距離井壁越近，注入流體誘導(dǎo)的切向應(yīng)力場(chǎng)值越大；隨著距離井壁增加，其值變小.因此，注入流體后，孔隙壓力的變化導(dǎo)致井筒周圍切向應(yīng)力場(chǎng)重新定向分布.

表1 地層和流體的基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of formation and fluid

圖2 鉆井后原始切向應(yīng)力場(chǎng)平面Fig.2 The original 2Dmap of tangential stress field distributon after drilling a borehole

圖3 注入流體2.0h的切向應(yīng)力場(chǎng)平面Fig.3 The 2Dmap of tangential stress field distributon after injection fluid for 2.0hours

由于90°方向（對(duì)應(yīng)最小水平主應(yīng)力方向）上切向應(yīng)力場(chǎng)變化明顯，只需要討論注入時(shí)間、流體黏度和地層滲透率對(duì)90°方向上切向應(yīng)力場(chǎng)的影響規(guī)律.

3.1 注入時(shí)間

注入時(shí)間分別為0.5、2.0、4.0h的90°方向的切向應(yīng)力場(chǎng)變化曲線見圖4.由圖4可以看出，隨著注入時(shí)間增加，切向應(yīng)力值增大，說明延長(zhǎng)注入時(shí)間，增大注入體積，有利于增大90°方向的切向應(yīng)力場(chǎng)值.這是由于隨著注入時(shí)間增加，井底壓力逐漸增加，井眼周圍的孔隙壓力也逐漸增加，從而導(dǎo)致切向應(yīng)力值增大；并且90°方向上的切向應(yīng)力場(chǎng)變化值大于0°方向上的，因此達(dá)到某一注入時(shí)間或注入量后，90°方向上的切向應(yīng)力場(chǎng)值可能等于0°方向上的，使得原應(yīng)力場(chǎng)重新定向［17－18］.這說明增大注入時(shí)間或注入體積使應(yīng)力場(chǎng)重新定向反轉(zhuǎn)、使壓裂裂縫發(fā)生轉(zhuǎn)向成為可能.

3.2 流體黏度

流體黏度分別為10.0、100.0、500.0mPa·s時(shí)90°方向上切向應(yīng)力場(chǎng)變化曲線見圖5.由圖5可以看出，隨著液體黏度提高，切向應(yīng)力值變小.這是由于流體黏度越低，流動(dòng)阻力越小，越容易進(jìn)入更多的巖石孔隙，更容易改變孔隙壓力分布，從而導(dǎo)致切向應(yīng)力值增大，即將清水或低黏度流體（如滑溜水等）注入地層后，由于90°方向上的切向應(yīng)力場(chǎng)變化值大于0°方向上的，使得原應(yīng)力場(chǎng)重新定向.這說明注入低黏度流體使應(yīng)力場(chǎng)重新定向反轉(zhuǎn)、使壓裂裂縫發(fā)生轉(zhuǎn)向成為可能［17－18］，在非常規(guī)油氣藏體積壓裂中使用低黏度流體造縫可以增大裂縫復(fù)雜程度.

3.3 地層滲透率

地層滲透率分別為1.0×10－3、10.0×10－3、100.0×10－3μm2時(shí)90°方向上切向應(yīng)力場(chǎng)變化曲線見圖6.由圖6可以看出，隨著地層滲透率增加，切向應(yīng)力場(chǎng)值變大.這是由于地層滲透率越高，孔隙壓力傳播越快，更容易改變孔隙壓力分布，從而導(dǎo)致切向應(yīng)力值增大.這說明對(duì)于高滲透油氣藏，由于90°方向上的切向應(yīng)力場(chǎng)變化值大于0°方向上的，注入一定體積流體或者生產(chǎn)一段時(shí)間后，原應(yīng)力場(chǎng)較容易重新定向，使得重復(fù)壓裂時(shí)機(jī)較短，應(yīng)更早進(jìn)行重復(fù)壓裂施工［17－18］.

圖4 注入時(shí)間對(duì)90°方向切向應(yīng)力場(chǎng)影響曲線Fig.4 The curves between injection time and tangential stress field in the 90°direction

圖5 流體黏度對(duì)90°方向切向應(yīng)力場(chǎng)影響曲線Fig.5 The curves between fluid viscosity and tangential stress field in the 90°direction

3.4 現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用效果

A井為我國(guó)某盆地某油田的油井，其油層段的水平主應(yīng)力差值為3.00MPa，最大主應(yīng)力方向?yàn)镹E40°±，其儲(chǔ)層段最大主應(yīng)力方向?yàn)镹W300°～330°，兩者之間的夾角為85°±，儲(chǔ)集體在顯示段最大主應(yīng)力方向上距離井眼55m（見圖7）.2010年9月，進(jìn)行可降解纖維暫堵轉(zhuǎn)向酸壓施工，第一級(jí)前置液無溝通顯示，纖維暫堵轉(zhuǎn)向劑到達(dá)位置后，在低擠入地層過程中，泵壓上升約20.00MPa；在第二級(jí)壓裂液注入過程中，排量未達(dá)到第一級(jí)排量，但泵壓高于第一級(jí)的，雖無溝通顯示，但注酸后泵壓大幅下降，反應(yīng)儲(chǔ)層為裂縫型，已經(jīng)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向造縫［24］.

基于注入流體誘導(dǎo)應(yīng)力場(chǎng)、人工裂縫裂縫誘導(dǎo)應(yīng)力場(chǎng)理論［17－24］，模擬A井的轉(zhuǎn)向裂縫形態(tài)（見圖8），產(chǎn)生轉(zhuǎn)向半徑為62.0m、與初壓裂縫垂直的轉(zhuǎn)向裂縫；當(dāng)轉(zhuǎn)向裂縫距初壓裂縫的垂向距離超過62.0m后，應(yīng)力場(chǎng)恢復(fù)到遠(yuǎn)場(chǎng)地應(yīng)力狀態(tài)，轉(zhuǎn)向裂縫延伸方向與初壓裂縫方向平行.

圖6 地層滲透率對(duì)90°方向切向應(yīng)力場(chǎng)影響曲線Fig.6 The curves between formation permeability and tangential stress field in the 90°direction

圖7 A井儲(chǔ)集體與最大水平主應(yīng)力方位匹配關(guān)系Fig.7 The matching graph of reservoir and the maximum horizontal stress orientation in Well A

圖8 A井轉(zhuǎn)向裂縫形態(tài)平面Fig.8 The plane graph of fracture reorientation propagation path in Well A

模擬轉(zhuǎn)向裂縫啟裂角約為90°，轉(zhuǎn)向半徑為62.0m，A井儲(chǔ)層段最大主應(yīng)力方向與區(qū)域最大主應(yīng)力方向夾角為85°，井眼距離串珠55.0m，兩者結(jié)果基本接近，從而驗(yàn)證文中應(yīng)力場(chǎng)數(shù)學(xué)模型的正確性［24］.

4 結(jié)論

（1）利用拉氏變換，以彈性力學(xué)的流固耦合控制方程和應(yīng)力平衡方程為基礎(chǔ)，結(jié)合注入流體誘導(dǎo)應(yīng)力場(chǎng)的積分形式解，推導(dǎo)內(nèi)、外邊界在定壓條件下的拉氏變換解，最后利用Stephfest拉氏數(shù)值反演對(duì)變換解進(jìn)行數(shù)值求解.

（2）向井眼注入流體后，由于巖石孔隙壓力發(fā)生變化，切向應(yīng)力場(chǎng)重新定向.切向應(yīng)力場(chǎng)在最小水平主應(yīng)力方向上變化較大，距離井壁越近，注入流體誘導(dǎo)的切向應(yīng)力場(chǎng)值較大，隨著距離增加，其值變??；在一定條件下（如地應(yīng)力差較?。?，切向應(yīng)力場(chǎng)發(fā)生反轉(zhuǎn)，使得壓裂裂縫發(fā)生轉(zhuǎn)向.

（3）切向應(yīng)力場(chǎng)與注入時(shí)間、流體黏度和地層滲透率等因素有關(guān)：延長(zhǎng)注液時(shí)間、增加注入流體體積、較低的液體黏度和較高地層滲透率有利于切向應(yīng)力場(chǎng)增加，誘導(dǎo)切向應(yīng)力場(chǎng)發(fā)生反轉(zhuǎn)，使得壓裂裂縫發(fā)生轉(zhuǎn)向，增加泄油（氣）面積與溝通機(jī)率.

（4）利用應(yīng)力場(chǎng)拉氏變換解推導(dǎo)井壁周圍的流體誘導(dǎo)應(yīng)力場(chǎng)解，與文獻(xiàn)的積分形式解得出的結(jié)果一致，從而驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的可靠性；將模型應(yīng)用于油田現(xiàn)場(chǎng)，數(shù)值模擬結(jié)果與A井真實(shí)地質(zhì)情況接近，從而驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的正確性.

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注入流體誘導(dǎo)應(yīng)力場(chǎng)模擬計(jì)算

汪道兵1，2，葛洪魁1，周福建1，熊春明2，張景臣3，嚴(yán)星明4

DOI 10.3969／j.issn.2095－4107.2015.02.011

TE312

A

2095 4107（2015）02 0085 09

2014 11 10；編輯：任志平

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目（2015CB250903）；國(guó)家自然科學(xué)基金重大項(xiàng)目（51490652）；中國(guó)石油天然氣股份有限公司科學(xué)研究與技術(shù)開發(fā)項(xiàng)目（2010E－2105）

汪道兵（1985－），男，博士研究生，主要從事非常規(guī)儲(chǔ)層縫網(wǎng)形成與控制機(jī)理方面的研究.