張四保

（喀什師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，新疆喀什 844008）

有關(guān)7m＋j型奇正整數(shù)不是完全數(shù)的一些命題

張四保

（喀什師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，新疆喀什 844008）

完全數(shù)；奇完全數(shù)；命題

0 引言

雖未解決是否存在奇完全數(shù)的問(wèn)題，但有關(guān)奇完全數(shù)存在熱點(diǎn)問(wèn)題：一，奇完全數(shù)的大小估計(jì)，其研究成果參考文獻(xiàn)［3－5］；二，奇完全數(shù)相異素因子大小估計(jì)與個(gè)數(shù)估計(jì)，其研究成果參考文獻(xiàn)［6－10］；三，特殊類型奇數(shù)是否是完全數(shù)問(wèn)題，其研究成果參考文獻(xiàn)［11－14］.

1 主要結(jié)論

（1）當(dāng)π≡3，5，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡2，4（mod 7）且α＝4k＋1，k2（mod 3），則n不是完全數(shù).

當(dāng)π≡1（mod 7）時(shí)，顯然有πα≡1（mod 7）.

當(dāng)π≡2（mod 7）時(shí)，有πα≡24k＋1（mod 7）.當(dāng)k≡0（mod 3），則πα≡2（mod 7）；當(dāng)k≡1（mod 3），則πα≡4（mod 7）；當(dāng)k≡2（mod 3），則πα≡1（mod 7）.

當(dāng)π≡3（mod 7）時(shí)，有πα≡34k＋1（mod 7）.當(dāng)k≡0（mod 3），則πα≡3（mod 7）；當(dāng)k≡1（mod 3），則πα≡5（mod 7）；當(dāng)k≡2（mod 3），則πα≡6（mod 7）.

當(dāng)π≡4（mod 7）時(shí)，有πα≡44k＋1（mod 7）.當(dāng)k≡0（mod 3），則πα≡4（mod 7）；當(dāng)k≡1（mod 3），則πα≡2（mod 7）；當(dāng)k≡2（mod 3），則πα≡1（mod 7）.

當(dāng)π≡5（mod 7）時(shí)，有πα≡54k＋1（mod 7）.當(dāng)k≡0（mod 3），則πα≡5（mod 7）；當(dāng)k≡1（mod 3），則πα≡3（mod 7）；當(dāng)k≡2（mod 3），則πα≡6（mod 7）.

當(dāng)π≡6（mod 7）時(shí)，有πα≡64k＋1≡6（mod 7）.

（1）當(dāng)π≡3（mod 7）時(shí)，有πα≡3，5，6（mod 7），這與πα≡1（mod 7）矛盾；當(dāng)π≡5（mod 7）時(shí)，有πα≡3，5，6（mod 7），這與πα≡1（mod 7）矛盾；當(dāng)π≡6（mod 7）時(shí)，有πα≡6（mod 7），這與πα≡1（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

（2）π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，當(dāng)k≡0（mod 3）時(shí)，有πα≡2（mod 7），這與πα≡1（mod 7）矛盾；當(dāng)k≡1（mod 3），則πα≡4（mod 7），這與πα≡1（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，當(dāng)k≡0（mod 3）時(shí)，有πα≡4（mod 7），這與πα≡1（mod 7）矛盾；當(dāng)k≡1（mod 3），則πα≡2（mod 7），這與πα≡1（mod 7）矛盾，因而此時(shí)n不是完全數(shù).

證畢.

（1）當(dāng)π≡1，3，5，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3）；

（3）當(dāng)π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3），則n不是完全數(shù).

（1）當(dāng)π≡1，3，5，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3）；

（3）當(dāng)π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3），則n不是完全數(shù).

由命題1至命題3，可得到推論1.

（1）當(dāng)π≡1，3，5，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3）；

（3）當(dāng)π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3），

則n不是完全數(shù).

由命題1的討論可知，當(dāng)π≡1（mod 7）時(shí)，有πα≡1（mod 7）；當(dāng)π≡3（mod 7）時(shí)，有πα≡3，5，6（mod 7）；當(dāng)π≡5（mod 7）時(shí)，有πα≡3，5，6（mod 7）；當(dāng)π≡6（mod 7）時(shí)，有πα≡6（mod 7）.由此可知，當(dāng)π≡1，3，5，6（mod 7）時(shí)，πα取模7的情況與πα≡2（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，當(dāng)k≡1（mod 3）時(shí)，有πα≡4（mod 7），這與πα≡2（mod 7）矛盾；當(dāng)k≡2（mod 3），有πα≡1（mod 7），這與πα≡2（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，當(dāng)k≡0（mod 3）時(shí)，有πα≡4（mod 7），這與πα≡2（mod 7）矛盾；當(dāng)k≡2（mod 3），有πα≡1（mod 7），這與πα≡2（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

證畢.

（1）當(dāng)π≡3，5，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡2，4（mod 7）且α＝4k＋1，k2（mod 3），

則n不是完全數(shù).

（1）當(dāng)π≡1，3，5，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3）；

（3）當(dāng)π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3），

則n不是完全數(shù).

由命題4至命題6，可得到推論2.

（1）當(dāng)π≡1，2，4，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡3（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3）；

（3）當(dāng)π≡5（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3），

則n不是完全數(shù).

由命題1的討論可知，當(dāng)π≡1（mod 7）時(shí)，有πα≡1（mod 7）；當(dāng)π≡2（mod 7）時(shí)，有πα≡1，2，4（mod 7）；當(dāng)π≡4（mod 7）時(shí)，有πα≡1，2，4（mod 7）；當(dāng)π≡6（mod 7）時(shí)，有πα≡6（mod 7）.由此可知，當(dāng)π≡1，2，4，6（mod 7）時(shí)，πα取模7的情況與πα≡3（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

π≡3（mod 7）且α＝4k＋1，當(dāng)k≡1（mod 3）時(shí)，有πα≡5（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾；當(dāng)k≡2（mod 3），有πα≡6（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

π≡5（mod 7）且α＝4k＋1，當(dāng)k≡0（mod 3）時(shí)，有πα≡5（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾；當(dāng)k≡2（mod 3），有πα≡6（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

證畢.

（1）當(dāng)π≡1，2，4，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡3（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3）；

（3）當(dāng)π≡5（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3），

則n不是完全數(shù).

（1）當(dāng)π≡1，2，4（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡3，5（mod 7）且α＝4k＋1，k2（mod 3），

則n不是完全數(shù).

由命題7至命題9，可得到推論3.

（1）當(dāng)π≡1，3，5，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3）；

（3）當(dāng)π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3），

則n不是完全數(shù).

由命題1的討論可知，當(dāng)π≡1（mod 7）時(shí)，有πα≡1（mod 7）；當(dāng)π≡3（mod 7）時(shí)，有πα≡3，5，6（mod 7）；當(dāng)π≡5（mod 7）時(shí)，有πα≡3，5，6（mod 7）；當(dāng)π≡6（mod 7）時(shí)，有πα≡6（mod 7）.由此可知，當(dāng)π≡1，3，5，6（mod 7）時(shí)，πα取模7的情況與πα≡4（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，當(dāng)k≡0（mod 3）時(shí)，有πα≡2（mod 7），這與πα≡4（mod 7）矛盾；當(dāng)k≡2（mod 3）時(shí)，有πα≡1（mod 7），這與πα≡4（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，當(dāng)k≡1（mod 3）時(shí)，有πα≡2（mod 7），這與πα≡4（mod 7）矛盾；當(dāng)k≡2（mod 3）時(shí)，有πα≡1（mod 7），這與πα≡4（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

證畢.

（1）當(dāng)π≡1，3，5，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3）；

（3）當(dāng)π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3），

則n不是完全數(shù).

（1）當(dāng)π≡3，5，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡2，4（mod 7）且α＝4k＋1，k2（mod 3），

則n不是完全數(shù).

由命題10至命題12，可得到推論4.

（1）當(dāng)π≡1，2，4，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡3（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3）；

（3）當(dāng)π≡5（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3），

則n不是完全數(shù).

，若下列任一條件成立：

（1）當(dāng)π≡1，2，4（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡3，5（mod 7）且α＝4k＋1，k2（mod 3），

則n不是完全數(shù).

（1）當(dāng)π≡1，2，4，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡3（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3）；

（3）當(dāng)π≡5（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3），則n不是完全數(shù).

由命題1的討論可知，當(dāng)π≡1（mod 7）時(shí)，有πα≡1（mod 7）；當(dāng)π≡2，4（mod 7）時(shí)，有πα≡1，2，4（mod 7）；當(dāng)π≡6（mod 7）時(shí)，有πα≡6（mod 7）.由此可知，當(dāng)π≡1，2，4，6（mod 7）時(shí)，πα取模7的情況與πα≡3（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

π≡3（mod 7）且α＝4k＋1，當(dāng)k≡1（mod 3）時(shí)，有πα≡5（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾；當(dāng)k≡2（mod 3）時(shí)，有πα≡6（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

π≡5（mod 7）且α＝4k＋1，當(dāng)k≡0（mod 3）時(shí)，有πα≡5（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾；當(dāng)k≡2（mod 3）時(shí)，有πα≡6（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

證畢.

由命題13至命題15，可得到推論5.

2 結(jié)束語(yǔ)

（References）：

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Zhang Sibao.Conditions on the positive odd numbers of the form 7 m－1are not perfect number［J］.Journal of Heilongjiang Univer－sity：Natural Science Edition，2014，31（4）：480－483.

DOI 10.3969／j.issn.2095－4107.2015.01.016

O156

A

2095－4107（2015）01－0118－05

2014－10－03；編輯：關(guān)開(kāi)澄

喀什師范學(xué)院校內(nèi)一般課題（（14）2513）

張四保（1978－），男，碩士，副教授，主要從事數(shù)論方面的研究.

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