鄧學(xué)磊，楊燦軍，畢 千，范錦昌，尚偉燕

（浙江大學(xué) 流體動(dòng)力與機(jī)電系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州310027）

隨著我國(guó)科學(xué)的快速發(fā)展以及資源的日漸匱乏，面向海洋的開(kāi)發(fā)已經(jīng)成為我國(guó)21世紀(jì)最重要的方向.面對(duì)水下極端、復(fù)雜的環(huán)境，大深度、大范圍和高危險(xiǎn)的資源考察和開(kāi)發(fā)任務(wù)，水下機(jī)器人受到廣泛關(guān)注.本文旨在減小水下足式爬壁機(jī)器人步態(tài)控制誤差.

國(guó)內(nèi)外對(duì)足式機(jī)器人的研究很多，其中美國(guó)Case Western Reserve University（CWRU）大學(xué)研制的Robot系列機(jī)器人有一定的代表意義.他們對(duì)每一代的驅(qū)動(dòng)方式都作出了很大的改進(jìn)，從最簡(jiǎn)單的舵機(jī)驅(qū)動(dòng)到復(fù)雜的仿生肌肉驅(qū)動(dòng)都進(jìn)行了嘗試［1-2］.國(guó)內(nèi)，王倩等［3］研制出六足機(jī)器人HIT-Spi-der，每條腿擁有3 個(gè)自由度，由舵機(jī)驅(qū)動(dòng).由此可見(jiàn)，舵機(jī)是一種簡(jiǎn)單易行的機(jī)器人控制方法.

本文的研究對(duì)象是一個(gè)四足機(jī)器人，每條腿擁有4個(gè)自由度，由舵機(jī)驅(qū)動(dòng).該機(jī)器人在控制方面主要有以下幾個(gè)問(wèn)題.

1）與小型爬行仿生機(jī)器人不同，該機(jī)器人需要在水下極端環(huán)境中工作，并帶有一定負(fù)載，需要較大的驅(qū)動(dòng)力.

2）為了對(duì)抗海浪等外界干擾，機(jī)器人的整體設(shè)計(jì)重量較大.

3）在實(shí)際工作過(guò)程中，機(jī)器人可能在重力方向上爬行，故機(jī)器人自重是一個(gè)重要的負(fù)載，這要求機(jī)器人腿部足夠強(qiáng)壯，不能像傳統(tǒng)仿生機(jī)器人一樣，將重量集中在機(jī)身.

4）在舵機(jī)控制中一般采用開(kāi)環(huán)的控制方法.

5）舵機(jī)在運(yùn)行的過(guò)程中會(huì)受到摩擦力以及齒輪間隙的因素的影響.

這些問(wèn)題的共同影響會(huì)導(dǎo)致舵機(jī)運(yùn)行軌跡與理想軌跡之間產(chǎn)生誤差，并會(huì)表現(xiàn)出一些非線(xiàn)性的現(xiàn)象.針對(duì)這些問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者提出了很多解決方案.

林忠萬(wàn)等［4-6］在舵機(jī)外加入傳感器，構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)，采用傳統(tǒng)PID 方法和分形修正PID 算法對(duì)舵機(jī)進(jìn)行控制，用反饋信號(hào)短時(shí)分形維數(shù)估計(jì)舵機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)角與電機(jī)驅(qū)動(dòng)力之間的相背離程度，利用該估計(jì)函數(shù)修正PID 輸出值.劉興中等［7］利用了更簡(jiǎn)單的PI調(diào)節(jié)器，達(dá)到了不錯(cuò)的效果.李全福等［8-9］采用模糊PID 算法，明顯改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，并最終得出結(jié)論：可以利用模糊PID 混合控制改善控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，同時(shí)利用常規(guī)PID 改善模糊控制的穩(wěn)態(tài)性能.近幾年，胡林等［10-11］提出加入魯棒控制，得到了不錯(cuò)的效果.這些研究工作均建立在加入傳感器，并將控制系統(tǒng)變?yōu)殚]環(huán)系統(tǒng)后的基礎(chǔ)上，并且這些算法較復(fù)雜.

為了令機(jī)器人結(jié)構(gòu)更加輕便，控制算法更加精簡(jiǎn)，本文旨在不加入傳感器的基礎(chǔ)上，利用前饋補(bǔ)償，達(dá)到減小控制誤差的目的.本文方法的優(yōu)點(diǎn)在于，在水下極端環(huán)境下，過(guò)多的設(shè)備不僅會(huì)增加機(jī)器人的負(fù)擔(dān)，也有可能因?yàn)楣ぷ鳝h(huán)境成為機(jī)器人不穩(wěn)定的因素.本文以單腿為例，首先對(duì)單腿進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，仿真出理想運(yùn)動(dòng)軌跡；然后通過(guò)實(shí)驗(yàn)檢測(cè)出實(shí)際運(yùn)行軌跡與理想軌跡之間的誤差，通過(guò)數(shù)學(xué)表達(dá)式描述其非線(xiàn)性特性；最終通過(guò)增加前饋補(bǔ)償?shù)姆椒?，減小其控制中的誤差.

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與仿真

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

受控對(duì)象如圖1所示，為四自由度腿部結(jié)構(gòu)，其中髖關(guān)節(jié)二自由度，膝關(guān)節(jié)、踝關(guān)節(jié)各一個(gè)自由度.建立如圖1所示的D-H 坐標(biāo)［12-13］，其中各關(guān)節(jié)參數(shù)如表1所示.

表1 D-H 坐標(biāo)參數(shù)Tab.1 D-H parameters

根據(jù)建立的D-H 坐標(biāo)，對(duì)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，得到單腿變換矩陣為

式中：

圖1 機(jī)器人D-H 坐標(biāo)建立Fig.1 Establishment of D-H coordinate

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

在爬行過(guò)程中，足底需要進(jìn)行吸附，需要腿部最后關(guān)節(jié)與地面始終垂直，得到限定條件θ1＋θ2＋θ3＝-90°.可以逆解出各個(gè)關(guān)節(jié)角度：

式中：

2 運(yùn)動(dòng)控制誤差

首先將前文計(jì)算的各關(guān)節(jié)角度作為輸入量來(lái)驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的正確性.在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)之前，已對(duì)舵機(jī)進(jìn)行標(biāo)定，消除了由于安裝造成的基礎(chǔ)誤差以及可能由舵機(jī)內(nèi)部電路產(chǎn)生的線(xiàn)性誤差.

通過(guò)攝像系統(tǒng)對(duì)受控對(duì)象進(jìn)行精確測(cè)量，將攝像頭分布在一個(gè)球面上，可以有效地提高采集及標(biāo)定精度，如圖2（a）所示.同時(shí)，在每個(gè)關(guān)節(jié)以及足底附近位置上粘貼了標(biāo)記點(diǎn)，便于攝像系統(tǒng)采集關(guān)節(jié)位置，如圖2（b）所示.

通過(guò)采集數(shù)據(jù)的分析處理得到各關(guān)節(jié)角度，如圖3所示.通過(guò)計(jì)算得到各個(gè)關(guān)節(jié)的平均相對(duì)誤差均在5%以?xún)?nèi)，但是由于關(guān)節(jié)機(jī)器人每個(gè)關(guān)節(jié)誤差的累積，導(dǎo)致足底末端的軌跡與理想軌跡產(chǎn)生了較大的誤差.

3 誤差消除策略

為了消除足底末端位置的誤差，提高各個(gè)關(guān)節(jié)的控制精度.為了使機(jī)器人結(jié)構(gòu)更加輕便，以適應(yīng)水下極端的工作環(huán)境，本文未對(duì)各關(guān)節(jié)舵機(jī)加入傳感器構(gòu)成反饋，采用前饋補(bǔ)償?shù)姆绞剑瑢?duì)誤差進(jìn)行估計(jì)，并加以消除.

圖2 水下足式機(jī)器人實(shí)驗(yàn)裝置Fig.2 Experiment equipment of underwater multi-legged robot

圖3 豎直直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.3 Experiment data during vertical linear motion

3.1 前饋補(bǔ)償

為了消除控制上的誤差，擬增加一個(gè)前饋補(bǔ)償環(huán)節(jié).前文已經(jīng)提到，本文的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是不加入傳感器，采用開(kāi)環(huán)控制，利用舵機(jī)內(nèi)部電路進(jìn)行閉環(huán)控制.在機(jī)器人運(yùn)行的過(guò)程中，對(duì)于機(jī)器人的位置是未知的，只能通過(guò)對(duì)機(jī)器人動(dòng)作完成情況的估計(jì)，得到各關(guān)節(jié)角度與理想角度之間的誤差，從而利用前饋補(bǔ)償?shù)姆椒▽?duì)誤差加以消除.需要消除的誤差主要有以下兩類(lèi).

1）線(xiàn)性誤差.線(xiàn)性誤差產(chǎn)生的原因非常簡(jiǎn)單，主要是電路中各元器件自身的精度造成的，使得系統(tǒng)出現(xiàn)粗大誤差，如初始位置不一致，理想軌跡與真實(shí)軌跡的斜率不一致等.線(xiàn)性誤差不包括外界因素對(duì)舵機(jī)本身工作的影響.該誤差的消除方法較簡(jiǎn)單，通過(guò)空載線(xiàn)性擬合得到，并非本文重點(diǎn)，后文不再進(jìn)行分析.

2）非線(xiàn)性誤差.產(chǎn)生非線(xiàn)性的因素有很多，如減速箱齒輪間隙導(dǎo)致回程差、摩擦等，尤其在大負(fù)載的情況下，摩擦的影響更突出.

利用前饋補(bǔ)償?shù)姆绞綄?duì)上述誤差進(jìn)行消除，控制框圖如圖4所示.圖中，θtgt為目標(biāo)角度，elin、enln分別為當(dāng)前狀態(tài)下估計(jì)出的線(xiàn)性誤差和非線(xiàn)性誤差，θcmd為實(shí)際輸入給舵機(jī)的指令角度，θout為實(shí)際輸出角度.

系統(tǒng)包括2個(gè)前饋補(bǔ)償環(huán)節(jié)，根據(jù)機(jī)器人當(dāng)前位姿和目標(biāo)位姿2個(gè)狀態(tài)，估計(jì)運(yùn)行過(guò)程中的elin和enln，對(duì)θtgt進(jìn)行前饋補(bǔ)償，得到θcmd，將其輸入給舵機(jī)，即可輸出誤差較小的角度θout.

圖4 前饋補(bǔ)償控制方法Fig.4 Feedforward control method

3.2 非線(xiàn)性誤差分析

分析產(chǎn)生非線(xiàn)性誤差的原因有2個(gè)：1）機(jī)器人選用的是大功率舵機(jī)驅(qū)動(dòng)，減速箱選用蝸輪蝸桿減速箱，在往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生回程差以及較大的摩擦，導(dǎo)致某些非線(xiàn)性現(xiàn)象的出現(xiàn).2）由于設(shè)計(jì)的需要，整個(gè)腿的重量很大，重量會(huì)導(dǎo)致機(jī)構(gòu)的形變以及往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)可能導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)性質(zhì)不同，對(duì)信號(hào)的響應(yīng)效果不一樣.各關(guān)節(jié)受到的重力力矩不同，越靠近機(jī)身，重力矩越大，對(duì)舵機(jī)運(yùn)動(dòng)的影響越明顯，其中以第二關(guān)節(jié)受重力影響最明顯.下面關(guān)于非線(xiàn)性的分析均以第二關(guān)節(jié)為對(duì)象.

將5次實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行濾波后，與理論軌跡進(jìn)行對(duì)比，得到如圖5所示的效果.圖中，θr為實(shí)際運(yùn)行軌跡.可以看出，這是一個(gè)非線(xiàn)性的環(huán)節(jié)，以圖5的抬腿軌跡曲線(xiàn)為例，運(yùn)動(dòng)開(kāi)始有一段回程差造成的飽和環(huán)節(jié)，后半部分是先滯后、后超前的摩擦環(huán)節(jié)，落腿軌跡也是同樣的現(xiàn)象.本文參考LuGre摩擦模型［14］，對(duì)該非線(xiàn)性環(huán)節(jié)進(jìn)行描述.

為了方便分析，首先利用巴特沃茲方法對(duì)多組試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行低通濾波，得到圖6的點(diǎn)劃線(xiàn)所示的濾波后試驗(yàn)數(shù)據(jù).

為了描述方便，將該非線(xiàn)性環(huán)節(jié)分為2部分.其中，前后部分是斜率為0的飽和環(huán)節(jié)，中間用平行四邊形描述摩擦造成的非線(xiàn)性環(huán)節(jié)，可得如下表達(dá)式：

圖5 單關(guān)節(jié)軌跡的非線(xiàn)性現(xiàn)象Fig.5 Nonlinear phenomenon of single joint trajectory

式中：（x0，y0）點(diǎn)為圖中黑色直線(xiàn)的中點(diǎn)；a、b 分別代表紅色軌跡飽和環(huán)節(jié)結(jié)束，進(jìn)入摩擦環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)距離中點(diǎn)x、y 方向上的偏移量；k1、k2分別為平行四邊形兩線(xiàn)段的斜率，k1為較短邊；x1為平行四邊形另一交點(diǎn)距離中點(diǎn)x 方向上的距離，可以通過(guò)其他已知量表達(dá).

通過(guò)線(xiàn)性回歸的方法，可得

圖6 非線(xiàn)性現(xiàn)象的擬合結(jié)果Fig.6 Fit result of nonlinear phenomenon

將理論非線(xiàn)性線(xiàn)型與實(shí)際試驗(yàn)軌跡的濾波后結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖6 所示.線(xiàn)型回歸的相關(guān)性系數(shù)R2＝0.998 4，即線(xiàn)性回歸的效果較好，可以利用該軌跡作為控制策略的設(shè)計(jì)依據(jù).

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

在加入前饋補(bǔ)償后，再次控制機(jī)械腿完成同樣的動(dòng)作，并與前一次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證該前饋補(bǔ)償環(huán)節(jié)對(duì)精度提高的效果.

4.1 豎直直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)

在加入前饋補(bǔ)償后，第二關(guān)節(jié)角度的曲線(xiàn)如圖7所示.與圖5對(duì)比可以看出，在中間段的誤差得到了很好的消除，證明了該方法的可行性.在增加前饋補(bǔ)償環(huán)節(jié)前，數(shù)據(jù)的平均誤差為3.53%；其后，平均誤差下降到1.02%，進(jìn)一步證明了該方法的可行性.

分析數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，兩端的誤差較大，分析原因可能是在兩端，非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的正向是飽和階段，為水平直線(xiàn).在做逆解的過(guò)程中，該階段的斜率無(wú)窮大；在實(shí)際控制中，該方程不存在，故給定大斜率進(jìn)行逼近，這樣可能造成兩端剛進(jìn)入飽和階段時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)偏離理論軌跡的現(xiàn)象，這是需要進(jìn)一步改進(jìn)的地方.

對(duì)第3和第4關(guān)節(jié)進(jìn)行前饋補(bǔ)償，以消除重力及回程差帶來(lái)的非線(xiàn)性現(xiàn)象，足底軌跡誤差得到了很好的消除，效果如圖8所示.圖中，z 為足底在機(jī)器人基坐標(biāo)系中的足底的理想高度，e為足底實(shí)際位置與真實(shí)位置的誤差距離.通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，加入補(bǔ)償前后誤差有了明顯的減小，平均絕對(duì)誤差為5.09 mm，滿(mǎn)足了精度的要求.

圖7 加入前饋補(bǔ)償后的結(jié)果Fig.7 Experiment result with feedforward compensation

圖8 豎直直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)位置誤差對(duì)比Fig.8 Comparison of position error during vertical linear motion

4.2 拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)

為了更好地驗(yàn)證該策略的實(shí)用性，利用同樣的控制策略，采用更廣泛的足底拋物線(xiàn)的步態(tài)進(jìn)行實(shí)驗(yàn).拋物線(xiàn)軌跡如圖9所示，軌跡為z＝-0.028×（x-300）2-70，即初始高度為機(jī)器人機(jī)身坐標(biāo)系的-140mm，向上抬起70mm；橫向從250mm 處向外邁出100mm.

圖9 拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)機(jī)器人位姿Fig.9 Posture during parabola motion

由于拋物線(xiàn)結(jié)合了水平運(yùn)動(dòng)和豎直運(yùn)動(dòng)，且豎直方向上是往復(fù)運(yùn)動(dòng)，在加入前饋補(bǔ)償前，機(jī)器人基本無(wú)法跟隨理想軌跡，三關(guān)節(jié)的平均相對(duì)誤差達(dá)到9.82%、3.50%、1.22%.在加入前饋補(bǔ)償后，情況有明顯改觀，如圖10所示.可以看出，多次試驗(yàn)的結(jié)果與理想軌跡基本重合，三關(guān)節(jié)的平均相對(duì)誤差僅為1.06%、0.80%、0.96%.

對(duì)足底位置誤差進(jìn)行對(duì)比，如圖11所示.在加入前饋補(bǔ)償前，誤差基本在30mm 以上，難以跟隨；在加入前饋補(bǔ)償后，誤差基本可以穩(wěn)定在10mm 內(nèi).

通過(guò)2種不同軌跡的驗(yàn)證可以發(fā)現(xiàn)，在加入前饋補(bǔ)償后，單關(guān)節(jié)的跟隨更加接近理想值，整個(gè)機(jī)器人表現(xiàn)的足底誤差明顯減小，充分證明了該控制策略的可行性.

圖10 拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.10 Experiment data during parabola motion

圖11 拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)位置誤差對(duì)比Fig.11 Comparison of position error during parabola motion

5 結(jié) 語(yǔ)

本文建立機(jī)器人單腿運(yùn)動(dòng)模型，正確推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆解，通過(guò)足底位置可以反算出各個(gè)關(guān)節(jié)的理論輸入角度.通過(guò)完成運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，得到不同步態(tài)下，機(jī)器人足底運(yùn)動(dòng)軌跡以及各個(gè)關(guān)節(jié)理論輸入角度的曲線(xiàn).通過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，由于回程差、重力等因素造成的滯環(huán)和飽和相結(jié)合的非線(xiàn)性環(huán)節(jié)，推導(dǎo)出理論表達(dá)式，并通過(guò)線(xiàn)性回歸的方法得到參數(shù).

在控制策略中加入了前饋補(bǔ)償?shù)沫h(huán)節(jié)，通過(guò)足底豎直直線(xiàn)和拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)2種軌跡，驗(yàn)證加入該方法后角度相對(duì)誤差穩(wěn)定在1%左右.證明了該方法可以有效地減小軌跡跟隨誤差，使舵機(jī)可以較好地跟隨理想曲線(xiàn)，從而驗(yàn)證了該方法的可行性.在負(fù)載較大或負(fù)載對(duì)舵機(jī)運(yùn)行產(chǎn)生一定影響時(shí)，可以利用該方法有效地消除誤差.

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