宋勇

判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)易忽視的一種特殊情況

例1 已知函數(shù)[fx=-13x3+ax2-x-1]在[R]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)[a]的取值范圍.

錯(cuò)解 [fx=-x2+2ax-1]，因?yàn)閇fx]在[R]上是減函數(shù)，所以[fx<0]在[R]上恒成立，即[Δ=4a2-4<0]，解得[-1

正解 [fx<0]恒成立的充要條件并不是[fx]在[R]上是減函數(shù).

事實(shí)上， 當(dāng)[a=1]時(shí)，[fx=-x-12].

則當(dāng)[x∈-∞，1]時(shí)，[fx<0].

當(dāng)[x∈1，+∞]時(shí)，[fx<0].

當(dāng)[x=1時(shí)，fx=0]，而函數(shù)[fx]在[x=1]處連續(xù).

因此[fx]在[R]上是減函數(shù).

同理可知當(dāng)[a=-1]時(shí)，[fx]在[R]上是減函數(shù).

所以[a]的取值范圍為[-1≤a≤1].（有條件的同學(xué)可用幾何畫板作出[a=±1]時(shí)的函數(shù)圖象.）

點(diǎn)撥 錯(cuò)誤的根源是將函數(shù)單調(diào)性的充分條件誤認(rèn)為是充要條件，在根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)問題時(shí)最容易犯這種錯(cuò)誤. 解決這類問題時(shí)既要注意其充分性，又要注意其必要性.已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，可轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題.一般地，函數(shù)[f（x）]在區(qū)間[I]上單調(diào)遞增（遞減）等價(jià)于不等式[fx≥0（fx≤0）]在區(qū)間[I]上恒成立，然后可借助分離參數(shù)等方法求出參數(shù)的取值范圍，并驗(yàn)證[fx=0]是否有有限個(gè)解.

求函數(shù)的極值點(diǎn)二種易混淆的情形

1. 誤認(rèn)為導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)

例2 函數(shù)[fx=x3-ax2-bx+a2]在[x=1]處有極值[10]，求[a]，[b]的值.

錯(cuò)解 [fx=3x2-2ax-b]，由題意得，[f1=0]，且[f1=10]，

即[3-2a-b=0，1-a-b+a2=10，]解得[a=3，b=-3，]或[a=-4，b=11.]

正解 [fx0=0]是可導(dǎo)函數(shù)[y=fx]在[x=x0]處有極值的必要條件而非充分條件.只有同時(shí)滿足在[x0]附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反，才能判定在[x=x0]處取得極值，因此上述解法在解出[a]，[b]的值后，還應(yīng)檢驗(yàn)[fx=3x2-2ax-b]在[x=1]附近導(dǎo)數(shù)符號(hào)的變化情況.經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)只有[a=-4]，[b=11]符合條件.

2. 誤認(rèn)為極值只能在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)處取得

例3 求函數(shù)[fx=x2-x-6]的極值.

錯(cuò)解 由于[fx=x2-x-6 ， x≤-2或x≥3，-x2+x+6， -2

于是[fx=2x-1 ， x<-2或x>3，-2x+1 ，-2

令[fx=0]得，[x=12.]

當(dāng)[-20].

當(dāng)[12

所以當(dāng)[x=12]時(shí)，函數(shù)有極大值[254].

正解 [fx0=0]是可導(dǎo)函數(shù)[y=fx]在[x=x0]處有極值的必要條件而非充分條件. 在確定極值時(shí)，只討論滿足[fx=0]的點(diǎn)[x0]附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化情況是不全面的，在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處也可能存在極值.在上述解法中，顯然忽視了討論[x=-2]和[x=3]處左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化情況，從而產(chǎn)生了解答不完備的現(xiàn)象.正確的結(jié)果還應(yīng)包括在[x=-2]和[x=3]處函數(shù)取到極小值0.

點(diǎn)撥 第一種情況誤認(rèn)為[fx0=0]是可導(dǎo)函數(shù)[y=fx]在[x=x0]處有極值的充要條件，忽視了判斷滿足[fx=0]的點(diǎn)[x0]附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化情況.要求緊扣[fx0=0]是可導(dǎo)函數(shù)[y=fx]在[x=x0]處有極值的必要條件而非充分條件這個(gè)原則.第二種情況誤認(rèn)為極值只能在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)處取得，對(duì)極值的認(rèn)識(shí)缺乏延伸.要求同學(xué)們結(jié)合概念從函數(shù)圖象的角度體會(huì)極值不僅僅在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)處取得.

求曲線的切線方程的三種不同情況

1. 已知在曲線上一點(diǎn)求切線方程

例4 求曲線[y=1x]在點(diǎn)[A]（1，1）處的切線方程.

解析 [f（x）=-1x2]，設(shè)切線的斜率為[k]，

[∴k=f（1）=-1].

[∴切線方程為y-1=-（x-1），即x+y-2=0].

2. 已知過曲線上一點(diǎn)求切線方程

例5 求曲線[fx=x3-3x2+2x]過原點(diǎn)的切線方程.

錯(cuò)解 [fx=3x2-6x+2]，設(shè)切線的斜率為[k]，則[k=f0=2]，所以所求曲線切線方程為[y=2x].

正解 “過某點(diǎn)”與“在某點(diǎn)處”是不同的，在某點(diǎn)處的切線表明此點(diǎn)是切點(diǎn)，而過某點(diǎn)的切線，此點(diǎn)并不一定是切點(diǎn). 本題過原點(diǎn)的切線有兩條，其中一條以原點(diǎn)為切點(diǎn)，另一條以點(diǎn)[P32，-38]為切點(diǎn).

[fx=3x2-6x+2]，設(shè)切線的斜率為[k].

（1）當(dāng)切點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)，[k=f0=2]，所以所求曲線的切線方程為[y=2x].

（2）當(dāng)切點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)是[x0，y0]，

則有[y0=x30-3x20+2x0]，[k=y0x0=x20-3x0+2]①.

又[k=fx0=3x20-6x0+2]②，

由①②得，[x0=32]，[k=y0x0=-14].

故所求曲線的切線[y=-14x].

綜上，切線方程為[y=2x]或[y=-14x.]

3. 已知過曲線外的一點(diǎn)求切線的方程

例6 求過點(diǎn)[A（2，0）]且與曲線[y=1x]相切的直線方程.

解析 [f（x）=-1x2]，設(shè)切線的斜率為[k].

設(shè)切點(diǎn)[Px0，y0]，則[y0=1x0x0≠0].

[∴k=-1x02]，切線方程為[y-y0=-1x02（x-x0）]，

即[y-1x0=-1x02（x-x0）].

又[∵切線方程過點(diǎn)A2，0]，

即[0-1x0=-1x02（2-x0）x0≠0]，

[∴x0=1，切點(diǎn)P1，1，]

[故切線方程為y-1=-（x-1），即x+y-2=0].

點(diǎn)撥 對(duì)這三種情況，首先要判斷點(diǎn)是否在曲線上，其次看曲線上的是否作為切點(diǎn). “過曲線上某點(diǎn)”與“在曲線上某點(diǎn)處”是不同的. 在某點(diǎn)處的切線表明此點(diǎn)是切點(diǎn)；而過某點(diǎn)的切線，此點(diǎn)并不一定是切點(diǎn)，應(yīng)該分是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況來考慮.

同學(xué)們?cè)谝韵聨讉€(gè)方面經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流、反思等思維過程，就能改進(jìn)自己的學(xué)習(xí)方式，體會(huì)學(xué)習(xí)的成就感.如：在知識(shí)形成過程的“關(guān)鍵點(diǎn)”，在應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生解決問題策略的“關(guān)節(jié)點(diǎn)”，在數(shù)學(xué)知識(shí)之間的“聯(lián)接點(diǎn)”，在數(shù)學(xué)問題研究的“發(fā)散點(diǎn)”，在思維發(fā)展的“臨界點(diǎn)”.