張　廈，張文明

（上海交通大學(xué)　機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200240）

微機(jī)械諧振器可變錨點(diǎn)結(jié)構(gòu)能量耗散特性分析

張廈1，張文明2

（上海交通大學(xué)機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200240）

微機(jī)械諧振器在振動(dòng)過(guò)程中總會(huì)產(chǎn)生能量耗散，并且具有諸如空氣阻尼耗散、熱彈性阻尼耗散、錨點(diǎn)結(jié)構(gòu)耗散、表面耗散等諸多耗散機(jī)制，其中錨點(diǎn)結(jié)構(gòu)耗散是一種主要的能量耗散機(jī)制。應(yīng)用完美匹配層方法，將無(wú)限大區(qū)域入射波的吸收問(wèn)題轉(zhuǎn)化到有限區(qū)域內(nèi)進(jìn)行。針對(duì)中心支撐圓盤體模態(tài)諧振器，設(shè)計(jì)兩種不同的錨點(diǎn)支撐結(jié)構(gòu)，并分別討論其幾何結(jié)構(gòu)的變化對(duì)諧振器固有頻率和錨點(diǎn)損耗品質(zhì)因子的影響。結(jié)果證明通過(guò)調(diào)整錨點(diǎn)結(jié)構(gòu)，可以大幅度提高諧振器的錨點(diǎn)耗散品質(zhì)因子，提高能量的利用效率。

振動(dòng)與波；微機(jī)械諧振器；錨點(diǎn)耗散；完美匹配層；結(jié)構(gòu)優(yōu)化

錨點(diǎn)結(jié)構(gòu)能量耗散［1］又可以稱作支撐結(jié)構(gòu)能量耗散，是微機(jī)電系統(tǒng)［2］（Micro-Electro-Mechanical System，MEMS）中主要的能量耗散機(jī)制之一。對(duì)于微機(jī)械諧振器來(lái)說(shuō)，錨點(diǎn)結(jié)構(gòu)耗散的能量是通過(guò)諧振體與支撐結(jié)構(gòu)相互耦合而耗散掉的機(jī)械能。當(dāng)彈性諧振體振動(dòng)時(shí)，會(huì)在其固支端產(chǎn)生振動(dòng)剪切力和彎矩，隨后作為激勵(lì)源在基底上激發(fā)出彈性波，并通過(guò)基底傳播到無(wú)窮遠(yuǎn)處耗散掉，即支撐結(jié)構(gòu)吸收了諧振器的部分振動(dòng)能量。

錨點(diǎn)結(jié)構(gòu)能量耗散被認(rèn)為是外部能量耗散，因?yàn)榭梢酝ㄟ^(guò)改變錨點(diǎn)的幾何結(jié)構(gòu)來(lái)改善其性能。本文應(yīng)用完美匹配層（Perfectly Matched Layers，PML）方法，針對(duì)錨點(diǎn)結(jié)構(gòu)引起的能量耗散進(jìn)行一定的分析，討論錨點(diǎn)結(jié)構(gòu)的變化對(duì)圓盤體模態(tài)諧振器固有頻率和錨點(diǎn)耗散品質(zhì)因子的影響。

1　完美匹配層方法

完美匹配層方法最早是由Berenger［3］在研究電磁波傳播問(wèn)題時(shí)提出的，其思路是設(shè)置一定厚度的吸收邊界域，不同于前人的地方是，沒(méi)有設(shè)置邊界域的材料屬性，而是從坐標(biāo)的復(fù)值變換來(lái)考慮。后來(lái)又經(jīng)過(guò)一些學(xué)者的演化與推進(jìn)，逐漸發(fā)展為一種通用的方法，使得任意入射角、頻率的波都可以無(wú)反射地入射到吸收域，并且可以應(yīng)用于任何線性波動(dòng)方程［4-6］。

一個(gè)無(wú)限大區(qū)域的PML模型可以分解為兩個(gè)子域：一個(gè)子域準(zhǔn)確描述所求問(wèn)題的實(shí)際方程，另一個(gè)子域用來(lái)描述遠(yuǎn)場(chǎng)輻射邊界條件效應(yīng)。所謂“完美匹配”，是指該吸收層具有兩種特性：一是邊界“透明”，即波可以任意穿過(guò)而不引起反射；二是層內(nèi)“吸收”，即波在其內(nèi)傳播是指數(shù)衰減的。為了更好地解釋PML的工作原理，下面以波的一維傳播問(wèn)題為例進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明。

1.1一維彈性波理論

對(duì)于一個(gè)坐標(biāo)為（0，∞）的半無(wú)限長(zhǎng)的桿，縱波以速度c在其中傳播，描述該運(yùn)動(dòng)的一維波動(dòng)方程［7］如下

其中u（x，t）代表位移。采用分離變量的方法，將方程的解設(shè)為u（x，t）=U（x）eiωt，帶入方程（1）得到赫姆霍茲方程（Helmholtz equation）

其中k=ω/c，稱作波數(shù)。

方程（2）的解的形式為

其中cout代表出射波從原點(diǎn)傳播到無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)的波幅，cin代表入射波從無(wú)窮遠(yuǎn)處傳播到原點(diǎn)時(shí)的波幅。一般認(rèn)為在無(wú)窮遠(yuǎn)處是沒(méi)有波源的，所以從物理角度來(lái)看，此處應(yīng)有cin=0。

1.2一維彈性波在完美匹配層中傳播

進(jìn)行如下坐標(biāo)變換，將坐標(biāo)從實(shí)數(shù)域映射到復(fù)數(shù)域

其中λ：R→C是一個(gè)非零的連續(xù)函數(shù)，兩端求導(dǎo)可以推導(dǎo)得到x^和x的關(guān)系如下

假設(shè)變換后的坐標(biāo)x^是赫姆霍茲方程（2）的獨(dú)立變量，則由上邊的變換可以得到如下方程

方程（6）描述了波在完美匹配介質(zhì)中的傳播特性。

假設(shè)

則方程（6）的解的形式變?yōu)?/p>

此處，只要令σ=0，則方程（6）的解與原赫姆霍茲方程（2）的解是一致的。而當(dāng)σ＞0時(shí)，波會(huì)在其傳播方向上衰減，出射波的振幅隨x的增大而衰減，入射波的振幅隨x的減小而衰減。這里可以令σ在區(qū)間［0，L］內(nèi)為零，在［L，∞）內(nèi)為σ=β（ξ-L），如圖1所示。那么對(duì)于x＞L，出射波的振幅為coute-β（x-L）2/2，入射波的振幅為cineβ（x-L）2/2。

圖1　一維彈性波分段線性衰減函數(shù)

當(dāng)波通過(guò)完美匹配介質(zhì)時(shí)，其幅值迅速衰減，利用這個(gè)特點(diǎn)，可以用有限區(qū)域來(lái)近似模擬無(wú)限區(qū)域問(wèn)題，即對(duì)L＞LN的區(qū)域，令U（LN）=0。這就是完美匹配層的思想，完美匹配層就是有限區(qū)域的完美匹配介質(zhì)。

假設(shè)令U（0）=1，U（LN）=0，寫成以出射波和入射波振幅來(lái)表示的矩陣形式為

其中α=β（LN-L）2，可以求得

即使α很小時(shí)，有限區(qū)域的解也能很好的近似無(wú)限區(qū)域的解。對(duì)于α≈4.6時(shí)，只有1%的出射波會(huì)反射。對(duì)于連續(xù)問(wèn)題，增大α可以減小波的反射。而對(duì)于由有限差分或有限元近似得到的離散方程，增大α需要格外注意。如果β較大，進(jìn)入PML的波會(huì)迅速衰減掉，有效地創(chuàng)建一個(gè)邊界層，但是如果離散的太粗糙，數(shù)值解會(huì)被惡意的反射污染。

2　方法驗(yàn)證

圖2為最常用的中心支撐圓盤體模態(tài)諧振器示意圖，在諧振圓盤上有兩個(gè)區(qū)域：一是支撐區(qū)域，該區(qū)域位于支撐梁的上方，材料為多晶硅；二是外部區(qū)域，該區(qū)域位于支撐區(qū)域外部，材料為多晶金剛石［8］。支撐梁的中軸線與諧振圓盤對(duì)齊，材料為多晶硅。

應(yīng)用上述完美匹配層方法，結(jié)合有限元數(shù)值仿真計(jì)算，將中心支撐圓盤體模態(tài)諧振器建模為如圖3所示的有限元模型。其中基底被分為有界區(qū)域和完美匹配層兩個(gè)部分，有界區(qū)域如同上一節(jié)所述，對(duì)波沒(méi)有吸收作用，并且在其邊界處，波可以任意穿過(guò)而不引起反射；外側(cè)部分為完美匹配層，對(duì)波有指數(shù)衰減的作用。這里之所以將基底模型建為球形是為了使波垂直入射，盡可能少的減小反射。這樣便以一個(gè)有限區(qū)域模擬了無(wú)限大基底中波的傳播問(wèn)題。

圖2　中心支撐圓盤體模態(tài)諧振器

圖3　有限元模型示意圖

本文得到的固有頻率和錨點(diǎn)耗散品質(zhì)因子同文獻(xiàn)［9］計(jì)算得到的結(jié)果對(duì)比列入表1中?？梢钥闯觯疚牡玫降慕Y(jié)果同文獻(xiàn)中計(jì)算出的結(jié)果相差不大，說(shuō)明本文方法是準(zhǔn)確的。

表1　計(jì)算結(jié)果同文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比

3　結(jié)果討論與分析

圓盤體模態(tài)諧振器能量的耗散機(jī)理是：諧振盤的徑向振動(dòng)帶動(dòng)支撐梁的徑向振動(dòng)，而支撐梁的徑向振動(dòng)引起其軸向的變形，進(jìn)而誘導(dǎo)出支撐梁與基底接觸區(qū)域的正應(yīng)力，產(chǎn)生彈性波，該波通過(guò)基底向無(wú)窮遠(yuǎn)處傳播并逐漸耗散掉，產(chǎn)生能量耗散。因此，從機(jī)理出發(fā)，改變支撐梁的結(jié)構(gòu)應(yīng)該會(huì)對(duì)能量耗散產(chǎn)生一定的改善?；诖朔N考慮，設(shè)計(jì)兩種支撐梁結(jié)構(gòu)來(lái)探索其幾何結(jié)構(gòu)對(duì)錨點(diǎn)能量耗散的影響。

3.1圓錐臺(tái)支撐梁

圖4為圓錐臺(tái)支撐梁圓盤體模態(tài)諧振器1/4截面示意圖。

圖4　圓錐臺(tái)支撐梁1/4截面示意圖

改變圓錐臺(tái)支撐梁底角θ的值，可以改變支撐梁與基底接觸區(qū)域的面積，當(dāng)θ為銳角時(shí)，支撐梁與基底接觸區(qū)域的面積較原來(lái)增大，當(dāng)θ為鈍角時(shí)，支撐梁與基底接觸區(qū)域的面積較原來(lái)減小。以θ為自變量，討論θ的變化對(duì)圓盤諧振器固有頻率和錨點(diǎn)耗散品質(zhì)因子的影響，所得結(jié)果如圖5所示。

圖5　圓盤諧振器固有頻率和品質(zhì)因子隨圓錐臺(tái)支撐梁底角變化關(guān)系

由圖5可以看出，改變圓錐臺(tái)支撐梁底角θ對(duì)圓盤諧振器的固有頻率幾乎沒(méi)有任何影響，這是因?yàn)閳A盤諧振器振動(dòng)時(shí)主要是面內(nèi)振動(dòng)，其剛度主要由圓盤本身及與其接觸區(qū)域的支撐梁來(lái)決定，這部分區(qū)域在圓錐臺(tái)支撐梁這種結(jié)構(gòu)中沒(méi)有變化，因此圓盤諧振器固有頻率沒(méi)有變化。但是，改變支撐梁與基底接觸區(qū)域面積的大小會(huì)對(duì)這部分的正應(yīng)力產(chǎn)生影響，而正應(yīng)力又是產(chǎn)生彈性波（錨點(diǎn)耗散來(lái)源）的原因，因此隨著θ的變化，品質(zhì)因子有較明顯的變化。當(dāng)θ＜40°時(shí)，θ越小，諧振器的品質(zhì)因子越高，因?yàn)殡S著θ的減小，支撐梁與基底的接觸區(qū)域逐漸增大，正應(yīng)力逐漸減小，所產(chǎn)生的彈性波能量減少，所以品質(zhì)因子增大；而當(dāng)θ＞90°（90°時(shí)支撐梁為圓柱支撐梁）時(shí)，隨著θ的增大，支撐梁與基底接觸區(qū)域面積減小，正應(yīng)力增大，彈性波能量也應(yīng)該會(huì)有增加，但是接觸區(qū)域的減小使能夠產(chǎn)生彈性波的區(qū)域隨之減小，而這又是此種情況下的主導(dǎo)因素，因此錨點(diǎn)處耗散的能量減小，品質(zhì)因子增大；當(dāng)40°≤θ≤90°時(shí)，由于支撐梁與基底接觸區(qū)域面積變化不大，所以品質(zhì)因子也變化不大。

3.2空心支撐梁

這種結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)是減小支撐梁與基底接觸區(qū)域面積，以減小接觸區(qū)的正應(yīng)力，從而減小彈性波的產(chǎn)生來(lái)提高諧振器的品質(zhì)因子。其1/4截面示意圖如圖6所示。

圖6　空心支撐梁1/4截面示意圖

改變空心支撐梁內(nèi)徑大小，計(jì)算得到的結(jié)果如圖7所示。

圖7　圓盤諧振器固有頻率和品質(zhì)因子隨空心支撐梁內(nèi)徑變化關(guān)系

固有頻率隨著空心支撐梁內(nèi)徑的增加幾乎沒(méi)有變化，說(shuō)明無(wú)論是空心梁還是實(shí)心梁，其徑向剛度幾乎不隨內(nèi)徑變化而變化。而品質(zhì)因子卻隨著空心支撐梁內(nèi)徑的增大而增大，并且從圖7中也可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)徑Rh＜0.5時(shí)，品質(zhì)因子的增長(zhǎng)速率比較慢，而當(dāng)Rh＞0.5后，品質(zhì)因子隨著內(nèi)徑的增大而迅速增大，因?yàn)榇藭r(shí)支撐梁壁板已經(jīng)變得很薄，同基底的接觸區(qū)域很小，能量通過(guò)其的耗散量也變得非常少，品質(zhì)因子因此就迅速增加，但是薄壁板的支撐梁強(qiáng)度較差，容易損壞，因此設(shè)計(jì)中不能做的太薄，根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的內(nèi)徑即可。

4　結(jié)語(yǔ)

應(yīng)用完美匹配層方法，用有限區(qū)域來(lái)描述無(wú)限區(qū)域內(nèi)的入射波吸收問(wèn)題，針對(duì)中心支撐圓盤體模態(tài)諧振器的能量耗散特性進(jìn)行了分析，設(shè)計(jì)出兩種新型的錨點(diǎn)支撐結(jié)構(gòu)，并討論其幾何結(jié)構(gòu)的變化對(duì)諧振器性能的影響。結(jié)果表明：圓錐臺(tái)支撐梁底角θ在小于20°和大于100°時(shí)可以明顯提高諧振器的錨點(diǎn)耗散品質(zhì)因子；空心支撐梁在支撐梁內(nèi)徑Rh大于0.5 μm時(shí)，其錨點(diǎn)耗散品質(zhì)因子得到顯著提升，但優(yōu)化工作中應(yīng)注意，增大內(nèi)徑雖然有助于提高能量的利用率，但是內(nèi)徑太大會(huì)使支撐梁的壁板較薄，強(qiáng)度會(huì)減弱，因此，在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)選取滿足要求的最小內(nèi)徑值。

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Energy DissipationAnalysis of Micromechanical Resonators with VariableAnchor Structures

ZHANGSha1，ZHANG Wen-ming2
（State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration，Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China）

Energy dissipation of micromechanical resonators is always inevitable in vibration process.There are several energy dissipation mechanisms，such as air damping dissipation，thermo-elastic damping dissipation，anchor loss，surface dissipation and so on.Of them，anchor loss is the main energy dissipation mechanism.In this paper，the perfectly matched layers method was adopted to transform the incident wave absorption problem in infinite domain into that in finite domain.Two different anchor structures of centrally-supported bulk-mode disk resonator were designed.And the influence of the geometrical changes of the structure on the inherent frequencies and anchor loss quality factor of the bulk mode disk resonator was discussed.The results show that the anchor loss quality factor can be greatly improved and the energy utilization efficiency can be raised by changing the anchor structure of the resonator.

vibration and wave；micromechanical resonator；anchor loss；perfectly matched layers；structure optimization

TB535.1

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2015.05.007

1006-1355（2015）05-0039-04

2015－01－21

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11322215）；霍英東青年教師基金項(xiàng)目（141050）

張廈（1987－），男，河北石家莊人，碩士生，主要研究方向：微機(jī)電系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)。

E-mail:ziying1282@sjtu.edu.cn

張文明（1978－），男，博士生導(dǎo)師。

E-mail:wenmingz@sjtu.edu.cn