譚　青，任志湘，魏　來

（中南大學(xué)　機電工程學(xué)院，長沙410083）

球式自動平衡裝置數(shù)值仿真系統(tǒng)設(shè)計

譚青，任志湘，魏來

（中南大學(xué)機電工程學(xué)院，長沙410083）

在球式自動平衡裝置的數(shù)值仿真中，傳統(tǒng)的仿真方法是利用Matlab進行數(shù)值仿真，得到的結(jié)果不具直觀性和交互性。為了解決上述問題，現(xiàn)利用VB平臺，采用龍格—庫塔法對球式自動平衡裝置的數(shù)學(xué)模型進行數(shù)值求解，設(shè)計一種能夠使仿真結(jié)果動態(tài)可視化的交互式數(shù)值仿真系統(tǒng)。仿真結(jié)果表明，該數(shù)值仿真系統(tǒng)增加仿真結(jié)果的直觀性，實現(xiàn)滾球運動狀態(tài)的動態(tài)呈現(xiàn)。得到的仿真結(jié)果與自同期理論一致，不平衡轉(zhuǎn)子的振幅得到有效的衰減。

振動與波；球式自動平衡裝置；數(shù)學(xué)模型；數(shù)值仿真系統(tǒng)；減振

對于回轉(zhuǎn)機械而言，轉(zhuǎn)子不平衡將導(dǎo)致回轉(zhuǎn)機械產(chǎn)生振動和噪聲，甚至?xí)l(fā)災(zāi)難性破壞，由此造成的損失不容忽視。目前，解決這一問題的一般方法是對其轉(zhuǎn)子進行高精度的動靜平衡［1］。由此，學(xué)術(shù)界展開了自動平衡課題的研究。球式自動平衡裝置是根據(jù)柔性轉(zhuǎn)子和彈性支撐的特性，不需要外部提供任何能量，只利用系統(tǒng)響應(yīng)所形成的能量來驅(qū)動滾球的移動和分布，從而自動地消除轉(zhuǎn)子的不平衡。球式自動平衡裝置對于運動在過臨界轉(zhuǎn)速下的旋轉(zhuǎn)機械有較好的減振效益［2］。

以往研究中，借助數(shù)值分析方法求解球式自動平衡裝置運動微分方程的結(jié)果不夠直觀，并且無法直接觀察到其滾球的運動狀態(tài)及圓盤角速度和圓盤中心軌跡等。

根據(jù)球式自動平衡裝置的數(shù)學(xué)模型，借助Visual Basic 6.0平臺設(shè)計數(shù)值仿真系統(tǒng)，實現(xiàn)了球式自動平衡裝置仿真結(jié)果的動態(tài)可視化?？紤]到在仿真過程中滾球會發(fā)生碰撞，將采用經(jīng)過碰撞調(diào)整的適用于本數(shù)學(xué)模型的4階龍格—庫塔法求解。

1　球式自動平衡裝置的數(shù)學(xué)模型

球式自動平衡裝置的工作原理是轉(zhuǎn)子在過臨界轉(zhuǎn)速下旋轉(zhuǎn)時，轉(zhuǎn)子內(nèi)滾球的位置將自動的受轉(zhuǎn)子機械振動相位的影響，移動到偏心質(zhì)量的另一邊，一定程度上抵消偏心質(zhì)量所產(chǎn)生的離心慣性力，從而起到減振的作用［2］。

球式自動平衡裝置的主要結(jié)構(gòu)如圖1所示，一個轉(zhuǎn)盤固定在一根轉(zhuǎn)軸上，轉(zhuǎn)盤滾道內(nèi)裝有若干滾球，其中轉(zhuǎn)盤中心位于O點，G處為不平衡質(zhì)量，偏心距為e，滾球在半徑為R的滾道上運行，剛度和阻尼簡化到水平和豎直方向上。在建立數(shù)學(xué)模型時，將其結(jié)構(gòu)簡化為轉(zhuǎn)盤和滾球兩部分，并做如下假設(shè)：

1）轉(zhuǎn)盤為均質(zhì)圓形薄盤；

2）轉(zhuǎn)速視為按給定的函數(shù)變化；

3）球與滾道之間無相對滑動；

4）轉(zhuǎn)盤處在水平方向，不考慮軸向運動及重力影響。

圖1　球式自動平衡裝置結(jié)構(gòu)圖

所采用的符號表示如下（單位均采用國際標(biāo)準(zhǔn)單位）：

XOY：系統(tǒng)整體坐標(biāo)系。以X和Y表示轉(zhuǎn)盤中心O的坐標(biāo)。

Kx、KY：X方向的剛度系數(shù)和Y方向的剛度系數(shù)；CX、CY：X方向的粘性阻力系數(shù)和Y方向的粘性阻力系數(shù)。

θ：不平衡質(zhì)量相對于X軸的轉(zhuǎn)角；

φi：第i個滾球的轉(zhuǎn)角。

β0：滾球的滾動摩擦系數(shù)；β1:滾球的粘性阻尼系數(shù)。

M：系統(tǒng)總質(zhì)量，m1、m2、m3、m分別為偏心質(zhì)量、轉(zhuǎn)盤質(zhì)量、電機質(zhì)量和滾球質(zhì)量。

I、I1、I2：滾球的轉(zhuǎn)動慣量、偏心質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量、圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。

R、r：滾球轉(zhuǎn)動半徑和球徑。

利用拉格朗日運動微分方程建立球式自動平衡裝置的數(shù)學(xué)模型，其推導(dǎo)過程參照文獻［3］第17至19頁，得到系統(tǒng)微分方程如下

2　數(shù)值仿真系統(tǒng)的實現(xiàn)

采用四階龍格—庫塔法對上節(jié)給出的數(shù)學(xué)模型進行數(shù)值分析求解。數(shù)值分析需要借助編程平臺，對于一般的數(shù)學(xué)計算，首選Matlab，但Matlab在可視化上不如通用編程語言靈活，因此本文的計算將采用VB，利用VB強大的圖形化功能增加仿真結(jié)果的直觀性，實現(xiàn)滾球運動狀態(tài)的動態(tài)呈現(xiàn)。仿真程序流程如圖2所示。

圖2　仿真程序流程圖

2.1系統(tǒng)微分方程化簡

將通用運動方程（1）化為便于仿真的通用格式1階微分方程組，以3球為例，取

將定義的廣義坐標(biāo)代入式（1）得到式（2），觀察可知，式（2）為已知初值的通用格式1階微分方程組，可以采用龍格—庫塔法求解。

2.2仿真參數(shù)

仿真參數(shù)依據(jù)實驗室原有的實驗設(shè)備確定，見表1。系統(tǒng)中仿真參數(shù)為變量，可通過改變仿真參數(shù)進行不同情況的仿真。

2.3仿真算法

仿真算法為4階龍格—庫塔法［4］。對于通用格式的1階微分方程組，如果初值可以確定，借助微機可以采用此算法求解。對于初值問題

4階龍格—庫塔法求解下一步的方法為

上式中h為步長，ki為

2.4碰撞調(diào)整

球式自動平衡裝置運動過程中的滾球可能會相撞，因此在龍格-庫塔法一個步的求解后，需檢查球的位置是否干涉，如果干涉須做碰撞處理。對于在滾道中運動的滾球，由于存在摩擦和粘性阻尼，可視為完全非彈性碰撞，即指滾球碰撞結(jié)束后，這一瞬間內(nèi)兩物體的運動狀況完全相同，擁有相同的速度［5］。

兩球碰撞的判斷條件為兩球夾角φ滿足

完全非彈性碰撞后的結(jié)果為兩球分別往各自兩側(cè)移動α

兩球速度均變?yōu)?/p>

2.5數(shù)值仿真系統(tǒng)界面

基于VB設(shè)計的數(shù)值仿真系統(tǒng)主要輸出有X和Y方向的振幅、轉(zhuǎn)盤中心的運動軌跡、各滾球相對不平衡質(zhì)量的轉(zhuǎn)角、滾球在轉(zhuǎn)盤內(nèi)運動的動畫等。

該仿真系統(tǒng)具備計算0個滾球（視為不平衡轉(zhuǎn)子）和1～3個滾球（視為不同的球式自動平衡裝置）系統(tǒng)各項參數(shù)的能力。

軟件界面分三列，第一列四幅圖顯示振幅，分別為無滾球和有滾球情況下X和Y方向的振幅輸出，在無滾球計算完成后，保留振幅輸出圖像，便于同有滾球的時候形成振幅對比。中間列第一幅圖為角速度輸入，中間列后三幅圖為各滾球相對不平衡質(zhì)量的轉(zhuǎn)角。最右邊列第一幅圖動態(tài)顯示滾球在轉(zhuǎn)盤內(nèi)的運動情況，本模塊可以根據(jù)計算得到的轉(zhuǎn)角，以動畫的方式顯示滾球運動情況，不平衡質(zhì)量在X軸正向，滾球以轉(zhuǎn)盤為參考系運行，最右邊列下面一幅顯示轉(zhuǎn)盤中心運動軌跡，也就是振幅在XY平面內(nèi)的點云圖像。右下角的四個按鈕可以根據(jù)滾球數(shù)點擊，用來啟動仿真。

表1　仿真參數(shù)（未注單位為國際單位）

3　仿真系統(tǒng)的仿真結(jié)果

根據(jù)自同期理論［6］預(yù)測滾球在不同轉(zhuǎn)速下的位置：當(dāng)轉(zhuǎn)速較低時，滾球向偏心質(zhì)量一側(cè)移動，此時會造成轉(zhuǎn)子振幅增大；當(dāng)轉(zhuǎn)速大于1階臨界轉(zhuǎn)速時，如果只是略大于，可能會產(chǎn)生自激振蕩，如果大得多，則滾球開始遠離偏心質(zhì)量，達到平衡的目的［7］。下面分析四種不同滾球數(shù)目下的輸出，與自同期理論形成對比，驗證仿真系統(tǒng)結(jié)果的可信性。

殘留振幅是衡量過臨界轉(zhuǎn)速時移動物體對不平衡轉(zhuǎn)子減振能力的標(biāo)志，最大振幅是決定轉(zhuǎn)子啟動時能否安全通過共振區(qū)的一項指標(biāo)，因此最大振幅、殘留振幅作為評價自動平衡回轉(zhuǎn)機械工作機理影響因素的指標(biāo)［3］。由于X、Y方向振幅規(guī)律相近，本文僅分析X方向振幅。

為了使仿真盡量接近實際情況，角速度輸入采用從0以5 s時間加速到25 Hz后勻速轉(zhuǎn)動。仿真時間持續(xù)30 s，每0.008 s取一個步，總共3 750個計算步。這里指出，仿真步的大小要選擇合適，步太大影響結(jié)果的準(zhǔn)確性，步太小會導(dǎo)致仿真時間過長。

3.1不裝滾球

不裝滾球下的球式自動平衡裝置可視為普通不平衡轉(zhuǎn)子，其水平方向的振幅如圖3所示，從圖中的振幅走向可以看出，剛開始由于轉(zhuǎn)速不大，轉(zhuǎn)子振幅較小，之后轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速達到一階臨界轉(zhuǎn)速后通過共振區(qū)，達到最大振幅，最后逐漸衰減為穩(wěn)定值。最大振幅值和殘留振幅值可從圖上獲得（水平方向最大振幅由Xmax表示，殘留振幅由Xbal表示）。

圖3　未裝滾球的計算結(jié)果

3.2 1個滾球

球式自動平衡裝置內(nèi)裝有1個滾球的情況如圖4所示，滾球的原始位置相對不平衡質(zhì)量的轉(zhuǎn)角為0，其X方向的振幅如圖4（a）所示。從圖中的振幅走向可以看出，剛開始由于轉(zhuǎn)速不大，轉(zhuǎn)子振幅較小，之后轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速達到1階臨界轉(zhuǎn)速后通過共振區(qū)，達到最大振幅，該振幅超過了不裝滾球時的最大振幅，說明此時滾球加大了不平衡量，最后逐漸衰減為一個穩(wěn)定值，該穩(wěn)定值低于未裝滾球時的殘留振幅，說明滾球已經(jīng)起到平衡不平衡質(zhì)量的作用，符合自同期現(xiàn)象。圖4（b）顯示轉(zhuǎn)盤的中心運動軌跡。最大振幅值和殘留振幅值具體數(shù)值如下

Xmax=1.699×10-3m，Xbal=2.270×10-6m滾球最后相對不平衡質(zhì)量的轉(zhuǎn)角為φ1'=-53.396 rad，化為角度，得滾球與不平衡質(zhì)量最后的夾角為180.63°，接近理想角度180°。圖4（c）中的區(qū)域動態(tài)顯示滾球在轉(zhuǎn)過8圈后，緩慢移動到最后停留位置。

3.3 2個滾球

球式自動平衡裝置內(nèi)裝有2個滾球，滾球初始轉(zhuǎn)角為0和π，基本情況同裝有1個滾球時相似，區(qū)別是兩個滾球可能會發(fā)生碰撞，上述初值下未發(fā)生碰撞，最大振幅同樣大于不裝滾球時的振幅。振幅穩(wěn)定值低于未裝滾球時的振幅穩(wěn)定值，減振效益十分明顯，說明滾球已經(jīng)起到平衡不平衡質(zhì)量的作用。最大振幅值和殘留振幅值及滾球停留位置具體數(shù)據(jù)如下

化為角度，得滾球1和滾球2與不平衡質(zhì)量最后的夾角分別為118.34°和238.78°，分別接近理想角度120°和240°。球式自動平衡裝置裝有2個滾球的計算結(jié)果如圖5所示。

圖4　裝有1個滾球的計算結(jié)果

3.4 3個滾球

球式自動平衡裝置內(nèi)裝有3個滾球的情況如圖

6所示，滾球初始轉(zhuǎn)角為0、2 π/3和4 π/3，其X方向的振幅如圖6（a）所示。從圖中的振幅走向可以看出，剛開始由于轉(zhuǎn)速不大，轉(zhuǎn)子振幅較小，之后轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速達到1階臨界轉(zhuǎn)速后通過共振區(qū)，達到最大振幅，由于初始位置比較理想，該振幅略低于不裝滾球時的最大振幅，實際上此時滾球加大了不平衡量。最后逐漸衰減為穩(wěn)定值，該穩(wěn)定值低于未裝滾球時的殘留振幅，說明滾球已起到平衡不平衡質(zhì)量的作用。這里指出在上述初始轉(zhuǎn)角下，滾球之間有相互碰撞。最大振幅值和殘留振幅值及滾球轉(zhuǎn)角具體數(shù)值如下

圖5　裝有2個滾球的計算結(jié)果

圖6　裝有3個滾球的計算結(jié)果

化為角度，得滾球1、滾球2和滾球3與不平衡質(zhì)量最后夾角分別為270.23°、89.40°和179.52°，接近理想角度270°、90°和180°。圖6（c）顯示了滾球的最后停留位置。

4　結(jié)語

基于VB設(shè)計的球式自動平衡裝置數(shù)值仿真系統(tǒng)，通過參照（未裝滾球）和三組帶滾球的仿真，得到的仿真結(jié)果與自同期理論一致，不平衡轉(zhuǎn)子的振幅都得到了有效的衰減，減振效益達到40倍左右。

仿真過程中發(fā)現(xiàn)，減振速度與仿真步的大小有關(guān)，仿真步越小，滾球達到穩(wěn)定位置的時間越長；殘留振幅與仿真時間有關(guān)，仿真時間越長，殘留振幅越小。

該數(shù)值仿真系統(tǒng)實現(xiàn)了球式自動平衡裝置仿真結(jié)果的動態(tài)可視化，增加仿真結(jié)果的直觀性，實現(xiàn)了滾球運動狀態(tài)的動態(tài)呈現(xiàn)。通過修改仿真系統(tǒng)的參數(shù)，可以很便捷的分析仿真結(jié)果的影響因素，包括初始位置、滾道摩擦系數(shù)、滾道阻尼系數(shù)、轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)加速度等。

［1］劉文倩，譚青，謝燕琴，等.自動平衡裝置減振效益分析［J］.噪聲與振動控制，2010，30（4）：153-157.

［2］譚青，周鐵，黃秀祥.球式自動平衡裝置的數(shù)值仿真與實驗研究［J］.噪聲與振動控制，2008，28（3）：142-145.

［3］周鐵.內(nèi)裝滾球轉(zhuǎn)子自同期現(xiàn)象的理論與實驗研究［D］.長沙：中南大學(xué)，2008.

［4］Brooks Cole.馮煙利譯.數(shù)值分析［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［5］哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)（第七版）［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［6］井上順吉，荒木嘉昭.振動機械的自己同期化研究（日文）［C］.日本機械學(xué)會論文集，1967，33（2）.246.

［7］楊義蛟，譚青，周鐵.自動平衡回轉(zhuǎn)機械的工作機理研究［J］.機械設(shè)計與研究，2009，（4）：33-36.

Design of Numerical Simulation System of Ball-type Automatic Balancers

TANQing，REN Zhi-xiang，WEILai
（College of Mechanical&Electrical Engineering，Central South University，Changsha 410083，China）

The Matlab code is used very often in numerical simulation of ball-type automatic balancers.But the results are neither intuitive nor interactive.In this paper，a new dynamic simulation system with VB platform was designed.The mathematical model of the ball-type automatic balancers was solved numerically using Runge-Kutta method.The simulation results show that the system enables interactive visualization and intuition of the simulation results and realizes the dynamic presentation of the state of dynamic motion of the balls.The simulation results obtained by the numerical simulation system of the ball-type automatic balancers are consistent with those of the self-synchronization theory.The amplitude of the unbalanced rotor is reduced effectively.

vibration and wave；ball-type automatic balancer；mathematical model；numerical simulation system；vibration reduction

TP311；TH113.1

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2015.05.009

1006-1355（2015）05-0048-05

2015－02－12

任志湘（1990－），女，湖南省岳陽市人，碩士生，主要研究方向：自動平衡裝置虛擬實驗平臺。

Email：jds-share@163.com

譚青（1955－），男，博士生導(dǎo)師。