陳　昊，陳　默，奚學(xué)程，趙萬生

（上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院/機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200240）

基于單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法的參數(shù)曲線電火花線切割插補(bǔ)方法研究

陳昊，陳默，奚學(xué)程，趙萬生

（上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院/機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200240）

對(duì)電火花線切割中基于單位弧長(zhǎng)增量法的參數(shù)曲線插補(bǔ)方法進(jìn)行了研究。在該方法中，各坐標(biāo)軸被看作弧長(zhǎng)參數(shù)的函數(shù)。在每個(gè)插補(bǔ)周期中，插補(bǔ)參考點(diǎn)沿著曲線前進(jìn)一個(gè)單位弧長(zhǎng)，并將所產(chǎn)生的各個(gè)進(jìn)給軸的增量分別送至其累加器。某個(gè)軸的累加器每溢出一次，該進(jìn)給軸輸出一個(gè)增量脈沖。從參數(shù)曲線的參數(shù)方程結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過使用單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法，可實(shí)現(xiàn)漸開線、擺線、阿基米德螺線、拋物線等參數(shù)曲線的直接插補(bǔ)。通過對(duì)上下異形面中較短的曲線進(jìn)行再參數(shù)化，將弧長(zhǎng)參數(shù)統(tǒng)一，實(shí)現(xiàn)了對(duì)上下異形面的四軸聯(lián)動(dòng)直接插補(bǔ)。

參數(shù)曲線；單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法；插補(bǔ)算法

電火花線切割加工在模具制造領(lǐng)域有著至關(guān)重要的作用，也更多地被運(yùn)用于直接加工零件中［1］。在一些典型零件（如沖壓模具、飛行器模型、汽車模具等）的輪廓表達(dá)上常采用參數(shù)曲線的方式［2］。參數(shù)曲線可采用數(shù)控機(jī)床進(jìn)行加工，而大部分?jǐn)?shù)控機(jī)床在處理參數(shù)曲線的插補(bǔ)問題時(shí)采用傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)采樣法（SDM）［3］，其原理是將這些曲線分成很多的小曲線段，然后用小曲線段的弦線替代小曲線段，相當(dāng)于用大量的小直線段代替一條曲線。這種處理方式會(huì)產(chǎn)生一個(gè)弓高誤差，并會(huì)造成曲線切線方向的速度不連續(xù)。同時(shí)，電火花線切割特有的針對(duì)上下異形面的變錐度加工功能也在工件形狀不斷復(fù)雜化的情況下越來越重要。其難點(diǎn)主要在于如何協(xié)同規(guī)劃上下兩個(gè)平面曲線的插補(bǔ)，在保證一定加工精度的條件下穩(wěn)定地進(jìn)行電火花線切割加工。

面對(duì)上述問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了一些相關(guān)的研究。但由于受SDM自身原理的限制，如果想要保證較高的加工精度和較均勻的進(jìn)給速度，則需CAM系統(tǒng)生成大量的數(shù)控加工代碼，在SDM的任何方法中，隨著采樣間隔的增大，必然會(huì)增大誤差。另一種避免大量加工代碼的方法就是在插補(bǔ)過程中利用SDM實(shí)時(shí)地對(duì)曲線進(jìn)行插補(bǔ)，生成小的線段［4］。近期的主要研究集中在基于SDM減少速度波動(dòng)和減小輪廓誤差方面，并未對(duì)新的方法進(jìn)行探索，如：文獻(xiàn)［5］對(duì)這一過程增加了前瞻速度的規(guī)劃來減少速度波動(dòng)，但需大量的存儲(chǔ)空間。而現(xiàn)有的部分以采用脈沖增量法（如逐點(diǎn)比較法、數(shù)字積分法、最小偏差法等）為基礎(chǔ)的局限性在于：對(duì)于圓弧的插補(bǔ)需進(jìn)行過象限的判別；沿曲線的插補(bǔ)進(jìn)給速度不均勻，從而導(dǎo)致對(duì)上下異形面插補(bǔ)的精確等比例控制過程變得困難和復(fù)雜。

因此，文獻(xiàn)［6］在基于數(shù)字積分法的思想上，提出了單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法，并將其運(yùn)用于線切割上下異形面的插補(bǔ)中；同時(shí)，對(duì)非圓參數(shù)曲線的插補(bǔ)進(jìn)行了相關(guān)研究，實(shí)現(xiàn)了單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法在非圓參數(shù)曲線上的運(yùn)用。該方法能使插補(bǔ)一條曲線的過程中保持切線方向上的速度恒定，且只需一條插補(bǔ)指令。本文主要介紹基于單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法的參數(shù)曲線加工方法在電火花線切割上的運(yùn)用。

1　參數(shù)曲線的單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法原理

由于電火花線切割加工需同時(shí)考慮正反向的插補(bǔ)，故在其應(yīng)用中，脈沖增量插補(bǔ)法比數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)法更普遍。單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法就屬于脈沖增量插補(bǔ)法的范疇，可適用于n維空間。為便于討論，先從n=2維空間開始討論。

一條曲線的參數(shù)方程可表示為其累積弧長(zhǎng)的函數(shù)：

為便于對(duì)算法進(jìn)行統(tǒng)一描述，以x1代替x、x2代替y來表示曲線坐標(biāo)。在單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法的每個(gè)周期中，插補(bǔ)點(diǎn)沿著參數(shù)曲線前進(jìn)1個(gè)機(jī)床脈沖當(dāng)量（BLU，Basic Length Unit），可用s表示弧長(zhǎng)參數(shù)，每個(gè)進(jìn)給軸的增量可用它們的m階泰勒展開式來表示：

m一般可根據(jù)參數(shù)曲線的類型進(jìn)行選擇。經(jīng)驗(yàn)證，在多數(shù)情況下，m=1或m=2時(shí)即可滿足精度要求。

為便于實(shí)現(xiàn)算法的編程，不同階的泰勒展開可分開表示：

例如：在一個(gè)插補(bǔ)周期中，選取m=2的情況，各個(gè)軸的累加器會(huì)先根據(jù)泰勒展開式進(jìn)行更新：

Si的值會(huì)被保留到下一插補(bǔ)周期。

圖1是一個(gè)周期中的插補(bǔ)過程。每一個(gè)曲線都被同等地看做一條“廣義上的直線”，插補(bǔ)的過程就像是一個(gè)點(diǎn)沿著“廣義上的直線”在前進(jìn)。當(dāng)點(diǎn)前進(jìn)1個(gè)BLU時(shí)，累加器計(jì)算的過程實(shí)質(zhì)上是在找距離該點(diǎn)最近的網(wǎng)格上的交叉點(diǎn)。

圖1　廣義單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法示意

單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法的終點(diǎn)判別方法是根據(jù)所需插補(bǔ)曲線的總長(zhǎng)度進(jìn)行的，在插補(bǔ)的一開始，插補(bǔ)參數(shù)曲線的總長(zhǎng)度由軟件模型給出。

對(duì)于許多非圓參數(shù)曲線來說，可通過其參數(shù)方程計(jì)算得到：

用微分形式可表示為：

微分形式可通過式（3）和弧長(zhǎng)參數(shù)s聯(lián)系起來：

由此可見，在插補(bǔ)過程中，從參數(shù)曲線方程的結(jié)構(gòu)出發(fā)，將參數(shù)曲線的微分形式與弧長(zhǎng)參數(shù)建立聯(lián)系，可得到泰勒展開式的運(yùn)算結(jié)果，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)參數(shù)曲線的插補(bǔ)。通過該原理可實(shí)現(xiàn)漸開線、阿基米德螺線和擺線的直接插補(bǔ)，其插補(bǔ)的計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果顯示，通過采用單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法得到的曲線與理想曲線基本重合（圖2）。

圖2　插補(bǔ)圖形仿真

對(duì)于一些非圓參數(shù)曲線來說，參數(shù)方程中不包含參數(shù)t，故其處理方法會(huì)有所不同。拋物線是一種軸對(duì)稱曲線，一個(gè)開口向上的拋物線的參數(shù)方程可表示為：

式中：p為拋物線的焦距。其參數(shù)方程能與弧長(zhǎng)參數(shù)通過式（5）進(jìn)行聯(lián)系：

從而得到：

由此可見，盡管參數(shù)方程的類型有所不同，但同樣可采用單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法對(duì)參數(shù)曲線進(jìn)行插補(bǔ)，并可看出該方法能在不進(jìn)行線性近似的情況下，通過一條指令直接對(duì)曲線插補(bǔ)。在插補(bǔ)過程中，每個(gè)周期沿切線方向增加1 BLU的距離，所以只需保證插補(bǔ)周期相等，就能得到恒定的進(jìn)給速度。如果在插補(bǔ)過程中，按需求合理規(guī)劃插補(bǔ)周期，就能實(shí)現(xiàn)進(jìn)給速度的控制。

對(duì)于上下異形面零件，在處理上、下平面加工路徑曲線同時(shí)插補(bǔ)的問題上，主要是解決弧長(zhǎng)參數(shù)的統(tǒng)一化。以（x1，x2）表示下平面曲線的坐標(biāo)（X，Y）、（x3，x4）表示上平面曲線的坐標(biāo)（U，V），則上、下平面曲線的弧長(zhǎng)參數(shù)表達(dá)式為：

為了同時(shí)開始插補(bǔ)，并同時(shí)結(jié)束插補(bǔ)，兩條曲線必須保證弧長(zhǎng)上的線性比例關(guān)系：

選取兩個(gè)弧長(zhǎng)中較長(zhǎng)的一個(gè)作為廣義弧長(zhǎng)參數(shù)，設(shè)為L(zhǎng)，并對(duì)上、下平面曲線做參數(shù)變換，可得：

通過簡(jiǎn)單的線性變化，可在單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法的基礎(chǔ)上，將兩條曲線統(tǒng)一為一條曲線，有效地一步插補(bǔ)上下異形面的兩條曲線。

2　仿真實(shí)驗(yàn)

以漸開線插補(bǔ)為例，選取漸開線中心點(diǎn)（0，0），1 BLU選取為高精度機(jī)床常用的0.1 μm，取0～π/2這一段進(jìn)行仿真，工件形狀見圖3。數(shù)據(jù)采樣法的G代碼采用UG NX 7.0生成，最大允許誤差為CAM所允許的最大弓高誤差，實(shí)際插補(bǔ)的誤差會(huì)因插補(bǔ)網(wǎng)格與小線段之間存在精插補(bǔ)誤差而更大。

圖3　漸開線工件模型

利用泰勒展開至一階，漸開線的參數(shù)方程為：

選取R為10 mm，數(shù)據(jù)采樣法選取的最大弓高誤差分別為1 μm（10 BLUs）和0.3 μm（3 BLUs），其平均誤差由于是由CAM生成，故并未計(jì)算。實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表1。可看出，單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法的精度已達(dá)到一個(gè)很高的水平。在加工一個(gè)基圓直徑為10 mm的漸開線時(shí)，其最大誤差僅為0.4 μm，誤差絕對(duì)值平均后更是＜0.3 μm。如果想用數(shù)據(jù)采樣法得到同等精度的結(jié)果，就需幾百條G代碼，這就是數(shù)據(jù)采樣法進(jìn)行了線性近似所造成的結(jié)果。

表1　仿真數(shù)據(jù)結(jié)果

此外，若將尺度再放大10倍，基圓直徑調(diào)整為100 mm，可得最大誤差為5.382 588 μm、平均誤差為3.577 758 μm，最大誤差和平均誤差分別只增加了26.8%和32.0%。由此可見，單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法對(duì)于尺度并不是特別敏感。

本課題組曾以經(jīng)典的“天圓地方”形狀工件為例，進(jìn)行了仿真分析和加工實(shí)驗(yàn)（圖4）［7］。工件一共只需4條指令便可加工而成，每條指令同步插補(bǔ)四分之一圓和一條線段的直紋面。同時(shí)，本方法在插補(bǔ)上下異形面時(shí)并不僅限于圓弧和直線，對(duì)于其他參數(shù)曲線也能統(tǒng)一化處理。

圖4　單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法插補(bǔ)“天圓地方”工件

3　結(jié)論

本文介紹了單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法的基本原理及其在參數(shù)曲線插補(bǔ)上的運(yùn)用，還介紹了漸開線、阿基米德螺線、擺線和拋物線等非圓參數(shù)曲線的插補(bǔ)原理，并進(jìn)一步介紹了采用單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法處理四軸聯(lián)動(dòng)上下異形面的方法。通過仿真驗(yàn)證了單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法的靈活性，其優(yōu)勢(shì)在于：

（1）能一步直接插補(bǔ)非圓參數(shù)曲線，如漸開線、阿基米德螺線、擺線和拋物線等；而數(shù)據(jù)采樣法需對(duì)曲線進(jìn)行線性近似，并將其處理成大量小線段。

（2）避免了采用小直線段逼近原始曲線所帶來的弦高誤差，可得到很好的插補(bǔ)精度；而數(shù)據(jù)采樣法在保證精度的前提下需大量的指令，造成了速度損失。

（3）只需一條指令便可插補(bǔ)一條曲線，簡(jiǎn)化了CAM過程，使數(shù)據(jù)采樣法所需的精插補(bǔ)和粗插補(bǔ)兩步簡(jiǎn)化為一步。

（4）可在上下異形面的處理上自動(dòng)保持上下異形面間的線性等比例速度插補(bǔ)關(guān)系。

（5）可保持插補(bǔ)過程中切線方向上的勻速，并通過對(duì)插補(bǔ)周期的速度規(guī)劃，實(shí)現(xiàn)進(jìn)給速度的策略控制；而數(shù)據(jù)采樣法需進(jìn)行前瞻的速度規(guī)劃來減少速度波動(dòng)。

由單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法的原理可見，該方法不但可用于電火花線切割加工，也可用于通用CNC機(jī)床和帶旋轉(zhuǎn)軸的多軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床。

［1］ Yang M Y，Park J H.A study on an open architecture CNC system with a NURBS interpolator for WEDM［J］. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2002，19（9）：664-668.

［2］ Yeh S S，Hsu P L.Adaptive-feedrate interpolation for parametric curves with a confined chord error［J］.Computer-Aided Design，2002，34（3）：229-237.

［3］ Suh S，Kang S，Chung D.Theory and Design of CNC Systems［M］.London：Springer，2008.

［4］ Jeong S Y，Choi Y J，Park P.Parametric interpolation using sampled data［J］.Computer Aided Design，2006，38：39-47.

［5］ Dong Haitao，Chen Bing，Chen Youping，et al.An accurate NURBS curve interpolation algorithm with short spline interpolation capacity［J］.The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2012，63（9-12）：1257-1270.

［6］ 陳默，陳昊，趙萬生.電火花線切割機(jī)床四軸聯(lián)動(dòng)單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法［C］//第15屆全國(guó)特種加工學(xué)術(shù)會(huì)議論文集（上）.南京，2013：259-265.

［7］ Zhao Wansheng，Chen Mo，Chen Hao.A novel trajectory interpolation algorithm for WEDM-unit generalized arc length increment method［J］.Procedia CIRP，2013，6：256-261.

Research on Parametric Curve Interpolation for WEDM Based on Unit Arc Increment Method

Chen Hao，Chen Mo，Xi Xuecheng，Zhao Wansheng
（School of Mechanical Engineering，Shanghai Jiao Tong University/State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration，Shanghai 200240，China）

A parametric curve interpolation algorithm for WEDM which is based on unit arc length increment method is proposed.Each coordinate axes are treated as the functions of arc length.In each interpolation period，the interpolation reference point moves 1 unit arc length along the curve and the corresponding increments of each axis are accumulated.Once the accumulator of an axis exceeds，it will move 1 basic length unit.The interpolations of involute，cycloid，Archimedes spiral，parabola are achieved by using this interpolation method which starts from parametric curve interpolation structure. The ruled surfaces which are described by two curves in the upper and lower planes of a workpiece can be directly interpolated by taking re-parameterization of the shorter curve to unify the arc length parameter.

parametric curve；unit arc length increment method；interpolation algorithm

TG661

A

1009－279X（2015）04－0025-04

2015-03-31

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51175337）；國(guó)家科技重大專項(xiàng)（2014ZX04001061）；機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室項(xiàng)目（MSVMS201111）

陳昊，男，1989年生，博士研究生。