曹咪雷

摘 要：本文建立了短期模型--指數(shù)增長模型和長期模型Logistic人口增長模型，預測了2014年到2040年中國的總人口情況。其次，運用Leslie模型探討了中國未來幾十年的人口分組，即人口結構問題，繼而采用老齡化指數(shù)分析了我國人口老齡化程度及其發(fā)展。在對全國人口問題進行過探討后，我們又以此為基礎，以青海的實際情況為例，建立合理的評價體系。

關鍵詞：出生率；死亡率；指數(shù)增長模型；一元線性回歸分析

1 問題重述

調整生育政策，被視為緩解“人口老齡化”，保持合理的勞動力數(shù)量、結構，促進經(jīng)濟持續(xù)健康發(fā)展的主要手段。于是，我國采取“單獨二胎”政策來調節(jié)這種現(xiàn)象。但是，單獨二胎實施后，我國未來幾十年的人口結構及老齡化程度又當如何變化呢？建立數(shù)學模型，預測實行單獨二胎后到2040年我國人口數(shù)及人口結構、以及老齡化程度。并闡明“單獨二胎”對青海（人口、經(jīng)濟、住宅、教育等）的影響。

2 模型假設

1、把研究對象看成獨立封閉的系統(tǒng)，即不考慮遷入遷出的因素對人口的影響。

2、忽略各種突發(fā)性事件，如車禍、地震等對人口總數(shù)的影響。

3、忽略經(jīng)濟，社會環(huán)境，政治壞境，資源等因素對人口的影響。

4、假設一定時期內人口增長率保持不變。

5、假設平均生育年齡為24～34歲，且24～34歲獨生子女人數(shù)占獨生子女總人數(shù)的比例與總人口中24～34歲人數(shù)占總人口的比例相等。

3 模型的建立與求解

3.1 用于短期預測（2014～2020）的模型

200多年前，英國人口學家T.Malthus（1766—1834）調查了英國100多年的人口統(tǒng)計資料，得出了人口增長率不變的假設，并建立了著名的人口指數(shù)增長模型。

另外，指數(shù)增長模型與19世紀以前歐洲的一些地區(qū)統(tǒng)計數(shù)據(jù)有較好地吻合，遷往加拿大的歐洲移民后代人口也大致符合這個模型，另外用它做近期人口預測可以得到較好的效果。

記時刻t的人口為x（t），當考察的地區(qū)范圍足夠大時，x（t）是一個很大的整數(shù)，為了利用微積分這一工具，將x（t）視為連續(xù)的可微分的。記初始時刻（t=0）的人口為x0。假設人口增長率為常數(shù)r，即單位時間內x（t）的增量dx/dt等于r乘以x（t），于是得到x（t）滿足微分方程

0xx（0）rx，dx/dt==

由這個公式很容易解出

ert0xx（t）..=

為了估計指數(shù)增長模型中的參數(shù)r和x0，需將（1）式取對數(shù)，得

0lnxa，lnxy，arty==+=..

以t為橫坐標，y為縱坐標，利用Excel表格，選定數(shù)據(jù)（國家統(tǒng)計局），插入圖表，具體選項為“XY散點圖”中的“平滑散點圖”。則得到以下圖表：

由上圖可知，2000～2010年，y與t有很好的線性相關，2011～2013年，y與t有很好的線性相關。在此，我們取2011～2013年的數(shù)據(jù)來估算指數(shù)增長模型（1）中的參數(shù)r 。

以t為橫坐標，y為縱坐標，利用Excel表格，選定2011、2012、2013年的數(shù)據(jù)，插入圖表，具體選項為“XY散點圖”中的“平滑散點圖”。再在表格中“添加趨勢線（線性類型）”，并在添加趨勢線選項中選“顯示公式”和“顯示R平方值”，則在曲線圖中自動添加出方程y=rt+a及R2。得到下圖：

由上圖得到方程：

y=0.0049x+11.811

由上式得到：r=0.0049

由第六次人口統(tǒng)計資料顯示，截止到2012年，我國獨生子女家庭突破一億，總人口中25～34歲人數(shù)所占比例為14.87%，由國家統(tǒng)計局統(tǒng)計資料顯示，在生育階段的獨生子女，想要二胎的人群大約占50.1%，預測2014年獨生子女家庭想要二胎的比例為：g*50.1%

因此我們得到：“單獨二胎”政策實施后，2014年人口增長率的增量為：

8810*607250.1%）/1.3*g*10*（1r=Δ

所以Δr=0.00275

所以“單獨二孩”實施后的人口指數(shù)方程為：

r）t（r0exx（t）Δ+=

3.2 用于長期預測（2020～2040）的模型

長期看來，任何地區(qū)的人口都不可能無限增長，即指數(shù)模型不能描述、也不能預測較長時期內的人口演變過程。當人口到達一定數(shù)量以后，增長就會慢下來，即增長率變小。因此，我們引入阻滯增長模型——logistic模型。分析人口增長到一定程度后增長率下降的主要原因，自然資源、環(huán)境條件等因素對人口增長起著阻滯作用。

阻滯作用體現(xiàn)在對人口增長率r的影響上，使得r隨著人口的增長而下降，所以，若將r表示成x的函數(shù)，r（x）應該是一個減函數(shù)。

dx/dt0x）0（x，x）x（rdt/dx==

于是對r（x）做一個最簡單的假設：

r（x）=r-sx（r，x>0）

為了確定s的意義，引入自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量mx，當人口到達mx時人口不再增長，即增長率r（mx）=0，帶入r（x）=r-sx，得：

r（x）=r（1-x/mx），

聯(lián)立上面的方程得到：

0mx）0（x），x/x1（rxdt/dx=.=

將上式用變量積分法求解得到：

rt-0mm1）e-xx（1x）t（x+=

則實施“單獨二孩”后，改造公式為：

t）rr（0mme）1xx（1x）t（xΔ+..+=

根據(jù)1991年，中國科學院自然資源綜合考察委員會發(fā)表的《中國土地生產能力及人口承載能力研究》顯示，中國的人口容量約為16億，所以xm=16億。

以2020年為0年，2021年為第一年，以此類推，求解2021～2040年的人口，整理得下表：

4 模型的檢驗

1.對一元線性回歸檢驗

此處檢驗了年份與總人口之間的相關性，下面以另外的一組年份與人口的關系為例說明檢驗方法。首先把收集到的1990年到2000年數(shù)據(jù)，畫成“散點圖”；接著，我們可以觀察散點圖上點的分布規(guī)律，擬合一元線性回歸線。

從下圖的擬合程度可知年份與人口呈線性關系，即可得出結論：短期內人口自然增長率幾乎不變。

2.對指數(shù)增長模型的檢驗

為了驗證指數(shù)增長模型x（t）=x0ert的準確性，我們查找了2000年到2005年的人口數(shù)據(jù)，進行了以下驗證。利用x（t）=x0ert（經(jīng)計算，r=0.0056）計算出2000年到2005年的擬合人口數(shù)，得下表：

有圖可以看出，指數(shù)增長模型所預測的擬合人口接近于實際人口數(shù)，所以，指數(shù)增長模型所預測的人口總數(shù)準確性很高，其預測得出的數(shù)值可以令人相信。

參考文獻

[1] 謝金星，姜啟源，葉俊.數(shù)學建模（第四版）.高等教育出版社：163—173

[2] 國家統(tǒng)計局，網(wǎng)站http：//www.stats.gov.cn/tjsj/pcsj/

[3] 中國科學院自然資源綜合考察委員會 .《中國土地資源生產能力及人口承載力研究》報告，1991