郭建華，姜洪源，胡清明，孟慶鑫

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001;2.齊齊哈爾大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾161006)

嚙合傳動(dòng)是機(jī)械傳動(dòng)中重要形式，不同的嚙合方式中輪齒廓曲線(xiàn)形式不同，如漸開(kāi)線(xiàn)齒廓［1］、圓弧齒廓、擺線(xiàn)齒廓、雙漸開(kāi)線(xiàn)齒廓［2］及其他齒輪，如非對(duì)稱(chēng)斜齒廓、正交面齒輪［3］、標(biāo)準(zhǔn)圓弧線(xiàn)圓柱齒輪、橢圓齒輪［4］、圓形螺旋錐齒輪［5］等，進(jìn)行滾切加工過(guò)程中都涉及根切問(wèn)題。研究根切的本質(zhì)是找出根切原因，分析根切可能導(dǎo)致齒形變化是否能滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求，以便設(shè)計(jì)、加工時(shí)力求避免根切發(fā)生。研究根切問(wèn)題需從嚙合原理研究入手，假設(shè)Σ2是形成齒輪齒面Σ1的工具面，數(shù)學(xué)上防止根切是包絡(luò)齒廓曲面Σ1上出現(xiàn)奇異點(diǎn)［6］。

同步帶輪的加工通常由專(zhuān)用滾刀加工，且由于同步帶傳動(dòng)形式的特殊性，需對(duì)帶輪全部輪廓進(jìn)行加工。新型人字齒同步帶傳動(dòng)設(shè)計(jì)具有壽命長(zhǎng)、傳動(dòng)精度高、傳動(dòng)噪聲低等傳動(dòng)特點(diǎn)［7-9］。采用范成原理加工的帶輪齒廓能否實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)要求，將直接影響傳動(dòng)設(shè)計(jì)效果。人字齒帶輪由左右旋帶輪裝配而成，單只螺旋帶輪齒廓是由7段空間曲面連接而成。本文根據(jù)新型人字齒同步帶與帶輪傳動(dòng)嚙合關(guān)系建立帶輪加工刀具齒面空間模型，研究刀具曲面Σ2與帶輪曲面Σ1之間共軛條件、瞬時(shí)嚙合線(xiàn)形成、包絡(luò)齒廓曲面Σ1的根切界限函數(shù)、工具面Σ2上嚙合界限函數(shù)計(jì)算公式。通過(guò)數(shù)值計(jì)算分析，研究各空間曲面的瞬時(shí)嚙合線(xiàn)形成原理，分析根切界限和嚙合界限條件，為刀具設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

1 新型人字齒同步帶帶輪刀具齒廓曲面建模Σ2

刀具曲面Σ2模型由法面齒形做螺旋運(yùn)動(dòng)形成。齒條刀具曲面Σ2與加工帶輪曲面Σ1坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系，見(jiàn)圖1。

人字齒同步帶輪滾刀法面齒廓為對(duì)稱(chēng)齒形，齒廓方程建立在法面坐標(biāo)系 σn=［on;xn，yn，zn］中，右側(cè)齒廓由直線(xiàn)ab、頂弧(rp1)bc、側(cè)弧(rp2)cd、根弧(rp3)de組成。各段曲線(xiàn)采用極坐標(biāo)表示，且各圓弧連接點(diǎn)對(duì)應(yīng)極坐標(biāo)轉(zhuǎn)角分別為 θb、θc、θd、θe。刀具法面齒廓分段矢量方程為:

式中:(rix，riy)i=1，2，3，表示圓弧曲線(xiàn)bc、cd、de圓心坐標(biāo)。斜齒條固連在端面坐標(biāo)系σ2=［o2;x2，y2，z2］中，原點(diǎn)o2為齒對(duì)稱(chēng)線(xiàn)與節(jié)線(xiàn)交點(diǎn)，齒條空間三維曲面Σ2表達(dá)式為:

式中:β為螺旋角，u為刀具沿z方向距離。將方程(1)代入(2)中，得到刀具齒條在σ2中平面、3段圓弧曲面Σ2參數(shù)方程:

圖1 齒條刀具與加工帶輪坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系Fig.1 Coordinate conversion relationship of hob and pulley

方程(3)中Σ2曲面矢徑r2為關(guān)于u和θ的分片曲面函數(shù)，θ取值區(qū)間不同，對(duì)應(yīng)曲面不同。

2 確定刀具曲面Σ2與帶輪曲面Σ1嚙合方程及帶輪曲面Σ1方程

斜齒條刀具曲面Σ2加工帶輪曲面Σ1，如同一對(duì)共軛嚙合的空間齒條、齒輪傳動(dòng)。對(duì)于斜齒條刀具與帶輪關(guān)系，采用瞬時(shí)回轉(zhuǎn)軸法確定嚙合函數(shù)。共軛接觸面Σ2上的瞬時(shí)接觸點(diǎn)的法線(xiàn)應(yīng)當(dāng)通過(guò)嚙合軸z，見(jiàn)圖1。在σ2中法線(xiàn)方程為:

式中:曲面 Σ2上nx2、ny2、nz2為法矢n2在坐標(biāo)系 σ2中分量;X2、Y2、Z2分別為法線(xiàn)與嚙合軸的交點(diǎn)X2=0、Y2=r1φ1、Z2=0坐標(biāo)，r1和φ1分別代表帶輪的節(jié)圓半徑和轉(zhuǎn)角。參數(shù)代入式(4)得:

在曲面Σ2上法矢定義:

由式(6)得平面和圓弧段曲面的法矢方程為:

式中:θj中j代表b、c、e;θl中l(wèi)代表c、d及d＇。將式(7)代入式(5)分別得出直線(xiàn)段與3圓弧曲線(xiàn)段瞬時(shí)嚙合線(xiàn)統(tǒng)一表達(dá)式為:

利用圖1坐標(biāo)系σ2到坐標(biāo)系σ1的變換關(guān)系，聯(lián)立式(3)和(8)，得帶輪曲面Σ1分片曲面方程，對(duì)應(yīng)刀具平面的帶輪曲面方程為:

對(duì)應(yīng)刀具圓弧曲線(xiàn)bc的帶輪曲面方程為:

對(duì)應(yīng)刀具圓弧曲線(xiàn)cd的帶輪曲面方程為:

對(duì)應(yīng)刀具圓弧曲線(xiàn)de的帶輪曲面方程為:

3 確定帶輪曲面Σ1根切界限點(diǎn)和刀具曲面Σ2嚙合界限點(diǎn)

斜齒條刀具加工帶輪時(shí)，帶輪曲面Σ1不產(chǎn)生根切點(diǎn)方程為

曲面Σ2與Σ1接觸點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度v(21)2是齒條以角速度ω(21)2=ω(1)·k2繞瞬時(shí)軸Z回轉(zhuǎn)速度:

將(14)代入(13)得根切界限方程為:

或

滿(mǎn)足刀具齒面Σ2參與切削帶輪曲面Σ1嚙合界限點(diǎn)方程是對(duì)方程(8)求導(dǎo)得:

刀具曲面Σ2上沒(méi)有嚙合界限點(diǎn)曲線(xiàn)，曲面Σ2全部參加加工帶輪曲面Σ1，刀具曲面Σ2建模是合理的。

4 帶輪齒廓曲面加工特性分析

表1提供滾刀法面齒廓的標(biāo)準(zhǔn)齒形參數(shù)，圖2表示加工齒數(shù)Z=34、帶輪寬16 mm、螺旋角30°，當(dāng)φ1=0.1 rad時(shí)，帶輪齒廓曲面Σ1和其上形成的瞬時(shí)嚙合線(xiàn)。式(8)刀具側(cè)弧段cd，形成瞬時(shí)嚙合線(xiàn)方程式:r1φ1-(0.5w-rp2)sinβ-ucosβ=0，與弧極坐標(biāo)轉(zhuǎn)角θ無(wú)關(guān)，轉(zhuǎn)角φ1一定，瞬時(shí)接觸線(xiàn)是距端面u距離法平面上半徑為rp2的圓弧曲線(xiàn)，刀具的齒頂圓弧bc、齒根圓弧de、齒頂直線(xiàn)段ab形成的瞬時(shí)嚙合線(xiàn)是空間曲線(xiàn)。瞬時(shí)接觸線(xiàn)延長(zhǎng)，在帶輪加工過(guò)程中，加工末期切削阻力劇增，引起滾齒機(jī)振動(dòng)，影響加工精度。根據(jù)上述理論分析制定特殊切削方案，帶輪加工過(guò)程得到滿(mǎn)意的結(jié)果。

表1 刀具法面齒形參數(shù)Table 1 Parameters of hob normal tooth profile

圖2 帶輪齒槽曲面與瞬時(shí)嚙合線(xiàn)Fig.2 Profile of pulley groove and Instantaneous meshing line

圖3表示不產(chǎn)生根切的最小帶輪齒數(shù)與刀具各段圓弧轉(zhuǎn)角范圍關(guān)系。式(15)影響根切臨界點(diǎn)參數(shù)r1或齒數(shù)z、θ。刀具齒頂圓弧rp1和側(cè)弧rp2在給定的θ范圍內(nèi)，如圖3(a)、(b)沒(méi)有產(chǎn)生根切。刀具根圓弧rp3在90°≤θ≤169.6°范圍內(nèi)，如圖3(c)產(chǎn)生根切。對(duì)應(yīng)最小齒數(shù)22時(shí)，θ=157°。轉(zhuǎn)角達(dá)到最大值 θ=167.6°，不根切齒數(shù)z=253。滿(mǎn)足式(16)條件，意味θ=±90°，產(chǎn)生根切臨界點(diǎn)。在刀具bc弧端點(diǎn)b，de弧端點(diǎn)e是根切臨界點(diǎn)，因是曲線(xiàn)端點(diǎn)對(duì)帶輪齒廓無(wú)影響。

通過(guò)仿真分析，刀具齒根弧rp3形成的變態(tài)漸開(kāi)線(xiàn)等距曲線(xiàn)為折返線(xiàn)，折點(diǎn)為根切點(diǎn)J，如圖4。隨不根切臨界齒數(shù)增大，根切點(diǎn)J與刀具側(cè)弧與根弧交點(diǎn)的共軛點(diǎn)d逼近。當(dāng)z＜253，根切點(diǎn)J和交點(diǎn)d在帶輪齒側(cè)與帶輪齒頂交點(diǎn)D右上側(cè)，實(shí)際加工時(shí)，帶輪的實(shí)際輪廓曲線(xiàn)為EDC，根切點(diǎn)J和交點(diǎn)d在切削時(shí)已經(jīng)切掉，對(duì)齒廓無(wú)影響。

圖3 不產(chǎn)生根切的最小帶輪齒數(shù)與圓弧轉(zhuǎn)角關(guān)系Fig.3 Relationship of minimum pulley teeth without undercutting and arc angle

圖4 根切點(diǎn)與帶輪齒槽關(guān)系Fig.4 Relationship of undercutting point and pulley groove

5 結(jié)論

基于新型人字齒同步帶傳動(dòng)機(jī)理，建立加工帶輪滾刀刀具曲面Σ2空間齒廓模型，并對(duì)加工過(guò)程帶輪形成曲面Σ1特性進(jìn)行計(jì)算研究，得出如下結(jié)論:

1)通過(guò)對(duì)刀具空間齒廓曲面Σ2函數(shù)與嚙合函數(shù)計(jì)算，得出刀具齒廓曲面Σ2模型不存在嚙合界限點(diǎn)，且模型建立合理。

2)刀具加工帶輪齒廓曲面Σ1存在2種根切界限點(diǎn)，一是刀具曲面Σ2頂弧b點(diǎn)和根弧e點(diǎn)，但它們是曲線(xiàn)端點(diǎn)，不會(huì)產(chǎn)生根切;另一是帶輪齒頂?shù)淖儜B(tài)漸開(kāi)線(xiàn)等距曲線(xiàn)，存在根切，但實(shí)際切削過(guò)程中根切點(diǎn)位置被刀具齒側(cè)弧形成曲面切掉。帶輪齒面產(chǎn)生“棱線(xiàn)D”，齒數(shù)越小，越明顯。消除棱線(xiàn)方法對(duì)刀具進(jìn)行修形設(shè)計(jì)。

3)刀具齒側(cè)弧加工帶輪形成的共軛瞬時(shí)嚙合線(xiàn)為該法面半徑相等的圓弧，刀具齒廓其他曲線(xiàn)部分形成的瞬時(shí)嚙合線(xiàn)越遠(yuǎn)離法平面空間曲線(xiàn)且延長(zhǎng)曲折，瞬時(shí)接觸線(xiàn)越長(zhǎng)，切削阻力越大，易引起機(jī)床振動(dòng)?；谏鲜隼碚撗芯浚瑢?shí)際加工過(guò)程中通過(guò)控制滾刀參與切削的齒數(shù)，可降低切削阻力并保證帶輪加工質(zhì)量。

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