張俊忠+綦春霞

德國生物學(xué)家赫克爾在1866年提出了“生物發(fā)生原理”，即“個體發(fā)育史重蹈種族發(fā)展史”.[1]類推于教育得出：個體知識的發(fā)生過程遵循人類知識的發(fā)生過程.對于數(shù)學(xué)教育，即“個體對數(shù)學(xué)知識的理解過程遵循數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程.”這樣要求教師將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育中，教師需要理解人類是如何獲得某些數(shù)學(xué)概念或事實(shí)，從而對學(xué)生應(yīng)該如何理解這些知識作出更好的判斷.把數(shù)學(xué)史作為教學(xué)線索，不明確地談?wù)摂?shù)學(xué)史，用數(shù)學(xué)史來啟示教學(xué)，這就是數(shù)學(xué)發(fā)生教學(xué)法.

1 發(fā)生教學(xué)法的起源

古希臘哲學(xué)家亞里士多德（公元前384-公元前322）認(rèn)為，兒童在發(fā)展過程中必須一個時期一個時期地重演人類從野蠻到文明的發(fā)展階段.瑞士教育學(xué)家裴斯泰洛奇（1746—1827）認(rèn)為教學(xué)要以人的心理為依據(jù)，要尋找和認(rèn)識教學(xué)的心理根源.德國教育家弗羅貝爾（1782—1852）認(rèn)為每一個注意到自己發(fā)展的人，都可以在他自己身上認(rèn)識和研究種族發(fā)展的歷史.英國教育家斯賓塞（1820—1903）認(rèn)為“兒童的教育，無論在方式上，或在安排上，均須與歷史上人類的教育相對應(yīng).”[2]

從語義學(xué)上看，發(fā)生學(xué)來自17世紀(jì)以來逐漸形成的胚胎學(xué)，主要探討生物學(xué)領(lǐng)域的發(fā)生發(fā)育和演化問題.1759年，法國醫(yī)生卡·沃爾夫最先提出，后來由許多學(xué)者發(fā)展得到一個重要結(jié)論是：生物的胚胎發(fā)育、個體發(fā)育以濃縮的形式重演相應(yīng)物種的系統(tǒng)發(fā)育，稱之為“重演律”.德國生物學(xué)家赫克爾用他自己的話來說，即“個體發(fā)生學(xué)（個體動物的發(fā)展）扼要的重演了系統(tǒng)發(fā)育學(xué)（動物種類的進(jìn)化歷史）.”[1]類推于教育，即個體知識的發(fā)生過程遵循人類知識的發(fā)生過程，這就是歷史發(fā)生原理.

從已有的文獻(xiàn)上來看，首先使用“發(fā)生教學(xué)”這個詞的是德國教育家第斯多惠（1790—1866），第斯多惠認(rèn)為：所有的學(xué)科都應(yīng)接受“發(fā)生教學(xué)”，因?yàn)檫@是學(xué)科興起和進(jìn)入人類意識的方式[3].德國數(shù)學(xué)家F·克萊因（1849—1925）在為中學(xué)教師所撰寫的《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》中，經(jīng)常從歷史發(fā)展的角度來引入一個新概念.

歷史發(fā)生原理的思想在20世紀(jì)20年代就初具雛形.在20世紀(jì)50年代末和70年代初，美國和歐洲一些國家出現(xiàn)“新數(shù)運(yùn)動”，在中小學(xué)介紹大學(xué)水平的嚴(yán)格概念，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)和理解概念的過程中經(jīng)歷了明顯的困難.為了應(yīng)對“新數(shù)運(yùn)動”中出現(xiàn)的問題，促成了歷史發(fā)生原理向教學(xué)領(lǐng)域的遷移，發(fā)生教學(xué)法（the genetic approach to teaching and learning）應(yīng)運(yùn)而生.數(shù)學(xué)家托普利（1881—1940）和數(shù)學(xué)家波利亞（1887—1985）是發(fā)生教學(xué)法的主要闡述者.

2 發(fā)生教學(xué)法的理論基礎(chǔ)

發(fā)生教學(xué)法的本質(zhì)是通過追尋思想的起源，激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)，再研究創(chuàng)始人所做工作的背景，以尋求他試圖回答的關(guān)鍵問題.從心理學(xué)的觀點(diǎn)來看，解決一個問題而不知道問題的起源是很困難的.在保持?jǐn)?shù)學(xué)探究和教學(xué)結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)性的同時，還要剖析數(shù)學(xué)的演繹呈現(xiàn)方式，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)的發(fā)展過程，而不僅僅是邏輯順序.發(fā)生教學(xué)法的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)史，但并不是研究數(shù)學(xué)史，而是選擇相關(guān)的歷史背景.歷史僅僅是提供有利于學(xué)生學(xué)習(xí)的素材，發(fā)展學(xué)生的直覺，教學(xué)的目的不是講授歷史，而是尋找學(xué)生學(xué)習(xí)的最佳方式.人的心理產(chǎn)生于一定的歷史文化環(huán)境，文化與認(rèn)知相互依存，不可分割[4].

發(fā)生教學(xué)法介于嚴(yán)格的歷史方法與嚴(yán)格的演繹方法之間，強(qiáng)調(diào)借鑒歷史引入主題，但需要掌握恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)時機(jī).由于學(xué)生學(xué)習(xí)某個主題往往需要解決問題，因此在教學(xué)中，教師要關(guān)注“主題的必要性”和“主題的可接受性”.應(yīng)當(dāng)保護(hù)和發(fā)展學(xué)生對未知事物獵奇的天性，積極引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生過程[5].發(fā)生教學(xué)法的理論基礎(chǔ)有歷史發(fā)生原理、學(xué)習(xí)動機(jī)理論和皮亞杰的發(fā)生認(rèn)知原理等.

2.1 歷史發(fā)生原理

生物的胚胎發(fā)育、個體發(fā)育以濃縮的形式重演相應(yīng)物種的系統(tǒng)發(fā)育，稱之為“重演律”.從“重演律”的角度來看，對生物系統(tǒng)兩個歷史過程對比的重演律研究，為我們研究其他物質(zhì)系統(tǒng)和精神系統(tǒng)的發(fā)展規(guī)律提供了啟示.類推于教育，即個體知識的發(fā)生過程遵循人類知識的發(fā)生過程，這就是歷史發(fā)生原理.人類認(rèn)識真理的過程，往往要經(jīng)過無數(shù)次的“實(shí)踐—認(rèn)識—再實(shí)踐—再認(rèn)識”，有時要經(jīng)過無數(shù)次的挫折和失敗，甚至經(jīng)過許多人的努力才能得到比較準(zhǔn)確的認(rèn)識，而每一個體的認(rèn)識過程也是這樣.

教育的任務(wù)是使學(xué)生的心智通過前人所經(jīng)歷的歷程，快速而不遺漏地通過每一階段.即有效的學(xué)習(xí)是要求每位學(xué)習(xí)者追溯正在學(xué)習(xí)的主題在歷史中演變的主要步驟，有意識地安排一些必要的曲折和彎路，重蹈人類思維發(fā)展中的那些關(guān)鍵性步子.

2.2 學(xué)習(xí)動機(jī)理論

學(xué)習(xí)動機(jī)是直接推動學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)的一種動力.它是一種學(xué)習(xí)的需要，這種需要是社會和教育對學(xué)生學(xué)習(xí)的客觀要求在學(xué)生頭腦里的反映，它表現(xiàn)為學(xué)習(xí)的意向、愿望或興趣等形式.學(xué)習(xí)動機(jī)是激發(fā)個體進(jìn)行學(xué)習(xí)活動、維持已引起的學(xué)習(xí)活動，并使個體的學(xué)習(xí)活動朝向一定的學(xué)習(xí)目標(biāo)的一種內(nèi)部啟動機(jī)制.它與學(xué)習(xí)活動可以相互激發(fā)、相互加強(qiáng).學(xué)生的學(xué)習(xí)活動是由各種不同的動力因素組成的整個系統(tǒng)所引起的.其心理因素包括：學(xué)習(xí)的需要，學(xué)習(xí)的必要性的認(rèn)識及信念，學(xué)習(xí)興趣、愛好或習(xí)慣等.從事學(xué)習(xí)活動，除要有學(xué)習(xí)的需要外，還要有滿足這種需要的學(xué)習(xí)目標(biāo).學(xué)習(xí)目標(biāo)同學(xué)生的需要一起，成為學(xué)習(xí)動機(jī)的重要構(gòu)成因素.

學(xué)習(xí)動機(jī)是影響學(xué)生學(xué)習(xí)活動的重要因素，它不僅影響學(xué)習(xí)的發(fā)生，而且還影響到學(xué)習(xí)進(jìn)程和學(xué)習(xí)結(jié)果.教師既要善于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)部動機(jī)，又要恰當(dāng)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的外部動機(jī).因此教師在教育中，教師要通過情境，引出“主題的必要性”.激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，讓學(xué)生認(rèn)識到所引入的新主題乃是解決問題的需要.

2.3 皮亞杰的發(fā)生認(rèn)知原理

在認(rèn)識過程中，同化指主體把客體納入自己的圖式之中，從而引起了圖式的量的變化，順應(yīng)是指主體的圖式不能同化客體，因而導(dǎo)致圖式質(zhì)的變化，去適應(yīng)客體.兒童每遇到新事物，總是力圖用原有的圖式去同化它，如果獲得成功，原有的圖式便得到鞏固和加強(qiáng)，認(rèn)識達(dá)到平衡；如果失敗，便做出順應(yīng)，建立新的圖式去適應(yīng)現(xiàn)實(shí)，直至達(dá)到認(rèn)識上的新的平衡.這種不斷發(fā)展著的平衡，就是皮亞杰所說的認(rèn)識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過程，從而描述了認(rèn)識的發(fā)生、發(fā)展的有序性和階段性.

兒童認(rèn)識的建構(gòu)過程可劃分為四大階段：感知運(yùn)動階段、前運(yùn)算階段、具體運(yùn)算階段和形式運(yùn)算階段.在發(fā)展過程中，每一個結(jié)構(gòu)起始于前面階段的結(jié)構(gòu)，把前面階段的結(jié)構(gòu)整合為一個新的結(jié)構(gòu)，而這個結(jié)構(gòu)本身又繼續(xù)向前發(fā)展，或遲或早地整合成為下一階段的結(jié)構(gòu).自我調(diào)節(jié)是生命組織的最基本的特征，正是這種自我調(diào)節(jié)作用，主動地、不斷地協(xié)調(diào)著有機(jī)體和環(huán)境之間的關(guān)系，從而為認(rèn)識結(jié)構(gòu)中同化、順應(yīng)等機(jī)能提供了生物學(xué)前提，使認(rèn)識的發(fā)生和不斷建構(gòu)成為可能.教育工作者的任務(wù)就是讓孩子的思維經(jīng)歷其祖先之所經(jīng)歷，通過某些階段而不跳過任何階段.

3 發(fā)生教學(xué)法的應(yīng)用

3.1 發(fā)生教學(xué)法的策略

運(yùn)用發(fā)生教學(xué)法進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵在于教師，對教師的要求是：（1）要全面了解所教主題的歷史；（2）要理解該主題歷史發(fā)展過程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)；（3）掌握一個環(huán)節(jié)發(fā)展到下一個環(huán)節(jié)的原因是什么？遇到的困難和障礙是什么？（4）重構(gòu)歷史環(huán)節(jié)，使其適合于課堂教學(xué)；（5）設(shè)計(jì)出一系列由易到難、環(huán)環(huán)相扣的問題.可以是歷史上的問題，也可以是改編的問題.

具體實(shí)施時，通常從四個角度分析教學(xué)內(nèi)容的發(fā)生過程：歷史、邏輯、心理學(xué)和社會文化.設(shè)計(jì)可以分為四個階段：（1）創(chuàng)設(shè)問題情境：思維和認(rèn)知過程的起源是構(gòu)造問題情景的最佳方式.（2）自然引出新問題：思考和理解的第一步是產(chǎn)生問題，而且每解決一個問題就會產(chǎn)生新的問題.因此，在解決了最初的問題之后，還需要不斷思考新的、自然出現(xiàn)的問題.（3）分析學(xué)生的認(rèn)知需求：確定學(xué)生思維能力的水平，估計(jì)過程中可能存在的困難，重要的是尋求激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動機(jī)的方法.（4）重構(gòu)歷史順序：在現(xiàn)代教學(xué)背景下重構(gòu)關(guān)鍵的思想和問題，使之更適合新知識的教學(xué)，強(qiáng)調(diào)以發(fā)生的歷史過程解釋概念、理論或關(guān)鍵思想后面的動機(jī).因此數(shù)學(xué)課堂教學(xué)也是一個復(fù)雜的社會文化和認(rèn)知發(fā)展過程[6].

3.2 發(fā)生教學(xué)法的實(shí)踐

現(xiàn)在以北師大版七年級數(shù)學(xué)上冊第三章“整式及其加減”第一節(jié)“字母表示數(shù)”為例，詳細(xì)介紹發(fā)生教學(xué)法的具體過程.通過閱讀整節(jié)，作為教師要了解四個問題：

3.2.1 全面了解“字母表示數(shù)”的歷史

19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)史家內(nèi)塞爾曼在《希臘代數(shù)》中將代數(shù)學(xué)的發(fā)展分成三個階段：修辭代數(shù)、縮略代數(shù)和符號代數(shù).

修辭代數(shù)階段，人們沒有使用符號表示數(shù)，所有問題的解決都用文字來說明，如古巴比倫泥版BM13901上有七個問題，其中第1題是：“將正方形面積與邊長相加，和為34，求邊長.”解法是：置系數(shù)1，半之，得12；12自乘，得14.將14與34相加，得1；此為1的平方，從1中減去12，得12，即為正方形邊長.”

在古希臘，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派（公元前六世紀(jì)）研究了多邊形數(shù)，數(shù)學(xué)家們能輕易說出一個具體的多邊形數(shù).由于不知道字母表示數(shù)，他們卻無法表達(dá)“任一三角形數(shù)”.同樣數(shù)列的“通項(xiàng)”概念在修辭代數(shù)里是根本不存在的，所有數(shù)列求和的結(jié)果都是針對具體的若干項(xiàng).塞流斯時期（約公元前300年）泥版AO6484上載有1—10的平方和，結(jié)果是12+22+32+…+102=（1×13+10×23）×55.古代兩河流域、阿拉伯的代數(shù)學(xué)均屬于修辭代數(shù).

公元三世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖在《算術(shù)》中首次用字母“ζ”來表示未知數(shù)，于是丟番圖成為縮略代數(shù)最早的作者.在《算術(shù)》第1卷中[7]，第1題是：“已知兩數(shù)的和與差，，求這兩個數(shù).”丟番圖的解法是：假設(shè)和為100，差為40，較小數(shù)為x，則較大數(shù)為40+x，則2x+40=100，故得x=30，而較大數(shù)為70.這里我們把丟番圖的“ζ”改成了x.后來，使用不同的字母表示不同的數(shù)，但是可以看到字母總是表示未知數(shù).由于不知道用字母也可以表示任意已知數(shù)，丟番圖只能用特殊的數(shù)來代替題中的已知數(shù).

古代印度數(shù)學(xué)家使用縮略的梵文音節(jié)來表示未知數(shù)，沒有用縮略音節(jié)來表示任意數(shù)（包括已知數(shù)和未知數(shù)）.如印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅（1114—1185）和古希臘數(shù)學(xué)家一樣，不會用字母來表達(dá)“任意多項(xiàng)”和一般項(xiàng)，只是取一些特殊的項(xiàng)數(shù)，且通項(xiàng)公式與求和公式都是用文字來描述，因此古代印度的代數(shù)屬于縮略代數(shù).

中國宋元時期的數(shù)學(xué)家使用“天元”來表示未知數(shù)，“二元一次方程”中的“元”指的就是未知數(shù).在“天元術(shù)”中，通過系數(shù)的縱向有序排列來表達(dá)多項(xiàng)式，在常數(shù)項(xiàng)右邊標(biāo)一“太”字，或只在一次項(xiàng)系數(shù)的右邊標(biāo)一“元”字，中國宋元時期的“天元術(shù)”最多也只能歸入縮略代數(shù).

公元十六世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)（1540—1603）實(shí)現(xiàn)了歷史性的突破，在《分析引論》（1591）中使用字母來表示未知數(shù)和已知數(shù).他說：“本書將輔以某種技巧，通過符號來區(qū)分未知量和已知量：用A或其他元音字母I、O、V、Y等來表示所求量，用B、G、D或其他輔音字母來表示已知量，始終如一，一目了然.”并將這種新的代數(shù)叫“類的算術(shù)”，以區(qū)別于過去的“數(shù)的算術(shù)”，“類的算術(shù)”就是符號代數(shù).規(guī)定了算術(shù)與代數(shù)的分界，認(rèn)為代數(shù)運(yùn)算施行于事物的類或形式，算術(shù)運(yùn)算施行于具體的數(shù).這就使代數(shù)成為研究一般類型的形式和方程的學(xué)問.法國數(shù)學(xué)家笛卡爾（1596—1650）對韋達(dá)的符號系統(tǒng)進(jìn)行了改進(jìn).從修辭代數(shù)到符號代數(shù)，代數(shù)學(xué)經(jīng)歷了三千多年的漫長歷程.

3.2.2 “縮略代數(shù)”到“符號代數(shù)”是關(guān)鍵

“縮略代數(shù)”階段以字母表示未知數(shù)為典型特征，丟番圖是這一時期的典型代表人物.隨后印度數(shù)學(xué)家阿里耶波（476—550）等雖朝向“符號代數(shù)”有所接近，但只在字母表示數(shù)的類型與方程解的一般性上做出了貢獻(xiàn)，而不是嘗試表達(dá)“任意數(shù)”.在丟番圖之后一千多年間，歐洲人不僅沒有進(jìn)步，反而倒退回古巴比倫祭司的水平，即修辭代數(shù)階段.如13世紀(jì)初，意大利數(shù)學(xué)家斐波納契在《計(jì)算之書》中，依然沒有用字母來表示數(shù).在該書第12章，作者給出二次冪和的求法，他只能與古希臘和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家一樣，取一個特殊的數(shù)作為項(xiàng)數(shù).方程的求解過程也完全是用文字來表達(dá)的，將未知數(shù)稱為“物”.16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家盡管在三次和四次方程的求解上取得突破，但他們?nèi)晕蠢米帜副硎緮?shù)的便利.塔塔里亞（1499—1557）為了不讓自己遺忘所發(fā)現(xiàn)的三次方程求根公式，自編長詩.

中世紀(jì)阿拉伯的數(shù)學(xué)家盡管在數(shù)列求和方面取得了卓越的成就，但是他們不會用字母來表示數(shù).如他們不會表示數(shù)列通項(xiàng)和“任意多項(xiàng)”，他們只能通過具體的若干項(xiàng)來說明求和的方法.雖然“代數(shù)學(xué)”的名稱源于花拉子米（約780—約850）的著作，而花拉子米卻用“1平方與10根等于39單位”這樣的語言來描述一元二次方程x2+10x=39.

“字母表示數(shù)”經(jīng)歷了三千多年的歷史過程，經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家的探索和完善.學(xué)生只靠幾節(jié)課又如何能跨越如此漫長的歷史長河？誠如M·克萊因?qū)Α靶聰?shù)運(yùn)動”的批判：從古代埃及人和巴比倫人開始直到韋達(dá)和笛卡兒以前，沒有一個數(shù)學(xué)家能意識到字母可用來代表一類數(shù)[8].因此，這樣的過渡仍然需要經(jīng)歷緩慢的過程而非一蹴而就.只有隨著逐步的學(xué)習(xí)，學(xué)生才能逐漸理解和接受符號代數(shù).

3.2.3 學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙和困惑

在長期的算術(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生形成的認(rèn)知與代數(shù)學(xué)習(xí)有較大的差別，“字母表示數(shù)”意義的多樣性與不確定性是造成學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的主要障礙.字母意義的演變過程為：記數(shù)符號—未知數(shù)—任意數(shù).隨著人們對字母意義認(rèn)識水平的提高，字母表示數(shù)的功能逐步得到發(fā)展與完善，這是一個漫長的過程.因此學(xué)生在學(xué)習(xí)“字母表示數(shù)”的時候會遇到許多困難，主要表現(xiàn)為：不同字母可以取同一個值；同一個字母在不同時刻可以取不同的值；同一字母在不同問題中可以取不同的值；在同一題中不同的數(shù)要用不同字母表示；字母不一定表示對象，也可以表示單位（如m可以表示米）等.

3.2.4 根據(jù)歷史，重構(gòu)課堂

每位孩子的認(rèn)知發(fā)展可能各有特點(diǎn)，但總體上應(yīng)該遵循人類認(rèn)識的一般規(guī)律.按照人們對“字母表示數(shù)”的認(rèn)知發(fā)展過程，孩子對“字母表示數(shù)”的認(rèn)知應(yīng)該分為以下幾個階段：第一階段，字母不僅可以表示未知數(shù)，還可以表示已知數(shù)；第二階段，字母不僅可以表示特定的意義，還可以表示變化的數(shù)；第三階段，不僅可以在縮略水平上運(yùn)用字母，還可以在符號水平上運(yùn)用字母；第四階段，學(xué)生設(shè)計(jì)符號、運(yùn)用符號，自覺地用字母表示數(shù)來進(jìn)行計(jì)算、分析、推理和論證.沒有這四點(diǎn)認(rèn)識的逐步遞進(jìn)，即使反復(fù)強(qiáng)調(diào)“字母表示數(shù)”是由具體到抽象的飛躍，學(xué)生還是不可能在心理上表征“字母表示數(shù)”的真正意義.“字母表示數(shù)”的新意義要進(jìn)入學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，字母運(yùn)用的原有經(jīng)驗(yàn)是必經(jīng)的節(jié)點(diǎn).學(xué)生的認(rèn)識要實(shí)現(xiàn)飛躍，就必須對“字母表示數(shù)”的新意義和舊經(jīng)驗(yàn)之間的區(qū)別有清楚的認(rèn)識.鑒于此，教學(xué)的整體設(shè)計(jì)何去何從，似乎不難選擇，在課堂上再現(xiàn)人類認(rèn)識的三千多年歷史也就順理成章了.

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