朱震文

物理學科極值問題在歷年高考理科綜合中經(jīng)常出現(xiàn)，怎樣處理極值問題，大部分考生感覺比較棘手，結合多年高三的教學經(jīng)驗，及學生在處理這類問題中存在的疑問，談一談這類問題的處理方法。

首先，對極值問題的處理，必須培養(yǎng)學生具有較高的綜合問題的處理能力，即既要有比較嫻熟運用物理規(guī)律處理物理問題的能力，又要有比較高的運用數(shù)學方法處理物理問題的能力。在具有這些基本能力的基礎上，還應培養(yǎng)學生對極值問題有一個系統(tǒng)的歸類分析，大致講物理學科的極值問題在處理過程中的方法可以分成兩大類：物理方法和數(shù)學方法。

物理方法就是從物理學的角度，應用物理定義、物理規(guī)律對極值問題進行分析判斷，找出問題過程中出現(xiàn)極值的時間點或位置點，再應用相應的物理規(guī)律列出物理等式加以求解。

物理分析方法有三角形矢量分析法、臨界條件分析法等。

方法一：三角形矢量分析法就是應用力的矢量三角形的邊角的關系，已知合力的方向和另一分力的大小和方向時，點到直線的垂直距離最小，如圖所示：兩個分力F1、F2和合力F構建一個矢量三角形，在已知合力F的方向和另一分力F1的大小和方向時，只有F2與合力F垂直時有最小值。

例題1：如圖所示，質量為m，帶電量為+q的微粒在O點以初速度v0與水平方向成θ角射出，微粒在運動中受阻力大小恒定為f。如果在某方向加上一定大小的勻強電場后，能保證微粒仍沿v0方向做直線運動，試求所加勻強電場的最小值？

試題分析：本題的根本在于確定電場力沿什么方向有最小值，由題意分析可得，只有當電場力與重力的合力與初速度方向在一條直線上，才能達到題中的要求，又由矢量三角形原理可得當電場力方向與v0方向垂直時有最小值，如右圖所示。

解答：如圖所示，要保證微粒沿v0方向直線運動必須使垂直于v0向斜上方加勻強電場E有最小值，且Eq=mg cosθ，E=mgcosθ/q。

方法二：臨界條件分析法就是通過對研究對象的分析，找出物體在研究過程中可能出現(xiàn)的臨界條件，再應用相關的物理規(guī)律加以求解。

例題2：如圖所示，光滑水平面上放置質量分別為m和2m的四個木塊，其中兩個質量為m的木塊間用一不可伸長的輕繩相連，木塊間的最大靜摩擦力是μmg?，F(xiàn)用水平拉力F拉其中一個質量為2 m的木塊，使四個木塊以同一加速度運動，則輕繩對m的最大拉力為 .

試題分析：本題的關鍵是要想使四個木塊一起加速，則任兩個木塊間的靜摩擦力都不能超過最大靜摩擦力。首先要找出A和B、C和D這兩對物體之間，哪一對物體間首先到達最大靜摩擦力這一臨界條件。由題意可知A和B的靜摩擦力僅是B物體產(chǎn)生加速度的動力，而C和D間的靜摩擦力是A、B、C三個物體產(chǎn)生加速度的動力，所以C和D這兩對物體之間先到達最大靜摩擦力這一臨界條件。

解答：對A、B、C三個物體作為整體有：fm=4ma，T=3ma，又有：fm=μmg以上各式聯(lián)立解得T= .

數(shù)學方法就是應用物理規(guī)律對物理極值問題進行分析之后，確定研究對象及研究過程，列出相關的數(shù)學表達式，再應用不同的數(shù)學工具加以處理。根據(jù)應用不同的數(shù)學方法，大致可以從四個方面加以處理。

第一種方法稱之為二次函數(shù)法：二次函數(shù)法就是關于y=ax2+bx+c的應用，根據(jù)二次函數(shù)的特點，a>0時，圖像開口向上，y有最小值；a<0時，圖像開口向下，y有最大值。且只有x=- 時，y有最值。

例題3：如圖所示，理想變壓器輸入端接在電動勢為ε，內阻為r的交流電壓上，輸出端接負載R，則變壓器原副線圈的匝數(shù)比為多大時，負載R上消耗的電功率最大？

解答：設原副線圈的匝數(shù)分別為n1，n2，電流分別為I1，I2，電壓分別為U1，U2，

則：U1=ε-I1r電阻R消耗的電功率為P=U2I2=U1I1

即P=（ε-I1r）I1=-I 21·r+εI1

可見當：I1= 時，P有最大值Pmax=

此時U1=ε-I1r=ε- ·r= U2= ·U1= · I2= = ·

又因： = 代入I1，I2得： = 。當 = 時，電阻R消耗功率最大。

第二種方法稱之為三角函數(shù)法：通過設定角度為一函數(shù)變量，應用物理規(guī)律列出相關的方程，然后加以處理。

例題4：半徑為R的絕緣光滑圓環(huán)固定在豎直平面內，環(huán)上套有一質量為m，帶正電的珠子，空間存在水平向右的勻強電場。如圖所示，珠子所受電場力是其重力的 倍。將珠子從環(huán)上最低位置A點靜止釋放，則珠子所能獲得的最大動能為多少？

解答：設珠子的帶電量為q，電場強度為E。珠子在它與電場線的夾角為θ時，珠子所能獲得的動能最大，如圖所示，則由動能定理得珠子動能的表達式為Ek=qERcosθ-mgR（1-sinθ），

利用三角變換可得：Ek=qERcosθ-mgR（1-sinθ）= mgRcosθ-mgRsinθ-mgR.

令sinφ= ，則cosφ= ，故上式又變換為Ek= mgRsin（φ-θ）-mgR顯然，當sin（φ-θ）=1時，Ek有最大值，且Ek= mgR.

第三種方法稱之為不等式法：不等式法就是如果兩數(shù)和為常數(shù)，當兩數(shù)相等時其乘積最大，由xy≤ ，（x>0，y>0）。若x+y=P（定值），則當x=y時，x、y的乘積有極大值。

例題5：如圖所示，已知R1=2Ω，R2=3Ω，R3=5Ω，電源電動勢ε=6V，電源內阻r=0.5Ω。問：變阻器滑動片在何處時，電源發(fā)熱功率最?。?/p>

解答：設電源發(fā)熱功率為P，干路電流為I，據(jù)P=I2·r，可知：I最小時，P最小。

又因：I= 且知：R外=

根據(jù)不等式原理可知：當R1+Rx=R2+R3-Rx時，I有最小值。

即Rx= =3Ω時，I的最小值為Imin=2A得：Pmin=2W

第四種方法稱之為導數(shù)法：導數(shù)法就是應用數(shù)學中求導與極值的關系，對物理方程加以處理而求解。

例題6：一輕繩一端固定在O點，另一端拴著一小球，拉起小球使輕繩水平，然后無初速地釋放，如圖所示，小球在運動至輕繩達到垂直位置過程中，小球所受重力的瞬時功率在何處取得最大值。

解答：設繩達到與水平方向為角a時，重力的功率取得最大值，則速度v和重力mg之間的夾角也為a，對小球從A到C由動能定理，則有：mgRsina= mv2，其中R為輕繩長。

由功率定義式P=mgvcosa=mg

對功率P求導：P′=mg =mg =0

容易解得P′=0時，sina= ，即此時P具有極值，考慮到始末兩個狀態(tài)重力的瞬時功率均為0，故在a=arc sin 時，重力的瞬時功率具有最大值。

以上求極值的方法是解高中物理題的常用方法。在求解極值問題的過程中，首先應對這類問題加以歸類分析，確定問題應該使用物理方法還是數(shù)學方法的總的解題方向，然后根據(jù)題意，找出符合物理規(guī)律的物理方程或物理圖象，最終得以求解。

編輯 謝尾合