張漢宇

2015年全國高考數(shù)學新定義型試題異彩紛呈，主要體現(xiàn)在新定義的概念，引入新的符號和定義新的運算.這些題在全面考查學生的數(shù)學知識、方法及數(shù)學思想的基礎上，還著力考查學生的創(chuàng)新研究能力與學習潛力等綜合素質(zhì).本文對高考新定義型試題的三種題型進行解析，揭秘其解題策略.

一、定義新的概念

例1.（2015湖北，理6）已知符號函數(shù)sgnx=1，x>0，0，x=0，-1，x<0.f（x）是R上的增函數(shù)，g（x）=f（x）-f（ax）（a>1），則（ ? ? ? ?）

A.sgn[g（x）]=sgnx ? ? ? ? ? ? B.sgn[g（x）]=-sgnx

C.sgn[g（x）]=sgn[f（x）] ? ?D.sgn[g（x）]=-sgn[f（x）]

解析：不妨令f（x）=x+1，a=2，則g（x）=f（x）-f（2x）=-x，則sgn[g（x）]=sgn（-x），排除A;sgn[f（x）]=sgn（x+1）是把x+1與0比較，排除C，D，故選B.

賞析：此題選自高等數(shù)學中“符號函數(shù)”編擬適合高中生的試題，體現(xiàn)了高等數(shù)學與中學數(shù)學的和諧美.以高等數(shù)學知識為背景，定義一個新函數(shù)，要求學生深刻理解新函數(shù)的內(nèi)涵及本質(zhì)，并能合理遷移運用已學的知識加以解決.此類問題較好地考查了學生的知識遷移能力、轉(zhuǎn)化能力，開發(fā)了學生探究性學習的潛能，是備受高考命題者青睞的題型，例如2009年湖南理科第8題，2008年湖南文科第15題.

二、引入新的符號

例2.（2015山東，文14）定義運算“？茚”：x？茚y=x，y∈R，xy≠0）.當x>0，y>0時，x？茚y+（2y）？茚x的最小值為？搖 ?？搖？搖？搖.

解析：由已知定義可得x？茚y+（2y）？茚x=+=+，利用基本不等式可得x？茚y+（2y）？茚x的最小值為，當且僅當x=y時等號成立.

賞析：在高考試題中引入新的符號，通過定義一種新的運算，考查學生的自學能力和探究能力，而這類題目給中學教師一種啟發(fā)，就是在實際教學中要注意培養(yǎng)學生的獨立思考能力及自主探索的能力.

三、定義新的運算

例3.（2015福建卷，理15）一個二元碼是由和組成的數(shù)字串x，x…x（n∈N），其中x（k=1，2，…，n）稱為第k位元碼.二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生元碼錯誤（即元碼由0變?yōu)?，或由1變?yōu)?）.

已知某種二元碼xx…x的元碼滿足如下校驗方程組：

x？茌x？茌x？茌x=0，x？茌x？茌x？茌x=0，x？茌x？茌x？茌x=0

其中運算定義為：0？茌0=0，0？茌1=1，1？茌0=1，1？茌1=0.

現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k為發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定k等于？搖？搖？搖 ?？搖.

解析：將代入校驗方程組依次驗證，發(fā)現(xiàn)x有誤，即k=5.

賞析：本題所定義的運算法則實質(zhì)上是計算機中的二進制運算，引導學生關注生活，注重應用意識，掌握計算機知識已成為現(xiàn)代公民的基本素養(yǎng)，對于新運算應該緊扣新運算法則，通過推導判斷，從而獲得正確的結論.定義一種新的運算，運用新的運算法則展開計算，考查學生現(xiàn)學現(xiàn)用的能力，體現(xiàn)了高考命題指出的“由知識立意向能力立意過渡”的指導思想.2008陜西理科第12題，2011湖南理科第16題均涉及二進制.

解題策略：

首先要對新定義型試題進行信息提取，明確新定義的符號和名稱;

其次仔細品味新定義的概念，運算法則，對新定義型試題所提取出的信息進行加工，探求解決方法，必要時可尋找相近知識點，然后明確他們的共同點及不同點;

最后對新定義型試題中提出的知識進行轉(zhuǎn)換，有效的輸出，其中對定義信息中的提取和化歸轉(zhuǎn)化是解此類題的關鍵，也是解題的難點.