張暉萍

一、引言

百年大計，教育為本。隨著我國教育事業(yè)的發(fā)展，初中數(shù)學教育越來越重視學生數(shù)學思想的培養(yǎng)。數(shù)學思想在數(shù)學教育之中有著重要的地位，它是數(shù)學學習的靈魂所在，關系著學生數(shù)學學習的效率及學生對于數(shù)學問題的解答質量。初中生數(shù)學思想的培養(yǎng)旨在幫助學生更好地理解初中數(shù)學中的概念及重點。初中數(shù)學教學大綱中涉及的數(shù)學思想主要有：函數(shù)思想、方程思想、建模思想、轉化思想及數(shù)形結合思想等。其中，函數(shù)與方程思想是初中數(shù)學教育的重點培養(yǎng)思想。本文通過分析二者概念的定義，并結合具體的應用實例，旨在幫助中學生更好地理解函數(shù)思想及方程的本質，提高學生在面對具體數(shù)學問題時的應用能力。

二、相關概念

（一）函數(shù)思想

在初中數(shù)學教學中，首先引出的是函數(shù)的概念。函數(shù)描述的是自然界中數(shù)量之間存在的關系。函數(shù)思想主要是通過具體問題的數(shù)學特征，分析具體數(shù)學量之間的關系，進而建立數(shù)學模型，從而進行問題的深入研究。初中數(shù)學中的函數(shù)思想主要體現(xiàn)在學生“聯(lián)系和變化”的能力。在具體解題中，首先應該根據(jù)題意構建函數(shù)y，然后再利用函數(shù)的增減性、最大值和最小值、圖像變換等對問題進行具體的分析。初中數(shù)學中的函數(shù)模型主要有一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、銳角三角函數(shù)等幾類，大部分的數(shù)學函數(shù)題也是圍繞這幾類函數(shù)模型的。

函數(shù)思想并不只是針對函數(shù)類數(shù)學題而存在的。函數(shù)思想雖然基于學生對函數(shù)的概念及性質的掌握，但是在各類數(shù)學題中都能得到體現(xiàn)。這就要求在具體的解題中，應該善于挖掘題中的隱含條件，進而構造出函數(shù)模型。初中生在解數(shù)學題過程中應該鍛煉自己的審題能力，能夠對題目進行充分、全面的解讀，這是培養(yǎng)學生函數(shù)思想的重要前提。

（二）方程思想

初中數(shù)學教材中涉及的方程思想主要立足于具體數(shù)學問題的數(shù)量關系，然后通過學生正確理解，將問題中所給的語言文字轉化為相應的數(shù)學語言，進而轉化為既定的數(shù)學模型。這里提到的數(shù)學模型包括方程、不等式、混合式（方程與不等式共存），然后通過計算獲得方程或者不等式的解，從而使得數(shù)學問題得到解決。值得強調的是，與函數(shù)思想一樣，方程思想的適用范圍很廣，它并不只針對方程問題存在。就像前面提到過的不等式中同樣用到了方程思想。隨著對初中數(shù)學的進一步學習，我們能夠體會到方程思想的用處很廣，它會潛移默化地影響學生的解題思路，幫助學生提高解題能力。

笛卡爾將方程思想進行了具體的概括，他認為的方程思想是：實際問題→數(shù)學問題→代數(shù)問題→方程問題。在數(shù)學領域，幾乎到處都有等式與不等式存在。初中數(shù)學作為數(shù)學教育的基礎教育，大部分內容都是建立在等式與不等式之上的。哪里有等式，哪里就有方程思想。具體應用到初中數(shù)學中，設未知數(shù)、列方程、研究方程、解方程都是學生應用方程思想的重要體現(xiàn)。

三、應用案例

（一）函數(shù)思想的應用

我們在初中數(shù)學中所遇到的數(shù)量關系有時沒有那么直觀，如果利用函數(shù)思想建立數(shù)學量之間的函數(shù)關系模型就能夠有效解決這一問題。通過構建具體的函數(shù)模型研究初中數(shù)學問題，可以使很多東西簡單化。同時，培養(yǎng)學生的函數(shù)思想有助于其學習能力的提高、學習成績的進步。

例如：據(jù)報載，我省人均耕地已從1951年的2.93畝減少到1999年的1.02畝，平均每年減少0.04畝。若不采取措施，繼續(xù)按此速度減下去，若干年后我省將無地可耕，無地可耕的情況最早會發(fā)生在（ ? ?）。

A.2022年？搖？搖B.2023年？搖？搖C.2024年？搖？搖D.2025年

解：設x年后我省可耕地為y畝，則y與x的函數(shù)關系式為y=2.93-0.04x。

令y=0得x=73.25。

考慮實際情況x應取74，無地可耕的情況最早會發(fā)生在1951+74=2025，所以應該選D。

上述例題的解答問題就體現(xiàn)了函數(shù)思想。通過建立時間與耕地面積的函數(shù)關系使題目簡單化。倘若直接計算，也能得到正確答案，只是解答過程會相對繁瑣并且容易出現(xiàn)錯誤。其實，利用函數(shù)思想解決初中數(shù)學問題的中心思想很簡單，就是構建函數(shù)關系式。但具體應用起來并非易事。學生要綜合考慮函數(shù)的性質、圖形及實際情況解答問題，并不是單純地列出函數(shù)式就可以了。教師應加強學生的相關練習。

（二）方程思想的應用

1.方程的思想在代數(shù)中的應用：對于一些概念性的問題可以用方程的思想解決。

例如：1）■+1與■互為相反數(shù)，求m的值;

2）p（x，x+y）與q（y+5，x-7）關于x軸對稱，求p、q的坐標。

解題思路就是根據(jù)給出的語言描述，利用相反數(shù)的概念及關于x軸對稱的性質列出相應的方程式，然后對方程式進行求解。

2.方程的思想在幾何中的應用：最典型的就是給出邊（角、對角線、圓的半徑）的比，求有關的問題。

例如：若三角形三個內角之比是1∶1∶2，判斷這個三角形的形狀。

解題思路為：設每一份為x，三個角分別就是x，x，2x，

則x+x+2x=180，解方程得x=45，所以該三角形為等腰直角三角形。

從上面的例子可以看出，方程思想在具體應用中就是利用方程觀點，用已知量和未知量列出等式或者不等式，然后再對方程進行求解。教師應該加強培養(yǎng)學生根據(jù)題意列方程的能力，這是利用方程思想解題的關鍵所在。

四、結語

函數(shù)思想與方程思想作為重要的數(shù)學思想，都能體現(xiàn)出數(shù)學的本質、數(shù)學能力及數(shù)學的學科特點。這兩種數(shù)學思想在初中數(shù)學中屬于最基本的解題思想。對于初中學生而言，加強函數(shù)與方程思想的訓練能夠不斷增強學生思維的靈活性，進而提高初中學生的數(shù)學解題能力。

函數(shù)思想的運用主要是把具體數(shù)學問題中的量分為變量和常量，分析它們之間的關系，用函數(shù)式的形式表現(xiàn)出來，然后再根據(jù)函數(shù)的性質解決問題;而方程思想對具體數(shù)學量的劃分包括已知量和未知量，然后分析它們之間的關系列出方程式（或者不等式），再通過解方程、分析方程等方法解決問題。換句話說，函數(shù)與方程的思想就是通過分析數(shù)學量的關系，將其與函數(shù)或方程聯(lián)系起來，從而解決問題。但是值得注意的是，數(shù)學思想作為解數(shù)學題的指導思想，并不是相對獨立的，利用方程思想解決函數(shù)問題或者利用函數(shù)思想解決方程問題的情況也時有發(fā)生。這與數(shù)學自身的學科特點也有一定的聯(lián)系。在初中數(shù)學中，同一內容可以表現(xiàn)不同的數(shù)學方法，同一數(shù)學方法也可能分布在不同的知識點中，所以在課堂教學中應該幫助學生不斷概括、整理數(shù)學方法，使學生在應用的同時更好地掌握多種數(shù)學思想。