朱紅林

縱觀近幾年各地的高考試卷，數(shù)列問題始終是一個熱點，以數(shù)列為載體的恒成立問題，由于涉及的知識點更綜合，也是數(shù)形結(jié)合、回歸轉(zhuǎn)化思想的集中體現(xiàn)，因此備受命題人青睞.本文試著通過幾個例子歸納這類問題的常用處理手段及解題時需要注意的問題.

策略一：直接觀察求最值

例1：等差數(shù)列{a■}中，a■=8，a■=2，設(shè)b■=■（n∈N■），T■為b■的前n項和，是否存在最大的正整數(shù)m，使得對于任意的n∈N■均有T■>■？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.

分析：恒成立問題的本質(zhì)是最值，本題中，T■可以視作一個關(guān)于n的函數(shù)，因此只要求其最小值即可.而通過觀察單調(diào)性，則是求最值最常見的方法.

解：易得a■=10-2n，而b■=■，

因此由裂項法可以得到：T■=■（1-■）.觀察可得，

T■是關(guān)于n的遞增函數(shù)，故T■的最小值是T■=■，因此■<■成立，即m<8.

又因為m∈N■，所以m的最大值為7.

策略二：作差的方法求最值

除了套用常規(guī)求函數(shù)最值的方法，數(shù)列中由于其變量是正整數(shù)這一特殊性，決定了其還具有變通的方法求最值，即通過作差或作商的方法比較a■與a■的大小確定其單調(diào)性.具體來說，當(dāng)a■-a■>0則a■單調(diào)遞增；a■-a■<0則a■單調(diào)遞減.

例2：a■=■，b■=a■·a■，T■為b■的前n項和，對任意的自然數(shù)n，存在實數(shù)T滿足T■≥T成立，求T的最大值.

分析：把T■視作關(guān)于n的一個函數(shù)，再通過作差研究其單調(diào)性.

解：b■=a■·a■=■·■=■（■-■）

T■=■（■-■+■-■+■-■+…+■-■）

=■（■+■-■-■）

∴T■-T■=■（■-■）>0

{T■}單調(diào)遞增，故（T■）■=T■=■≥T

∴T的最大值為■.

策略三：作商的方法求最值

除了采取作差的方法外，還可以采取作商的方法，即正項數(shù)列滿足■>1，則a■單調(diào)遞增；■<1，則a■單調(diào)遞減.

例3：已知數(shù)列C■≤■m■+m-1對一切正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

分析：C■=（3n-2）（■）■，直接通過觀察法無法確定其單調(diào)性，又由于其中涉及指數(shù)形式，故采取作商研究其單調(diào)性.

解：由■=■=■<1得：n>1，故當(dāng)n≥2時，C■單調(diào)查遞增，當(dāng)n≥2時，C■的最大值為C■=■，所以■≤■m■+m-1，解得m≥1或m≤-5.

策略四：分離參數(shù)后求最值

除了上述能夠直接求出最值的情形，更多時候，所研究的數(shù)列中字母參數(shù)跟主元（通常是n）混在一起，這樣就不容易直接求出最值，便需要通過恒等變形，使參數(shù)跟主元分離，從而轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的值域.

例4：等差數(shù)列{a■}中，a■=1，S■為前n項和，且滿足S■-2S■=n■，n∈N■，

（1）求a■；

（2）b■=3■+（-1）■λ2■（λ為非零常數(shù)），若對任意正整n，都有b■>b■，求λ的范圍.

分析：易得a■=n，由b■>b■恒成立，可以分離出λ，再利用函數(shù)思想就可以轉(zhuǎn)化為形如“a>f（x）”或“a

解：由b■>b■得：3■+（-1）■2■λ>3■+（-1）■2■λ，化簡得2·3■>3（-1）■·2■λ.

由于涉及（-1）■，因此需要對n的奇偶進行分類討論.具體如下：

當(dāng)n為奇數(shù)時，2·3■>3·2■λ即λ<■（■）■，令f（n）=■（■）■，則f（n）關(guān)于n單調(diào)遞增，

此時f（n）■=f（1）=1，所以λ<1.

當(dāng)n為偶數(shù)時，則2·3■>-3·2■λ，即λ>-■（■）■，令g（n）=-■（■）■，則g（n）關(guān)于n單調(diào)遞減，

此時f（n）■=g（2）=-■，所以λ>-■.

綜上，-■<λ<1.

策略五：分別研究最值

例5：數(shù)列a■首項為-1，（n+1）a■，（n+2）a■，n成等差數(shù)列

（1）若b■=（n+1）a■-n+2，求證：{b■}為等比數(shù)列；

（2）求{a■}的通項公式；

（3）若a■-b■≤kn對任意的nn∈N■都成立，求實數(shù)k的范圍。

分析：當(dāng)某個復(fù)雜的數(shù)列是由兩個數(shù)列相加的結(jié)果，通?？煽紤]上述策略，利用觀察法或者作差（作商）等方法對兩者的單調(diào)性分別進行研究，從而得出整個數(shù)列的最值。

解：（1）（2）略

（3）由（2）可得：a■-b■=■（■）■+■

a■-b■≤kn即：k≥■（■）■+■

記C■=■（■）■，d=■，e■=c■+d■

易知C■隨n的增大而減小

而d■-d■=■，

故n≥5時，d■

即n≥5時，e■隨n的增大而減小，

又e■=0，e■=■，e■=■，e■=■，e■=■

故e■e■>e■>e■>…

因此e■=■最大，∴k≥■.

以上總結(jié)了高中數(shù)列恒成立問題中較常見的類型，與函數(shù)的恒成立問題既有相似之處，又由于數(shù)列中變量的特殊性，因此有差別，在分析題目時應(yīng)靈活結(jié)合數(shù)列單調(diào)性的研究，以便能夠輕松求解。