殷學(xué)民

“二次函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分、中考必考的內(nèi)容，往往以基礎(chǔ)題、能力題和拓展題三種層級(jí)的形式呈現(xiàn)，壓軸題多涉及二次函數(shù)，即使在高中數(shù)學(xué)中也常出現(xiàn)，為幫助同學(xué)們唱好初中函數(shù)學(xué)習(xí)的壓軸大戲，特提供如下建議.

一、 理解二次函數(shù)的內(nèi)涵和本質(zhì)

與前面學(xué)習(xí)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)一樣，二次函數(shù)也是源自生活的數(shù)學(xué)模型. 一般地，我們把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的函數(shù)叫做y關(guān)于x的二次函數(shù)，其中a稱為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)，x為自變量（其取值范圍是一切實(shí)數(shù)），y為因變量（其取值范圍并非是一切實(shí)數(shù)）.

注意y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0）叫做二次函數(shù)的一般式，其等號(hào)右邊的自變量的最高次數(shù)是2，但 “變量”不等同于“未知數(shù)”，不能說(shuō)“二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為2次的函數(shù)”，因?yàn)椤拔粗獢?shù)”只是一個(gè)數(shù)，“變量”可在一定范圍內(nèi)任意取值. 當(dāng)一個(gè)函數(shù)最高次項(xiàng)是2次且二次項(xiàng)系數(shù)不為零即為二次函數(shù).

例1 已知y=mx2+xm+1是關(guān)于x的二次函數(shù)，求m的值.

【分析】由于解析式中項(xiàng)xm+1的指數(shù)沒(méi)有確定，且m+1不小于1，題目要求是關(guān)于x的二次函數(shù)，所以分兩種情況：

① xm+1是二次項(xiàng)，此時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)為m+1，所以m？搖+1=2，m+1≠0，解得m=1；

② xm+1是一次項(xiàng)，此時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)為m，所以m？搖+1=1，m≠0，無(wú)解.

綜合上述討論，當(dāng)m=1時(shí)，y=mx2+xm+1是關(guān)于x的二次函數(shù).

二、 從平移的角度類比二次函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì)，理解、牢記二次函數(shù)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+h）2+k（其中a、h、k為常數(shù)，a≠0）的圖像和性質(zhì)

對(duì)某一二次函數(shù)，我們確定其中一個(gè)變量，就可利用解析式求出另一個(gè)變量，從而得到一組解，一組解就是一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，而二次函數(shù)的圖像就是由無(wú)數(shù)個(gè)這樣的點(diǎn)構(gòu)成的圖形.

結(jié)合具體的二次函數(shù)y=ax2、y=ax2+k、y=a（x+h）2、y=a（x+h）2+k（a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中圖像形狀和位置，可發(fā)現(xiàn)后三者均由y=ax2平移而得. 如果兩個(gè)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)相同，則它們的拋物線形狀相同，由于頂點(diǎn)不同，所以位置不同，拋物線的平移實(shí)質(zhì)上是頂點(diǎn)的平移. 平移規(guī)律是：“左加右減，上加下減”，即

特別提醒：“左加右減”是針對(duì)h而言，“上加下減”是針對(duì)k而言，如果拋物線是一般形式，應(yīng)先化為頂點(diǎn)式再平移.

例2 將y=3x2向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，求平移后的解析式.

解：平移后的函數(shù)解析式為y=3（x-2）2-1. 反之將y=3（x-2）2-1逆向平移，向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位就是y=3x2.

因?yàn)閽佄锞€平移只改變圖像頂點(diǎn)的坐標(biāo)，不改變形狀，所以要充分利用拋物線“頂點(diǎn)”的作用.

1. 要能準(zhǔn)確靈活求出“頂點(diǎn)”

七、 靈活求解析式

1. 一般式：y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0） .

2. 兩根式（也叫交點(diǎn)式）：當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)根x1、x2時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式分解因式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），二次函數(shù)y=ax2+bx+c可化為兩根式（也叫交點(diǎn)式）y=a（x-x1）（x-x2）.

如果拋物線y=ax2+bx+c與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則不能這樣表示.

3. 頂點(diǎn)式：y=a（x+h）2+k （a、h、k為常數(shù)，a≠0），（-h，k）為拋物線頂點(diǎn).

說(shuō)明：（1） 任何一個(gè)一般式都可以通過(guò)配方法化為頂點(diǎn)式，兩根式展開合并也可以化為一般式，但一般式不一定能化為兩根式，僅當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)才能化為一般式.

（2） 如拋物線過(guò)平面內(nèi)三點(diǎn)時(shí)，可設(shè)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入，列方程組求解；如已知拋物線的頂點(diǎn)（-h，k），且拋物線過(guò)平面內(nèi)另外一點(diǎn)，則可列頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+h）2+k，再將另外一點(diǎn)坐標(biāo)代入求a值即可；如拋物線與x軸交點(diǎn)為（x1，0）和（x2，0），且過(guò)平面上另外一點(diǎn)，則可設(shè)y=a（x-x1）（x-x2），將另外一點(diǎn)坐標(biāo)代入求a值即可.

例7 已知拋物線過(guò)點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）、C（1，5），求拋物線的解析式.

解法一：直接設(shè)y=ax2+bx+c，將點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)代入解析式得到三元一次方程組，解出a、b、c即可.

解法二：觀察發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）在x軸上，說(shuō)明拋物線與x軸有交點(diǎn)A、B，因此可設(shè)y=a（x+1）（x-3），再將點(diǎn)C（1，5）代入求出a即可.

解法三：通過(guò)進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)，A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，可知A、B兩點(diǎn)為拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，所以對(duì)稱軸為直線x=1，進(jìn)一步可知點(diǎn)C（1，5）為拋物線的頂點(diǎn)，故可設(shè)y=a（x-1）2+5，然后將點(diǎn)A或B的坐標(biāo)代入求出a即可.

二次函數(shù)總是與其圖像聯(lián)系，這也是函數(shù)的特點(diǎn)之一，學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)，一定要注意代數(shù)與幾何的聯(lián)袂，做到數(shù)形結(jié)合，在理解的基礎(chǔ)上，強(qiáng)化記憶一些基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，這樣在綜合應(yīng)用時(shí)才能游刃有余.

（作者單位：江蘇省東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán)）