顧利國 嚴(yán)育洪
【“望”:病例觀察】
在一節(jié)“認(rèn)識方程”的課中,教師設(shè)計了以下幾個教學(xué)環(huán)節(jié):一是以天平為載體呈現(xiàn)等量關(guān)系和不等量關(guān)系,然后進行分類得到方程;二是以方程的定義為切入點,從“等式”和“未知數(shù)”兩個要點認(rèn)識方程,并通過大量練習(xí)進行強化,最終學(xué)生都能抓住教師再三強調(diào)的“等式”和“未知數(shù)”兩個要點來判斷是否方程。
在課即將結(jié)束的時候,教師讓學(xué)生回顧對方程的認(rèn)識,開始回答的學(xué)生都在復(fù)述方程的意義——“含有未知數(shù)的等式叫作方程”。教師正在進行全課總結(jié),有一位學(xué)生談了自己的學(xué)習(xí)體會:“我覺得方程就像兩個雙胞胎在一起玩蹺蹺板一樣,兩邊相等,很平衡?!?/p>
教師沒有馬上接口,暗自思考該如何評價,其他學(xué)生卻很受“啟發(fā)”,紛紛舉手要發(fā)言。教師一看學(xué)生學(xué)習(xí)熱情如此高漲,也不由得興奮起來,允許學(xué)生暢所欲言,結(jié)果又出現(xiàn)了以下“精彩紛呈”的舉例,讓教師大呼過癮,直至下課鈴聲響起——
生1:方程像農(nóng)民伯伯挑的糞桶擔(dān)。
生2:方程像少林寺和尚用雙手提水桶練功。
生3:鳥類的翅膀就像方程一樣用來保持它們飛行時的平衡。
生4:對,飛機的兩翼也是這個道理。
生5:我們?nèi)祟惙毖苌娴哪信壤且话胍话氲?,這也與方程相似吧?!
生6:科學(xué)課上學(xué)過植物鏈、動物鏈,我覺得,這生態(tài)平衡問題就像一個大大的方程。
……
【“問”:病歷記錄】
課后,筆者問學(xué)生:“你們覺得方程難學(xué)嗎?”
學(xué)生眾口一詞,都說不難,只要抓住“等式”和“未知數(shù)”兩個要點就行。
“那為什么要學(xué)方程呢?”
許多學(xué)生都說不出所以然。
筆者換了一個話題:“一輛公交車行駛到某一站,下車6人,上車4人,這時車上一共12人。這里有方程么?”
學(xué)生眾口一詞,都認(rèn)為沒有,因為這里看不到天平的平衡。
筆者又換了一個話題:“你認(rèn)為x=1是方程嗎?”
許多學(xué)生都認(rèn)為是,因為它符合“等式”和“未知數(shù)”兩個要點。還有一些學(xué)生感覺這個方程有點怪。
筆者轉(zhuǎn)而問教師:“x=1是方程嗎?”
教師有點遲疑地說:“應(yīng)該是吧,它是一個含有未知數(shù)的等式。只是這個方程也太簡單了?!?/p>
“明明x等于1,怎么可以說它未知呢?!”
“這個,……是啊,這是怎么回事呢?”教師一籌莫展。
筆者又換了一個話題:“你覺得,學(xué)生在課的最后,所說的對方程的認(rèn)識是否準(zhǔn)確?”
教師一臉無奈:“說實在的,我也說不準(zhǔn),但我感覺他們這樣說還是比較形象生動的?!?/p>
……
【“切”:病理診治】
數(shù)學(xué)家笛卡爾在《指導(dǎo)思維的法則》一書中提出了一種解決一切問題的“萬能方法”,其模式是:把任何種類的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;把任何種類的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;把任何種類的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程(組)的問題,然后討論方程(組)的問題,得到解之后再對“解”進行解釋。從中,我們可以感覺到“方程”知識的重要性,它是解決問題的重要方法,由此有專家認(rèn)為“方程既非基本概念,也非基本理論,而是基本方法”。
然而,許多教師對方程的本質(zhì)認(rèn)識也比較模糊,這可以從課后筆者詢問教師“x=1是方程嗎?”中反映出來。
那么,方程的本質(zhì)是什么?張奠宙教授對方程進行了重新定義:“方程是為了尋求未知數(shù),在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系?!比绱税l(fā)生式定義首先告訴了我們方程的核心價值,即為了尋求未知數(shù),接著告訴我們,方程乃是一種關(guān)系,其特征是“等式”關(guān)系,這種等式關(guān)系,把未知數(shù)和已知數(shù)聯(lián)系起來了,于是,人們借助這層關(guān)系,找到了我們需要的未知數(shù)??梢?,“含有未知數(shù)的等式叫作方程”并非是方程的嚴(yán)格定義,僅是一種樸素的描寫,方程的意義不在于概念本身,而在于方程的本質(zhì)特征:要“求”未知數(shù),在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系。
至此,我們就不難回答“x=1是方程嗎?”這一問題,從形式上看,x=1是方程,這個式子里有未知數(shù),也有等式,完全符合教材對方程的描述。但如果用“方程是為了尋求未知數(shù),在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系”來看,x=1更應(yīng)該說成是方程的解。否則,只會出現(xiàn)“數(shù)學(xué)悖論”——“明明x等于1,怎么可以說它未知呢?”
在教學(xué)中,如果教師始終只是抓住“等式”和“未知數(shù)”這兩個要點去認(rèn)識方程,那永遠(yuǎn)只能流于形式,這樣的教學(xué)就是史寧中教授所說的把思路搞反了,學(xué)生對方程的認(rèn)識只是停留在熟練背誦方程定義的層面上,也就是說,這樣的教學(xué)過程只是教會了學(xué)生定義,而沒有教會學(xué)生意義。
因為“方程既非基本概念,也非基本理論”,所以我們的教學(xué)不應(yīng)過分在方程的“是什么”上咬文嚼字、對號入座,而應(yīng)該在方程的“為什么”上下功夫。陳重穆教授也指出:“含有未知數(shù)的等式叫作方程”這一定義中沒有體現(xiàn)方程的本質(zhì),這樣的定義要淡化,不要記,無須背,更不要考。真正的方程教學(xué)關(guān)鍵是要理解方程思想的本質(zhì),它的價值和意義,讓學(xué)生通過豐富的問題情景,去發(fā)現(xiàn)其中的相等關(guān)系,在表達(dá)這些相等關(guān)系的時候,有的不需要未知數(shù),有時候需要未知數(shù)一起參與,下面這個教學(xué)片段就很好地讓學(xué)生明白了方程的“為什么”——
師:你今年幾歲啦?
生:11歲。
師:你的年齡是一個已經(jīng)知道的數(shù),在數(shù)學(xué)上稱為已知數(shù)。你知道老師的年齡嗎?
生:不知道。是未知數(shù)。
師:你們想把這個未知數(shù)變成已知數(shù)嗎?我的年齡減去20歲后,還比你們大。我的年齡減去30歲,比你們小。能確定我的年齡嗎?
生:不能,只是一個范圍。
師:如果我的年齡減去27就等于11呢?
生:38歲。
師:剛才給你們?nèi)龡l信息,為什么前面兩條信息你們不能確定我的年齡,而第三條信息一出來就能確定?(學(xué)生小組討論)
生:只有相等的式子,才能求出確定的結(jié)果。
師:怎樣把這三條信息用含有字母的式子表示?
生:x-20>11,x-30<11,x-27=11。
師:比較一下,你們發(fā)現(xiàn)了什么?
生:第三個式子是左右相等的。
師:是的,在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立等量關(guān)系的式子,在數(shù)學(xué)上叫方程。
……
在小學(xué)教學(xué)中,方程是小學(xué)生首次學(xué)習(xí)有關(guān)代數(shù)的知識,是學(xué)生從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡的初期。然而,在訪談中學(xué)生普遍認(rèn)為“方程不難”,這在一定程度上暴露了教師并沒有認(rèn)識到方程的真正價值,也沒有對教學(xué)難點進行突破。
首先,我們要讓學(xué)生弄清楚等式關(guān)系這一個教學(xué)難點。學(xué)生在以前的學(xué)習(xí)中,經(jīng)常做的計算題,例如“1+2=?”此時“1+2=3”中的“=”,在學(xué)生的眼里,常常被看成是一種具有運算性質(zhì)的符號,然而,以前學(xué)生也曾做過諸如這樣的判斷題“在○里填>、=、<:1+2○3”,此時“1+2=3”中的“=”,教師卻常常未能及時指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到它其實就是一種關(guān)系符號。由此可見,“1+2=3”在學(xué)生的眼里更多地看成是一個算式——“1+2=?”而非一個等式——“1+2○3”,其實,“1+2=3”中的“=”在根本上就是一種關(guān)系符號。
學(xué)生長久局限在算術(shù)的思維中,導(dǎo)致在學(xué)習(xí)方程時對“‘=’是一種關(guān)系符號”的認(rèn)識感到困難,對此,教師可以復(fù)習(xí)“在○里填>、=、<:1+2○3”這樣的判斷題,勾起學(xué)生對“往事”的回憶,認(rèn)識到“1+2=3”中的“=”表示相等關(guān)系。為了增加視覺效果,引起學(xué)生的注意,教師還可以在例1(如圖1)前增加這樣的鋪墊——“在天平左右兩邊各放20克砝碼”,讓學(xué)生對“20=20”在視覺上產(chǎn)生強烈的“不舒服”——“有這樣的算式嗎?”此時教師把“20=20”改換成“20○20”這種學(xué)生曾經(jīng)做過的判斷題形式,幫助學(xué)生領(lǐng)悟到“20=20”表示的是一個等式,從而在對比中認(rèn)識到此處的“=”是一種關(guān)系符號。
……
除了方程的工具價值,方程思想的感悟也是教學(xué)的重點和難點。方程思想的核心在于建模、化歸。史寧中和孔凡哲在《方程思想及其課程教學(xué)設(shè)計——數(shù)學(xué)教育熱點問題系列訪談錄之一》一文中指出:“小學(xué)四則運算僅僅提供一種算法,而一元一次方程則比較全面地展示了建模思想——用等號將相互等價的兩件事情聯(lián)立。等號的左右兩邊等價,至于其中的關(guān)系是用文字語言表示的,還是用數(shù)學(xué)符號表達(dá)的,都不太重要,重要的是等號左右兩邊的事情在數(shù)學(xué)上是等價的,這就是數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)?!痹谡J(rèn)識“方程是一種模型”的教學(xué)中,教師應(yīng)該讓學(xué)生認(rèn)識到“相互等價的兩件事情”不僅只是如圖2所示事物與砝碼之間的等價關(guān)系(因為學(xué)生常常將砝碼視為事物稱重的結(jié)果,此情景下的“=”,學(xué)生往往視之為運算符號),還可以是如圖3所示一種事物與另一種事物之間的等價關(guān)系(此情景下的“=”更容易讓學(xué)生清楚地認(rèn)識到它是一種關(guān)系符號),從而使學(xué)生能正確地理解方程的意義。
本課教學(xué)不能停留在概念層面的理解,而應(yīng)該注重讓學(xué)生經(jīng)歷方程的建模過程,根據(jù)已有模式出發(fā)賦予方程合理的生活情境,在經(jīng)歷方程建模的過程中深刻理解方程的意義。上述課例,從課后的測試可以看出,學(xué)生對方程的認(rèn)識滿腦子只有“天平”,這對方程的建模是不利的。我們應(yīng)該幫助學(xué)生跳出天平而在更大的范圍內(nèi)認(rèn)識方程,除了“乘車問題”,還有如下教學(xué)片段中的“倒水問題”,同樣存在著方程——
師:現(xiàn)在老師把看得見的天平收起來了,不知道你們的心中有天平嗎?
生:有!
師:拿出來?。▽W(xué)生兩手平衡表示天平)
出示題目:一個水壺,裝有2000毫升水,往兩個暖壺倒?jié)M水,再往一個200毫升的水杯倒?jié)M水,正好倒完。(假設(shè)一個水壺的自身重量=兩個暖壺的自身重量+一個水杯的自身重量)
師:這道題里有天平嗎?
生:沒有。
師:真的沒有嗎?
生:有!
師:在哪兒呢?拿出來。右邊2000毫升水壺,現(xiàn)在天平怎么樣?(學(xué)生演示)左邊倒?jié)M一個暖壺,再倒?jié)M一個暖壺,天平還不平衡,再加一個裝滿200毫升水的水杯,天平平衡了嗎?
師:你會列出方程嗎?
……
當(dāng)然,上述“倒水問題”中的方程也可以只關(guān)注水的相等關(guān)系。在“乘車問題”和“倒水問題”之類的遷移中,學(xué)生會經(jīng)歷一個“天平”的變異、抽象和拓展過程,例如圖4所示,“天平”變成了示意圖、線段圖等形象。如果說,圖4所示的問題還能讓學(xué)生看出“天平”,那么圖5所示的問題則更需要學(xué)生想出“天平”,這樣的抽象和變通過程是數(shù)學(xué)模型建立必須經(jīng)歷的過程。
……
同時,要讓學(xué)生更好地進行方程建模,教師不妨多采用對比手法,教學(xué)可以分為兩個層次:一是同樣的問題情景可以寫出不同的方程,讓學(xué)生從不同角度尋找等量關(guān)系,體會數(shù)量間的相等關(guān)系是方程的根;二是不同的問題情景可以用同樣的方程來概括,表明了方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效模型,例如設(shè)計一些諸如“你能說一說生活中還有哪些事情也用方程4x=400表示嗎?”之類的開放題。異中有同,同中有異,這也是方程的魅力所在。
上述“倒水問題”教學(xué)中,教師的高明之舉就是逐步引導(dǎo)學(xué)生將心中的天平代替活動的天平。學(xué)習(xí)方程,形式上的天平并不重要,重要的是心中要有“天平”——數(shù)量間的相等關(guān)系。只有心中有數(shù)量之間的相等關(guān)系,才能真正體會到這種相等關(guān)系所帶來的數(shù)學(xué)思維的變化。
經(jīng)過如此深入知識本質(zhì)的教學(xué),也就能夠最大程度避免上述課例中一些學(xué)生對方程的模糊認(rèn)識:一位學(xué)生的舉例——“我覺得方程就像兩個雙胞胎在一起玩蹺蹺板一樣,兩邊相等,很平衡”,其實玩蹺蹺板是以不平衡為目的,如果蹺蹺板平衡了,恰恰說明兩邊重量不相等。同樣,另一位學(xué)生的舉例——“方程像農(nóng)民伯伯挑的糞桶擔(dān)”,挑糞桶擔(dān)雖然以平衡為目的,但它可以通過調(diào)節(jié)支點兩邊的距離來實現(xiàn),所以平衡不一定相等。另外,這些學(xué)生的舉例都缺失了方程另一個主要元素“含有未知數(shù)”,正確地說應(yīng)該是“求未知數(shù)”,在此確實可以看出學(xué)生滿腦子只有“平衡”意識。而教師在處理這些生成性問題的時候沒有及時介入作正確的指導(dǎo)(由此看出教師對此認(rèn)識也比較模糊),導(dǎo)致學(xué)生的舉例走上岔路,把“方程是什么”的科學(xué)性認(rèn)識開始偏向“方程像什么”的藝術(shù)化認(rèn)識,最終遠(yuǎn)離知識本質(zhì)、學(xué)科本質(zhì)而不亦樂乎,淡忘甚至遺忘原有的思考對象和知識目標(biāo)。
教學(xué)過程是動態(tài)變化的,其隨機性造就了許許多多的生成性問題。有些生成性問題對教學(xué)有著積極作用——造就教學(xué)意外的“故事”,教師應(yīng)及時開發(fā)和利用這些有益的問題,使之上升為教學(xué)的“資源”,使教學(xué)更精彩;而有些生成性問題對教學(xué)有著消極作用——造成教學(xué)意外的“事故”,教師應(yīng)及時拋棄或轉(zhuǎn)化這些無益的問題,使之不演變成教學(xué)的“垃圾”,使教學(xué)正?;?。
然而,教師對這些生成性問題并非都能保持清醒的認(rèn)識,并能科學(xué)合理地進行處理。有的教師因本體性知識不足,對生成性問題是否正確無從判斷;有的教師誤解新課程理念,片面認(rèn)定生成性問題的正面效應(yīng);有的教師審視能力偏低,判斷遲鈍,教育機智不強,顯得無所適從。所以,教師需要加強自身修煉。
(江蘇省無錫市碩放南星苑小學(xué) 214142
江蘇省無錫市錫山教師進修學(xué)校 214191)