劉玉

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的基礎(chǔ)內(nèi)容，它與生活聯(lián)系密切，是中考的重點(diǎn)之一。

一、一元二次方程的根

例1 （2014 荷澤）已知關(guān)于 的一元二次方程 有一個(gè)非零根 ，則 的值為（ ）

A.1 B. C.0 D.

【分析】 由于關(guān)于 的一元二次方程

有一個(gè)非零根 ，那么代入方程中即可得到 ，即

，因?yàn)?，所以 .所以 =1.

【答案】：A

【點(diǎn)評(píng)】已知含參數(shù)的方程的根，往往根據(jù)方程根的定義直接代入方程，得到一個(gè)關(guān)于參數(shù)的新方程，從而確定參數(shù)值。

二、一元二次方程的解法

一元二次方程的基本解法有：直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法。我們既要理解一元二次方程解法中轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，如配方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)式子的轉(zhuǎn)化，公式法直接利用公式把方程中的“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，因式分解法通過(guò)“降次”把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，又要善于根據(jù)一元二次方程的特征，靈活運(yùn)用各種解法并能選擇最佳解法。

例2 （2012 永州）解方程：

-9=0.

【分析】將原方程化為 ，

利用直接開(kāi)平方法求解。

解：移項(xiàng)，得： ，

直接開(kāi)平方得，得： ，

.

【點(diǎn)評(píng)】解這類(lèi)問(wèn)題要移項(xiàng)，把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，化成 （k≥0）的形式，利用數(shù)的開(kāi)方直接求解。用直接開(kāi)平方法解方程可概括為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開(kāi)平方取正負(fù)，分開(kāi)求得方程解”.這里的x 可代表一個(gè)式子。

例3（2014 慶陽(yáng)） 解方程：

.

【分析】本題二次項(xiàng)系數(shù)是1，先將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，再配方即可。

解：移項(xiàng)，得：

配方，得 ，

即

直接開(kāi)平方得，得

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí)，比較容易配方，所以常用配方法求它的根。配方法是對(duì)二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方，因此一般先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，再將常數(shù)項(xiàng)移到方程的另一邊，利用等式的性質(zhì)，方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方。配方法解一元二次方程，實(shí)質(zhì)上就是對(duì)一元二次方程變形，轉(zhuǎn)化成能直接開(kāi)平方所需的形式。

例4（2013無(wú)錫）解方程：

【分析】此方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系不是二次項(xiàng)系數(shù)的偶數(shù)倍，用公式法較簡(jiǎn)便。先確定公式中的 的值，并計(jì)算出 的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根。

解：

【點(diǎn)評(píng)】公式法是解一元二次方程的通法。在用公式法解一元二次方程時(shí)，一定先要將方程化為一般形式，再確定 的值；然后計(jì)算判別式的值，必須滿(mǎn)足 時(shí)，才能將 的值代入求根公式。如果 ，那么在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。當(dāng) 時(shí)，必須把原方程的根寫(xiě)成 的形式，表示有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

例5（2014自貢）解方程：

.

【分析】此方程先通過(guò)移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為方程右邊為0的形式，然后利用提取公因式法分解因式。

解：原方程可化為

=0.

即 ，

，

【點(diǎn)評(píng)】用因式分解法解一元二次方程是通過(guò)因式分解降次，把原方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程。此解法只適用于方程的一邊為0，另一邊能分解因式的一元二次方程。

【規(guī)律總結(jié)】解一元二次方程的關(guān)鍵是方法的選擇，一般按照先特殊后一般的程序選擇，考慮的順序是直接開(kāi)平方法→因式分解法→公式法，配方法除特別要求使用此解法外一般不用。但配方法在學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)有廣泛的應(yīng)用，是要求掌握的重要數(shù)學(xué)方法之一。

三、配方法的應(yīng)用

例6 求證：無(wú)論 取何值，代數(shù)

的值都是正數(shù)。

【分析】判斷一個(gè)二次三項(xiàng)式的符號(hào)，一般采用配方法.二次三項(xiàng)式配方的關(guān)鍵步驟如下：①提取二次項(xiàng)系數(shù)使括號(hào)內(nèi)的二次項(xiàng)系數(shù)為1；②在括號(hào)內(nèi)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，同時(shí)減去一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

解：

=

= = .

無(wú)論 取何值，代數(shù)式

的值都是正數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】二次三項(xiàng)式的配方過(guò)程與用配方法解一元二次方程的過(guò)程既有聯(lián)系又有區(qū)別，希望同學(xué)們引起足夠的重視.通過(guò)對(duì)二次三項(xiàng)式的配方，還可以求出二次三項(xiàng)式的最大值或最小值.如由 可得 ，從而本題中代數(shù)式 + 的最小值為3.

（作者單位：南師大第二附屬初級(jí)中學(xué)）