丁同嶺，王成江

(三峽大學(xué)電氣與新能源學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

1 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，信號的處理成了科學(xué)研究中的不可或缺的一部分，近些年，除了傳統(tǒng)的傅里葉變換外，小波分析也在信號處理中到了很廣泛的應(yīng)用。對于其性質(zhì)隨時(shí)間穩(wěn)定不變的信號，處理的理想工具仍然是傅立葉分析。但是在實(shí)際應(yīng)用中的絕大多數(shù)信號是非穩(wěn)定的，而特別適用于非穩(wěn)定信號的工具就是小波分析。在信號的采集過程中不可避免的含有噪聲，其中就包括白噪聲，噪聲嚴(yán)重地影響對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析，必須把數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，盡可能的消除噪聲的干擾。小波分析是在傅立葉分析的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，它既保持了傅立葉分析的優(yōu)點(diǎn)，又彌補(bǔ)了傅立葉分析的不足。與傅立葉分析相比，小波分析具有多分辨率的特點(diǎn)，它較好地解決了時(shí)域和頻域分辨率的矛盾，巧妙地利用了非均勻分布的分辨率，在低頻段用較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，而在高頻段則采用較低的頻率分辨率和較高的時(shí)間分辨率。因此利用小波變換時(shí)頻域的局部化性質(zhì)可以很好地獲得信號的局部化特性，對突變信號和非平穩(wěn)信號的檢測非常有效。研究表明，利用小波分析能有效地消除白噪聲。

2 Fourier分析方法

對很多信號來說，傅立葉分析能給出信號中包含的各種頻率成分。Fourier分析在信號分析處理中起著非常重要的作用，這是因?yàn)镕ourier分析能將信號的時(shí)域特性變換為頻域特性。分析時(shí)域信號f(t)，總是假定其能量有限，但Fourier分析有一定的局限性，用傅立葉變換提取信號的頻譜需要利用信號的全部時(shí)域信息，傅立葉變換沒有反映出隨著時(shí)間的變化信號頻率成分的變化情況，傅立葉變換的積分作用平滑了非平穩(wěn)信號的突變成分。

3 短時(shí)Fourier變換

假設(shè)f(t)為能量有限信號，則以g(t)作為窗函數(shù)的窗口傅立葉變換定義:

窗口傅立葉變換的物理意義:

若g(t)的有效窗口寬度為Dt，則WFg(w，b)給出的是f(t)在局部時(shí)間范圍[b－Dt/2，b+Dt/2]內(nèi)的頻譜信息。有效窗口寬度Dt越小，對信號的時(shí)間定位能力越強(qiáng)。

假設(shè) f(t)的傅里葉變換為 F(η)，gw，b(t)的傅里葉變換為 Gw，b(η)，則:

這是窗口傅里葉變換的頻域表示形式，窗口傅里葉頻域變換的物理意義為若G(η)的有效窗口寬度為Dω，則WFg(ω，b)給出的是F(η)在局部頻率范圍[ω－Dω/2，ω+Dω/2]內(nèi)的頻譜信息。有效窗口寬度Dω越小，對信號的頻率定位能力越強(qiáng)。由不確定性原理可知，窗口傅立葉變換的時(shí)間分辨率和頻率分辨率不可能同時(shí)提高，只能以一種分辨率的降低來換取另一種分辨率的提高。

4 小波變換

由于傅里葉分析方法和窗口傅里葉分析方法的局限性，小波變換得以產(chǎn)生和發(fā)展[1－5]，小波變換分為連續(xù)小波變換，離散參數(shù)小波變換和離散小波變換，其主要區(qū)別在于時(shí)間和控制窗口是否離散化。連續(xù)小波變換一般表示形式為:

其時(shí)域上的物理意義經(jīng)常被稱為數(shù)學(xué)顯微鏡的作用，即一組有效寬度的不同窗口的Fourier變換的匯集。在頻域上，若 f(t)的傅立葉變換為 F(w)，ψa，b的傅立葉變換為 ψa，b，則根據(jù) Parseval定理，有:

另外，對于連續(xù)小波變換，其時(shí)域窗口寬度和頻域窗口寬度的乘積為一個(gè)定值，這也被稱為恒Q性質(zhì)，也是小波變換區(qū)別于其他變換的重要特征，其示意圖如圖1所示。

圖1 A取不同值時(shí)小波變換對信號分析的時(shí)－頻區(qū)間

為了保證小波變換的逆變換存在，連續(xù)小波變換的母小波必須滿足容許條件[6]

為了便于計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，通過對時(shí)移參數(shù)和窗口寬度參數(shù)的離散化，我們得到了離散參數(shù)小波變換和離散小波變換，此處我們主要利用了離散小波變換來對信號進(jìn)行去噪的。小波在離散的過程中仍應(yīng)滿足連續(xù)小波變換中的容許條件。小波函數(shù)的選擇與離散化的程度有關(guān)系，離散化參數(shù)取樣間隔很小時(shí)對小波函數(shù)的限制也小，而離散化參數(shù)的取樣間隔很大是對小波函數(shù)的限制也會(huì)很大。由多變率分析和Mallat算法并借助于MATLAB我們可以迅速得到分解并改造函數(shù)的一種方法。

近年來，小波理論得到了非常迅速的發(fā)展，而且由于其具備良好的時(shí)頻特性，因而實(shí)際應(yīng)用也非常廣泛。在去噪領(lǐng)域中，小波理論也同樣受到了許多學(xué)者的重視，他們應(yīng)用小波進(jìn)行去噪并獲得了非常好的效果。具體來說小波去噪方法的成功主要得益于小波變換具有如下特點(diǎn)[7]:

(1)低熵性，小波系數(shù)的稀疏分布，使得圖象變換后的熵降低;

(2)多分辨率，由于采用了多分辨率的方法，所以可以非常好地刻畫信號的非平穩(wěn)特征，如邊緣、尖峰、斷點(diǎn)等;

(3)去相關(guān)性，因?yàn)樾〔ㄗ儞Q可以對信號進(jìn)行去相關(guān)，且噪聲在變換后有白化趨勢，所以小波域比時(shí)域更利于去噪;

(4)選基靈活性，由于小波變換可以靈活選擇變換基，從而對不同應(yīng)用場合，對不同的研究對象，可以選用不同的小波母函數(shù)，以獲得最佳的效果。

4.1 小波去噪模型的建立

為了更好的對比利用小波分解去除白噪聲前后的效果，選取利用MATLAB編程語言生成了幅值不同的方波信號作為此次研究的原始信號，然后加入噪聲強(qiáng)度已知的白噪聲作為干擾信號，通過小波分解的方法來盡可能的去除加入的白噪聲。小波分解通常通過以下幾個(gè)步驟來完成[8]:

(1)對已有的信號進(jìn)行小波分解

(2)合理的確定小波各層細(xì)節(jié)的閥值，來對得到的小波分解系數(shù)進(jìn)行閥值處理。

(3)通過小波逆變換對信號進(jìn)行重構(gòu)。

小波去噪的效果主要取決于小波分解的層數(shù)是否合適與小波各層細(xì)節(jié)閥值的確定是否合適。

4.2 小波層數(shù)的選擇

小波層數(shù)的選擇沒有固定的公式，一般根據(jù)經(jīng)驗(yàn)嘗試獲取，在一般情況下，隨著分解層數(shù)的增多，信號細(xì)節(jié)丟失越多，分解層數(shù)太少，對信號的信息獲取又太少。此處取的信號分解層數(shù)為3層或4層。

4.3 小波系數(shù)閥值的選取

(1)無偏估計(jì)原則:是一種基于 Stein無偏似然估計(jì)原理的自適應(yīng)閾值選擇。對于給定的閾值T，得到它的似然估計(jì)，再將似然T最小化，就得到了所選的閾值，這是一種軟件閾值估計(jì)。

(2)閥值原則:固定閾值T的計(jì)算公式:

其中，n是信號的長度。

(3)啟發(fā)式閥值原則:是無偏似然估計(jì)和固定閾值估計(jì)原則的折中。如果信噪比很小，按無偏似然估計(jì)原則處理的信號噪聲較大，在這種情況下，就采用固定閾值形式。

(4)極值閥值原則:采用極大極小值原理選擇閾值，它產(chǎn)生一個(gè)最小均方誤差的極值，而不是沒有誤差。統(tǒng)計(jì)學(xué)上，這種極值原理用來設(shè)計(jì)估計(jì)器。因?yàn)楸幌氲男盘柨梢钥醋髋c未知回歸函數(shù)的估計(jì)器相似，這種極值估計(jì)器可在給定的函數(shù)中實(shí)現(xiàn)最大均方誤差最小化。

4.4 軟閥值和硬閥值

在確定閾值后，可以采用硬閾值或軟閾值的處理方法對小波系數(shù)做閾值處理。硬閾值法只保留大于閾值的小波系數(shù)并將其他的小波系數(shù)置零，其表達(dá)式如下:

軟閾值法將小于閾值的小波系數(shù)置零，并把大于閾值的小波系數(shù)向零做收縮，其表達(dá)式如下:

硬閾值信號和軟閾值信號見圖2。

圖2 硬閥值與軟閥值

從圖中可以看出，硬閾值方法能夠保留更多真實(shí)信號中的尖峰特征，但在某些點(diǎn)上會(huì)產(chǎn)生間斷，而軟閾值方法是在硬閾值的基礎(chǔ)上將邊界出現(xiàn)的不連續(xù)點(diǎn)收斂到零，這樣可有效避免間斷，使得重建的信號比較光滑。

5 小波去噪的MATLAB仿真對比

原始信號與加完白噪聲之后的比較如圖3。

下圖顯示的分別是噪聲信號進(jìn)行小波分解后產(chǎn)生的近似系數(shù)和四個(gè)細(xì)節(jié)系數(shù)的波形圖，通過近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以得到小波系數(shù)，對小波系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)后得到對原信號的還原，這里不對細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行任何修改。

圖3 噪聲加入前后信號的比較

圖4 小波近似系數(shù)與細(xì)節(jié)系數(shù)

通過軟閥值法對信號處理前后的對比如圖如圖5:

圖5 軟閥值法處理前后信號的對比圖

圖6 硬閥值處理前后信號的對比圖

通過硬閥值處理前后噪聲信號的對比如圖6:

通過硬閥值和軟閥值處理的效果圖可以看出，硬閥值去噪和軟閥值去噪均能濾除大部分噪聲成分，但不能完全濾除，硬閥值去噪和軟閥值去噪的效果有所不同，經(jīng)過硬閥值處理得到的信號比較粗糙，但很好的保留了信號尖峰部分，而軟閥值處理則平滑了尖峰部分，使信號整體看起來比較平滑。

6 總結(jié)

通過運(yùn)用小波變換來去除白噪聲，對傅里葉、短時(shí)傅里葉、小波變換對比總結(jié)如下:

6.1 傅里葉變換

(1)首先傅里葉變換是周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開過程中周期由定值向無窮大變化的一個(gè)過程。

(2)傅里葉級數(shù)中各項(xiàng)系數(shù)例如cosx項(xiàng)系數(shù)是原函數(shù)與其在某一定義域內(nèi)的積分，我們可以將該過程理解為對這兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行相關(guān)，將相關(guān)系數(shù)作為該頻率處的強(qiáng)度。

(3)經(jīng)過傅里葉變換之后得到的是頻域的信息，時(shí)間信息完全丟失，但可以通過逆變換完全恢復(fù)原始信號。傅里葉逆變換同樣可以理解為相關(guān)，只是此時(shí)需保證變換時(shí)t不變，也就是計(jì)算某時(shí)刻不同頻率波形與傅里葉變換之后的頻域信號之間的相關(guān)，積分后得到該時(shí)刻各頻率分量在該時(shí)刻的總貢獻(xiàn)。

(4)從泛函的角度，我們可以把傅里葉級數(shù)中的三角函數(shù)看做一個(gè)線性函數(shù)空間的一個(gè)基，這里與線性代數(shù)里的線性空間有兩點(diǎn)不同，第一該處是函數(shù)空間，每個(gè)元素都是一個(gè)函數(shù)而不是一個(gè)數(shù)，第二這里是無限維空間，基有無限多個(gè)元素。

(5)傅里葉變換把信號的時(shí)域特征和頻域特征聯(lián)系在了一起，使我們可以從信號的時(shí)域和頻域兩個(gè)角度觀察和分析信號，但二者卻又是絕對分離的即在頻域不包含任何時(shí)域信息，在時(shí)域同樣找不到任何頻域信息，對于傅里葉頻譜中的某一頻率，無法知道這一頻率是何時(shí)產(chǎn)生的，只能從全局上分析信號。這樣在信號分析中就面臨著時(shí)域和頻域的局部化的矛盾。

6.2 短時(shí)傅里葉變換

由上敘述可知傅里葉變換之后的圖像僅包含頻域信息，丟失了時(shí)域信息，在那些同時(shí)需要頻域和時(shí)域信息的時(shí)候(在什么時(shí)候存在哪些頻率)就顯得無能為力，因此出現(xiàn)了短時(shí)傅里葉變換，短時(shí)傅里葉變換認(rèn)為在一個(gè)小的窗函數(shù)時(shí)間段內(nèi)信號是穩(wěn)定的，信號包含的頻率是不變的，利用一個(gè)窗口函數(shù)與原始函數(shù)卷積，在特定的時(shí)間僅計(jì)算該時(shí)間前后窗函數(shù)時(shí)間內(nèi)的信號的傅里葉變換作為該時(shí)間點(diǎn)的傅里葉變換，即該時(shí)刻的頻譜。

6.3 小波變換

而寬的窗口函數(shù)頻率分辨率高但時(shí)間分辨率低，低頻信號時(shí)間分辨率較低而頻率分辨率較高，這是由海森堡不確定原理所確定的。這樣便產(chǎn)生了小波，小波可以理解為是在短時(shí)傅里葉變換的基礎(chǔ)上對窗口函數(shù)增加了一個(gè)尺度因子，該尺度因子伴隨著頻度變換而變化，使得在低頻時(shí)降低窗口寬度增加時(shí)間分辨率而在高頻時(shí)增加窗口寬度增加頻率分辨率。而小波變換就不一樣了，具有多尺度特性，可以把頻率強(qiáng)度和位置時(shí)刻聯(lián)系起來，一定程度上解決了傅里葉分析的缺點(diǎn)，但這并不是說小波分析方法可以替代傅里葉和短時(shí)傅里葉分析方法。如果是單純進(jìn)行頻率域上面的分析，就沒有必要使用小波分析的方法，使用傅里葉方法更簡單，效果也更好一些。小波變換在使用過程中還用很多不確定性的問題，比如傅里葉變換的基函數(shù)是確定的，就是正弦和余弦函數(shù)，而小波變換的基函數(shù)則是可構(gòu)造的。這種不確定性就帶來了選擇基函數(shù)的困難性，需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和嘗試才能找到合適的基函數(shù)。還有文中提到的小波分解層數(shù)，小波閥值選取等等都具有不確定性，小波變換應(yīng)用的難點(diǎn)便在于如何確定這些不確定性參數(shù)。

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