吳朝陽
前幾期中我們所談的趣味數(shù)學(xué)話題都是古人的舊事,行文又不夠生動(dòng)活潑,我們擔(dān)心這會(huì)削弱一部分讀者的興趣。因此,盡管那些話題還沒有談完,還需要后續(xù)的文章繼續(xù)來談,我們還是想轉(zhuǎn)換方向,聊一聊看起來完全兩樣的話題。關(guān)于需要繼續(xù)深入的話題,我們打算以后再說。這樣,這個(gè)欄目的文章將會(huì)經(jīng)常在不同的話題間跳轉(zhuǎn),我們希望這樣的安排能照顧興趣點(diǎn)不同的讀者。
今天,我們來聊一聊所謂的“印度奇妙數(shù)組”。關(guān)于這種數(shù)組,我第1次知道是在2007年5月,當(dāng)時(shí)北京市陳經(jīng)綸中學(xué)的徐錦添同學(xué)指出了以下奇妙的事實(shí)。
(1)關(guān)于86~90這5個(gè)連續(xù)的2位數(shù)的奇妙事實(shí)
(2)關(guān)于956~968這13個(gè)連續(xù)的3位數(shù)的奇妙事實(shí)
以上2組連續(xù)正整數(shù),它們的平方數(shù)“對(duì)折”之后相加,所得的結(jié)果仍然是完全平方數(shù)。這,當(dāng)然是非常非常神奇的。
據(jù)說以上的第2組數(shù)是印度人發(fā)現(xiàn)的,后來它相對(duì)經(jīng)常地被稱為“印度奇妙數(shù)組”。徐同學(xué)利用計(jì)算機(jī)編程,給出了4位數(shù)、5位數(shù)等多位數(shù)的同樣奇妙的連續(xù)數(shù)字串,并且根據(jù)計(jì)算給出了這類印度奇妙數(shù)組起訖數(shù)的估計(jì)公式,但是沒有對(duì)他估計(jì)的公式給出證明。
我讀到徐同學(xué)的估計(jì)公式后很快給出了一個(gè)證明,并且在當(dāng)年6月即公布于南京大學(xué)的小百合。很讓人高興的是,這個(gè)證明不僅有趣,而且可以讓我們學(xué)到一些思考問題的方法。下面,我們就來說一說這個(gè)證明——我們把印度奇妙數(shù)組中的數(shù)稱為“奇妙數(shù)”。
問題:假設(shè)
我們以上問題中的假設(shè)(05)是根據(jù)本篇開頭的印度奇妙數(shù)組的性質(zhì)而添加的,因此滿足這條假設(shè)的奇妙數(shù)符合以上公式。但是,不滿足假設(shè)(05)而滿足假設(shè)(01)-(04)的奇妙數(shù)是存在的,它們有些是零星的,有些形成很短的連續(xù)串。典型的短串是由2個(gè)奇妙數(shù)組成的,不妨稱之為“孿生奇妙數(shù)”。最小的一組孿生奇妙數(shù)是49和50。構(gòu)成一組孿生奇妙數(shù),49和50是這種孿生奇妙數(shù)中最小的一對(duì)。那么,此外還有沒有孿生奇妙數(shù)或者其他形式的“短串”?零星奇妙數(shù)的出現(xiàn)有沒有什么規(guī)律?這些問題沒有簡(jiǎn)單的答案,但是有一點(diǎn)可以肯定:不滿足假設(shè)(05)的奇妙數(shù)組都非常短。
很顯然,印度奇妙數(shù)組可以看成是公差等于1并且滿足“平方對(duì)折之和為平方數(shù)”性質(zhì)的有限等差數(shù)列。我們最后在此指出:假如將公差大干1的且?!捌椒綄?duì)折之和為平方數(shù)”性質(zhì)的有限等差數(shù)列稱為“廣義印度奇妙數(shù)組”,我們將找到公差為3、9、11、100等很多有趣的數(shù)串——其中幾個(gè)可見本文插圖。