《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)（A版）》（簡(jiǎn)稱“人教A版”）主編寄語(yǔ)寫到：數(shù)學(xué)是自然的，在這套教科書(shū)中出現(xiàn)的內(nèi)容，是在人類長(zhǎng)期的實(shí)踐中經(jīng)過(guò)千錘百煉的數(shù)學(xué)精華和基礎(chǔ)，其中的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的.如果有人感到某個(gè)概念不自然，是強(qiáng)加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過(guò)程，它的應(yīng)用，以及它與其它概念的聯(lián)系，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味，這將有助于大家的學(xué)習(xí).但是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，在數(shù)學(xué)知識(shí)的呈現(xiàn)上顯得不夠自然，即使是現(xiàn)行的教材也存在許多“數(shù)學(xué)規(guī)定”，顯得蠻不講理，這些都將對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生較大的影響.基于上述原因，筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師要不斷追求數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)的自然性，讓學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想彰顯“自然”本色.本文列舉概念產(chǎn)生、問(wèn)題解決等八個(gè)方面的片段教學(xué)設(shè)計(jì)，探析如何在教材的基礎(chǔ)上通過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)使數(shù)學(xué)知識(shí)的呈現(xiàn)更顯自然.1展現(xiàn)背景，讓概念產(chǎn)生是自然的

概念不是憑空產(chǎn)生的想象物，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性概念一般都具有現(xiàn)實(shí)原型和產(chǎn)生背景，比如無(wú)理數(shù)、復(fù)數(shù)的產(chǎn)生都是在原有數(shù)系內(nèi)解方程無(wú)解的背景下產(chǎn)生的，向量是在力、速度等一些現(xiàn)實(shí)原型的基礎(chǔ)上抽象出來(lái)的概念；教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要善于將概念的背景和現(xiàn)實(shí)原型展現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生感受到概念產(chǎn)生的自然.

例如在周期函數(shù)與周期的概念，人教A版必修4第34頁(yè)是這樣描述的：正弦函數(shù)值具有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，這一點(diǎn)可以從正弦線的變化規(guī)律中看出，還可以從誘導(dǎo)公式sin（x+2kπ）=sinx（k∈Z）中得到反映，數(shù)學(xué)上，用周期性這個(gè)概念來(lái)定量地刻畫這種“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f（x+）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的周期.那“周而復(fù)始”的變化規(guī)律在自然界中存在嗎？可以通過(guò)函數(shù)來(lái)刻畫嗎？為什么要在三角函數(shù)的背景下學(xué)習(xí)周期函數(shù)？這些過(guò)程展現(xiàn)不夠，導(dǎo)致周期與周期函數(shù)的概念產(chǎn)生略顯不自然，教師在這個(gè)片段的教學(xué)設(shè)計(jì)中要圍繞這些問(wèn)題展開(kāi)，首先通過(guò)生活中的實(shí)例引出“周而復(fù)始”的現(xiàn)實(shí)原型，比如月亮圓缺變化，每年的四季更替，潮起與潮落等，讓學(xué)生充分感知生活中存在大量“周而復(fù)始”現(xiàn)象；其次，我們知道函數(shù)是刻畫客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，這種變化規(guī)律照樣可以通過(guò)函數(shù)來(lái)刻畫，那么如何刻畫呢？再次，由于角α的終邊繞坐標(biāo)原點(diǎn)每旋轉(zhuǎn)一周得到的角的終邊與角α的終邊相同，他們的同名三角函數(shù)值也相同，這是具體函數(shù)（三角函數(shù)）的“周而復(fù)始”現(xiàn)象.此時(shí)，周期函數(shù)與周期的概念呼之欲出、水到渠成.2揭示本質(zhì)，讓定義下得更自然

所謂下定義，就是用簡(jiǎn)潔明確的語(yǔ)句提示概念的內(nèi)涵，即揭示概念所反映對(duì)象的特點(diǎn)或本質(zhì)的一種邏輯方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，往往需要給概念下定義，但有些定義由于缺乏本質(zhì)的揭示，顯得很不自然，強(qiáng)加于人.比如人教A版選修2-1第44頁(yè)橢圓離心率的定義：我們把橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比ca稱為橢圓的離心率，那么為什么一定要用ca來(lái)定義橢圓的離心率而不用ba呢？其實(shí)橢圓的離心率可以形象地理解為焦點(diǎn)離開(kāi)中心的程度，離心率越大越“象”橢圓，因而用ca來(lái)定義橢圓的離心率比較合理、自然.又比如人教A版選修2-1第112頁(yè)這樣給平面的法向量下定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a請(qǐng)據(jù)字符數(shù)改字號(hào)叫做平面α的法向量，為什么要取與平面垂直的直線的方向向量（即與平面垂直的向量）作為平面的法向量？不與平面垂直的向量為什么就不能定義為平面的法向量呢？可見(jiàn)這又是一個(gè)強(qiáng)加于人的定義，因此教師在平面法向量的片段教學(xué)設(shè)計(jì)中，要盡量展現(xiàn)各個(gè)方向的向量，讓學(xué)生充分體驗(yàn)同垂直于一平面的向量互相平行，可以確定平面的“方向”，而其它方向上的向量則不行，這樣把與平面垂直的向量定義為平面的法向量就顯自然.3創(chuàng)設(shè)情境，讓問(wèn)題的提出是自然的

愛(ài)因斯坦曾說(shuō)：“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更為重要，因?yàn)樘岢鲂碌膯?wèn)題，需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力，標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步”.在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師往往會(huì)預(yù)設(shè)許多問(wèn)題讓學(xué)生解決，但這些問(wèn)題因何提出，如何提煉，學(xué)生渾然不知，顯得不自然，強(qiáng)加于人，更談不上培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的能力；所以教師在教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中要精于創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在不知不覺(jué)中發(fā)現(xiàn)、提出、提煉問(wèn)題，不僅顯得自然，而且培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題能力.人教A版必修2第54頁(yè)《直線與平面平行的判定》章節(jié)中有一個(gè)觀察情景，將一本書(shū)平放在桌面上，翻動(dòng)書(shū)的封面，封面邊緣AB所在直線與桌面所在平面具有什么樣的位置關(guān)系，該情境與書(shū)中后面提出的問(wèn)題明顯脫節(jié)，如下改進(jìn)后便可讓問(wèn)題自然出現(xiàn)：由觀察可知邊緣AB所在直線與桌面所在平面平行，為什么邊緣AB在不同的位置都可以保證與桌面所在平面平行呢？源于邊緣AB總與封面的另一個(gè)邊緣平行，從而很自然地提出一個(gè)一般化的問(wèn)題：若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則直線與平面是否平行？又如人教A版必修4第124頁(yè)《兩角差的余弦公式》章頭中給的情境是求tan（45°+α）的值，而提出的問(wèn)題是如何用角α、β的正弦、余弦值來(lái)表示cos（α-β）呢？問(wèn)題與情境脫節(jié)，如果將教材中的情境改為求cos（60°-45°）的值，那又如何求得cos（60°-45°）呢？如果從一般性的角度來(lái)看就是研究什么問(wèn)題呢？經(jīng)過(guò)交流與討論，提煉出問(wèn)題：cos（α-β）與α、β的正弦、余弦值有什么關(guān)系？4探求聯(lián)系，讓方法的產(chǎn)生是自然的

問(wèn)題解決是當(dāng)前課堂教學(xué)中教師最為關(guān)注一個(gè)環(huán)節(jié).但教師平時(shí)比較看重傳授解決問(wèn)題的方法而輕分析怎樣想到用這種方法，從而導(dǎo)致問(wèn)題解決方法的產(chǎn)生太突然，也導(dǎo)致問(wèn)題解決不自然.那如何讓方法產(chǎn)生更自然呢？筆者認(rèn)為確立目標(biāo)、探求聯(lián)系最為關(guān)鍵.比如人教A版必修5第55頁(yè)應(yīng)用錯(cuò)位相減法探求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，錯(cuò)位相減法的適用范圍明確，解法步驟簡(jiǎn)單，思維也很清楚，學(xué)生容易理解，但實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師通常“硬生生”地直接給學(xué)生，或者說(shuō)是“灌進(jìn)去”，學(xué)生對(duì)錯(cuò)位相減法從何來(lái)感到比較突然，似乎從天而降，只知其然而不知其所以然.如何讓錯(cuò)位相減法的產(chǎn)生顯自然呢？（1）求等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的目標(biāo)就是將n用等比數(shù)列的基本量a1、q表示，那如何a1、q表示n？構(gòu)造方程是最根本的想法；（2）n=a1+a1q+a1q2+…+a1qn構(gòu)造成關(guān)于n的方程，n=a1+q（a1+a1q+…+a1qn-2+a1qn-1）-a1qn=a1+qn-a1qn，所以n-qn=a1-a1qn，從而得到等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；（3）從n-qn=a1-a1qn的結(jié)構(gòu)來(lái)看，只需構(gòu)造n-qn即可，而這就是錯(cuò)位相減法的框架結(jié)構(gòu).此時(shí)錯(cuò)位相減法從何來(lái)顯得自然；再如人教A版必修4第125頁(yè)《兩角差的余弦公式》通過(guò)銳角三角函數(shù)線的關(guān)系得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ后，又如何想到應(yīng)用向量的數(shù)量積來(lái)證明對(duì)任意角都成立呢？源于cosαcosβ+sinαsinβ與向量的數(shù)量積公式a·b=x1y1+x2y2形式相近，而且α、β的終邊與單位圓的交點(diǎn)可表示為（cosα，sinα），（cosβ，sinβ），如此設(shè)計(jì)就使應(yīng)用向量的數(shù)量積求證兩角差的余弦公式顯得自然.5講些道理，讓“數(shù)學(xué)規(guī)定”顯自然

在數(shù)學(xué)中，相關(guān)“規(guī)定”比較多，但在現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教材中，很少有對(duì)“規(guī)定”過(guò)多解釋，對(duì)于有些規(guī)定為什么是這樣？教師擔(dān)心自己講不清楚，怕越說(shuō)學(xué)生越糊涂，還有一種想法就是覺(jué)得沒(méi)必要向?qū)W生說(shuō)，理由是說(shuō)與不說(shuō)對(duì)教學(xué)效果沒(méi)有影響；但從“數(shù)學(xué)是自然的”的理念來(lái)看，這些“數(shù)學(xué)規(guī)定”的出現(xiàn)與理念相悖，因此教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要講些為什么這么“規(guī)定”的道理，讓“數(shù)學(xué)規(guī)定”顯自然；例如人教A版必修1第54頁(yè)這樣給指數(shù)函數(shù)下定義：一般地，函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，那為什么規(guī)定a>0，且a≠1呢？教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)可以這樣講道理，當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)的定義域不確定，當(dāng)a=0時(shí)，自變量x=0時(shí)無(wú)意義，且不具備太多的研究?jī)r(jià)值，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)值恒等于1，研究的意義不大；再比如人教A版必修5基本不等式ab≤a+b2（a>0，b>0），其實(shí)a=0或b=0也是可以的，但為什么要規(guī)定a>0，b>0，在設(shè)計(jì)時(shí)可以這樣分析，當(dāng)a=0或b=0，不等式顯然成立，沒(méi)有太大的研究空間，同時(shí)也與正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的定義不相吻合；也許教師講的道理不太到位，但足以讓這些“數(shù)學(xué)規(guī)定”顯自然，也培養(yǎng)了學(xué)生的問(wèn)題意識(shí).6巧設(shè)導(dǎo)語(yǔ)，讓課堂環(huán)節(jié)的過(guò)渡是自然的

數(shù)學(xué)課堂的每一個(gè)環(huán)節(jié)既相對(duì)獨(dú)立又緊密聯(lián)系，環(huán)節(jié)與環(huán)節(jié)之間需要一種自然地、內(nèi)在邏輯的過(guò)渡，讓后一個(gè)環(huán)節(jié)因前一個(gè)環(huán)節(jié)自然而生；但在實(shí)際教學(xué)中，環(huán)節(jié)之間的過(guò)渡顯得強(qiáng)加于人，后一個(gè)環(huán)節(jié)往往從天而降，不知緣何而來(lái)；通過(guò)巧設(shè)導(dǎo)語(yǔ)能讓各個(gè)環(huán)節(jié)之間自然過(guò)渡，使多個(gè)環(huán)節(jié)組成的數(shù)學(xué)課堂成為有機(jī)的整體，從而在學(xué)生思維與教材邏輯之間架設(shè)橋梁，啟發(fā)學(xué)生思維、激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).比如人教A版必修5《基本不等式》這節(jié)課，在基本不等式ab≤a+b2的證明環(huán)節(jié)結(jié)束后如何過(guò)渡到幾何解釋環(huán)節(jié)呢？可用華羅庚的詩(shī)句“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”作為導(dǎo)語(yǔ)進(jìn)行過(guò)渡，使研究基本不等式的幾何解釋環(huán)節(jié)成為自然；又比如人教A版必修4《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》這節(jié)課，在學(xué)習(xí)完誘導(dǎo)公式二、三、四及其應(yīng)用后，根據(jù)角π+α，-α，π-α的終邊與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸對(duì)稱可得到誘導(dǎo)公式二、三、四，那與角α終邊關(guān)于y=x對(duì)稱的角如何表示呢？根據(jù)對(duì)稱關(guān)系又能得到什么樣的公式呢？如此設(shè)計(jì)導(dǎo)語(yǔ)，就能自然地過(guò)渡到學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式五這個(gè)環(huán)節(jié).教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要有設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)之間過(guò)渡導(dǎo)語(yǔ)的意識(shí)，至于如何巧設(shè)導(dǎo)語(yǔ)，那需要教師長(zhǎng)期的積累，并作為一門藝術(shù)來(lái)追求.7注重分析，讓解題方法的形成是自然的

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)：“掌握數(shù)學(xué)意味著什么？這就是說(shuō)善于解題”.解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，在平時(shí)的解題教學(xué)中，由于對(duì)解題過(guò)程的分析與體驗(yàn)不夠，導(dǎo)致解題方法的形成往往顯得強(qiáng)加于人、不自然，學(xué)生日后遇到同一類問(wèn)題也聯(lián)想不到這類問(wèn)題的解題方法，因此教師在進(jìn)行解題教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要將設(shè)計(jì)的重心放在如何分析問(wèn)題上，讓各種解題方法自然形成，而不是去介紹解題方法.比如人教A版必修5第45頁(yè)例4，已知等差數(shù)列5，427，347，…的前n項(xiàng)和為n，求使得n最大的序號(hào)n的值，由于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)，很自然想到應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解，本題也可以從另外一個(gè)角度來(lái)分析，該等差數(shù)列是遞減數(shù)列，若能找到一個(gè)n，使得第n項(xiàng)大于等于0，第n+1項(xiàng)小于0，便找到了使n最大的序號(hào)n的值，很自然地想到從等差數(shù)列的通項(xiàng)公式出發(fā)，解不等式組an≥0、an+1<0，從而得到n的值.8掌握策略，讓知識(shí)的拓展是自然的

在平時(shí)的教學(xué)中，教師在講完概念、公式、定理、習(xí)題后都會(huì)根據(jù)教學(xué)與學(xué)生的需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣?，不僅豐富了知識(shí)的內(nèi)涵與外延，更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)；至于怎么拓展、為什么這么拓展，學(xué)生渾然不知，被教師牽著鼻子走，知識(shí)的拓展略顯不自然.那如何讓知識(shí)的拓展更自然呢？甚至能達(dá)到學(xué)生自我拓展的境界？首先，教師在平時(shí)的教學(xué)中要讓學(xué)生樹(shù)立拓展的意識(shí)；其次要教會(huì)學(xué)生拓展的策略，比如改變條件、延展結(jié)論、條件與結(jié)論互換、歸納類比等.比如人教A版必修1零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0.

延展結(jié)論：y=f（x）是連續(xù)函數(shù)，若f（a）·f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有幾個(gè)零點(diǎn)？

改變條件：y=f（x）是連續(xù)函數(shù)，若f（a）·f（b）>0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)是否有零點(diǎn)？有幾個(gè)零點(diǎn)？

條件與結(jié)論互換：y=f（x）是連續(xù)函數(shù)，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，那么是否有f（a）·f（b）<0？

實(shí)踐證明，通過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)能讓數(shù)學(xué)知識(shí)的呈現(xiàn)顯自然，教師在教學(xué)過(guò)程中要精于教學(xué)設(shè)計(jì)，追求更自然、更合理的數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)過(guò)程，這必將促進(jìn)學(xué)生良好思維習(xí)慣的形成，提高學(xué)生思維的深刻性和流暢性.

參考文獻(xiàn)

[1]陳中峰.關(guān)注過(guò)程揭示促進(jìn)有序建構(gòu)知識(shí)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013，12：10-11.

[2]課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]溫建紅、李春霞.論“數(shù)學(xué)規(guī)定”的教學(xué)策略[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013，11：9-10.

[4]魏韌.追求自然樸實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2014，11：16-18.

作者簡(jiǎn)介王神華，1972年6月，男，中學(xué)高級(jí)教師，特級(jí)教師，全國(guó)優(yōu)秀教師，福建省中小學(xué)學(xué)科教學(xué)帶頭人，寧德市民族中學(xué)副校長(zhǎng)，主管教學(xué)教研.