曾小勇，彭輝，吳軍

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基于RBF-ARX模型的改進多變量預測控制及應用

曾小勇1, 2，彭輝1，吳軍1

(1. 中南大學信息科學與工程學院，湖南長沙，410083；2. 長沙理工大學電氣與信息工程學院，湖南長沙，410076)

針對一類工作點時變的光滑非線性多變量被控對象，采用離線辨識的RBF-ARX模型描述系統(tǒng)的全局非線性動態(tài)特性，并在此基礎上提出一種具有自適應微分作用的非線性模型預測控制方法。該方法將整個預測時域內(nèi)模型輸出和期望輸出的偏差變化率考慮到優(yōu)化目標中，利用與偏差變化率有關的函數(shù)動態(tài)修改該優(yōu)化項的權重,從而能在保證控制器穩(wěn)態(tài)性能的情況下有效地改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。最后利用該方法對四旋翼飛行器實驗裝置進行了實際的姿態(tài)控制，控制效果驗證該方法的有效性。

RBF-ARX模型；非線性模型預測控制；四旋翼飛行器

非線性模型預測控制(NMPC)由于突破了傳統(tǒng)控制策略的束縛，能有效處理工業(yè)過程中普遍存在的非線性現(xiàn)象和系統(tǒng)約束，而受到控制工程界和理論界的廣泛關注[1?2]。NMPC是一種基于預測模型的優(yōu)化控制算法，對于工業(yè)過程中存在的各類非線性對象，采用線性化建模方法[3?4]難以完整描述工業(yè)現(xiàn)場大量存在的強非線性特性；而直接非線性建模[5?8]通常都包含有高階的在線非線性優(yōu)化問題，對于實時性要求較高的實際工業(yè)對象很難取得滿意的控制效果。因此，近年來大量的研究和應用都側(cè)重于利用組合預測模 型[9?14]。該類方法將被控對象分解為非線性和線性空間，使整個系統(tǒng)具有局部線性全局非線性的特性，便于實現(xiàn)離線設計，在線綜合的預測控制算法，可大幅降低在線計算量，有利于在實際工業(yè)現(xiàn)場的應用。PID控制器由于其簡單的反饋控制結構仍廣泛應用于工業(yè)現(xiàn)場中，將PID控制思想與預測控制算法相結合可進一步提高預測控制器的性能。文獻[15?16]提出了一種比例積分型一步預測控制方法，并通過算例仿真結果說明了該方法的優(yōu)越性，但由于未涉及到對象的建模，忽略了建模誤差對預測控制結果的影響，這在實際工業(yè)控制中將影響控制器的性能。本文作者針對一類工作點時變的光滑非線性多變量被控對象，采用狀態(tài)相依自回歸(SD-ARX)模型描述系統(tǒng)的非線性狀態(tài)特征，用高斯徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡近似SD-ARX模型的函數(shù)型系數(shù)，在遞推得出以狀態(tài)信號量引導的多步狀態(tài)空間預測模型的基礎上，結合傳統(tǒng)的多步模型預測控制策略，將整個預測時域內(nèi)模型輸出和期望輸出的偏差變化率考慮到優(yōu)化目標中，相當于對偏差的微分也進行優(yōu)化控制。為了減少建模誤差對控制器穩(wěn)態(tài)誤差的影響，在優(yōu)化過程中根據(jù)偏差變化率的信息動態(tài)調(diào)整其權重系數(shù)，從而能在保證控制器穩(wěn)態(tài)性能不變的情況下有效地抑制由于系統(tǒng)慣性和輸入時滯所帶來的超調(diào)，縮短調(diào)節(jié)時間，改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。最后，利用該方法對四輸入三輸出的四旋翼飛行器實驗裝置的飛行姿態(tài)進行實際控制，控制結果驗證了該方法的有效性。

1 非線性對象模型

1.1 非線性對象描述

對于工業(yè)過程中大量存在的非線性現(xiàn)象，建模的主要問題就是構建如下一個函數(shù)：

其中：()為輸出；()為輸入；a和b分別為輸出輸入階次；()為白噪聲序列。

其中：和=dim((?1))分別為RBF網(wǎng)絡的節(jié)點數(shù)和中心維數(shù)；和為RBF網(wǎng)絡描述的狀態(tài)相依ARX模型函數(shù)系數(shù)；和分別為RBF網(wǎng)絡的中心和寬度；，和，分別為RBF網(wǎng)絡的閥值和線性權重；為向量的2范數(shù)；為白噪聲序列。利用Peng等[17]提出的結構化非線性參數(shù)優(yōu)化方法(SNPOM)離線估計模型參數(shù)。在實時控制中，模型(3)通過狀態(tài)信號量的更新來實時反映被控對象的動態(tài)特性。狀態(tài)信號量通常是選取最能反映被控對象動態(tài)特性的動態(tài)變量，所以它可能是與輸入或輸出有直接或間接的關系，在某些時候也可能就是輸入與輸出的組合或是其他相關信號量。當該狀態(tài)量為固定值時，狀態(tài)相依ARX模型就可以衍變成為一個ARX模型，因為系統(tǒng)狀態(tài)信號量的變化，狀態(tài)相依ARX模型能隨時在不同的局部子空間內(nèi)進行即時平滑的轉(zhuǎn)換，從而使得狀態(tài)相依ARX模型具有全局有效的特性。

1.2 狀態(tài)相依ARX模型的狀態(tài)空間描述

將模型(3)變換成如下矩陣多項式形式：

由此可根據(jù)模型(4)可定義如下的狀態(tài)變量：

(5)

根據(jù)模型(3)或模型(4)和定義的狀態(tài)變量式(5)可推出對象的狀態(tài)空間模型為

其中：

特別指出的是，通過狀態(tài)變量式(5)的定義，當前時刻的狀態(tài)()可以由過去時刻的狀態(tài)、輸入輸出數(shù)據(jù)以及估計的狀態(tài)相依ARX模型的系數(shù)計算得到，不需要再使用狀態(tài)觀測器估計當前時刻的狀態(tài)。

1.3 遞推多步狀態(tài)空間預測模型

模型(3)，(4)和(6)可認為是一步預測模型，為了得到非線性對象的多步預測模型，定義如下向量：

式中：和N分別為預測時域和控制時域，且滿足≥N，從N到時域內(nèi)認為輸入為N時刻的輸入并保持不變；和()分別為時刻帶模型預測輸出序列和期望輸出序列，通常，期望輸出序列即參考軌跡為當前時刻期望值()的柔化序列：

定義系統(tǒng)的多步預測模型的狀態(tài)空間描述為

式中：

(13)

2 改進的非線性模型預測控制

傳統(tǒng)的非線性模型預測控制策略一般將非線性預測模型作為控制器的內(nèi)模，將當前時刻的最優(yōu)輸入問題轉(zhuǎn)化為某個有限預測時域內(nèi)模型輸出和期望輸出的偏差最小的優(yōu)化問題，同時根據(jù)模型輸出和實際輸出的歷史偏差信息對預測模型進行反饋校正，并在下一個采樣周期向前滾動優(yōu)化。通常將模型預測控制的目標函數(shù)定義為

(17)

其中：，1和2為權重對角陣；()和分別為時刻優(yōu)化的控制序列和控制增量序列。設置控制加權陣1和2是為了減少對被控對象過大的沖擊，一般情況下，加大其權重可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但同時也減弱了控制作用，還可能增大系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，一般的做法是在系統(tǒng)能夠穩(wěn)定的情況下，應使其權重盡可能的小。

優(yōu)化控制的目的是為了找到一個控制量使得被控對象的性能滿足要求，調(diào)節(jié)式(17)中的權重系數(shù)和輸出期望序列()可均衡控制系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，也就是說，某個較好的控制性能指標通常是以犧牲其他性能指標為代價的。特別對于一些復雜的實際工業(yè)對象，如何在保證控制器穩(wěn)態(tài)性能不變的情況下有效地抑制由于系統(tǒng)慣性和輸入時滯所帶來的超調(diào)，縮短調(diào)節(jié)時間，改善系統(tǒng)的動態(tài)性能顯得尤為重要。根據(jù)PID的控制思想，輸出偏差微分項的引入可有效改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。由此，改進型模型預測控制的目標函數(shù)定義為

定義當前時刻模型預測輸出序列和期望輸出序列的偏差序列為

將式(21)變形為

可得到改進型的非線性模型預測控制目標函數(shù)為

(23)

式中：為偏差變化率的權重對角陣。

需要特別說明的是：

2) 由式(23)可以看出：優(yōu)化的目標是期望獲得一組()使得()和，之間的偏差最小，在系統(tǒng)的動態(tài)過程中，可理解為對期望序列的在線修正，以幫助系統(tǒng)提前動作，減少系統(tǒng)的超調(diào)量，縮短調(diào)節(jié)時間。

3) 在系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后，如果預測模型能準確地描述系統(tǒng)，即對象實際輸出等同于模型預測輸出，系統(tǒng)不存在穩(wěn)態(tài)偏差，即在系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后，，式(23)等同式(17)，可見，輸出偏差變化率的引入在改善系統(tǒng)的動態(tài)性能的同時不會影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。但由于實際系統(tǒng)的復雜，不可避免的存在模型失配，使得系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)偏差，此時輸出偏差變化率的引入可能導致穩(wěn)態(tài)偏差的加大，為了消除偏差變化率對穩(wěn)態(tài)偏差的影響，可將其權重系數(shù)定義為模型預測輸出序列和期望輸出序列的偏差變化率的函數(shù)。在動態(tài)過程中，是與系統(tǒng)動態(tài)特性相關的常數(shù)，此時偏差變化率權重較大，可有效改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，當系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后，將趨向于0，偏差變化率權重也將趨向于0，從而保證偏差變化率的引入在改善系統(tǒng)動態(tài)性能后不影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差。

將式(10)進行如下變換，

則可將式(23)轉(zhuǎn)化為標準的二次規(guī)劃形式：

(25)

其中：

是和輸入變量數(shù)有關的常數(shù)項矩陣。

式(25)的求解是一個非線性在線優(yōu)化問題，可通過二次規(guī)劃相關方法進行優(yōu)化，當不考慮式(25)的約束條件時，可直接對輸入進行求導限幅，求得輸入序列為

對于優(yōu)化得到的輸入序列，僅使用最新時刻的輸入作為控制輸入。

3 應用研究

3.1 對象描述

圖1所示為四旋翼飛行器物理結構圖。為了驗證本文方法的有效性和可行性，選取實驗室基于物理模型的二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)器(LQR)控制的四旋翼飛行器姿態(tài)控制實驗裝置(如圖１所示)為被控對象，四旋翼飛行器是一個四輸入三輸出的非線性帶耦合對象，4個輸入分別是對4個螺旋槳提供動力的電機電壓，約束為[?20 V，20 V]，3個輸出分別為繞軸旋轉(zhuǎn)的俯仰角、繞軸旋轉(zhuǎn)的翻轉(zhuǎn)角和繞軸旋轉(zhuǎn)的巡航角。

(a) 實物圖；(b) 力學坐標圖

3.2 對象模型

(a) 俯仰角；(b) 翻轉(zhuǎn)角；(c) 巡航角

(a) 俯仰角；(b) 翻轉(zhuǎn)角；(c) 巡航角

從圖2和3可以看出：狀態(tài)相依ARX模型具有較好的建模效果，模型預測輸出很好的擬合了實際輸出，預測誤差近似白噪聲信號且總體在很小的范圍內(nèi)變動。

3.3 實時控制效果及分析

確定預測時域=30，控制時域N=10，柔化因子=0.1，線性權重對角陣為，且在每個預測時域內(nèi)保持不變。為了驗證改進型非線性模型預測控制方法的改進效果，在保持其他參數(shù)不變的情況下，將模型預測輸出序列和期望輸出序列的偏差變化率考慮到優(yōu)化目標中，為了保證偏差變化率的引入在改善系統(tǒng)的動態(tài)性能的同時不影響穩(wěn)態(tài)性能，式(18)中權重對角陣的動態(tài)調(diào)整非常關鍵，本文將其取為關于第1個預測時域的偏差變化率的函數(shù)，(式中：分別為3個輸出偏差變化率絕對值的均值)。

圖4所示為傳統(tǒng)非線性模型預測控制(實線)和改進型非線性模型預測控制(點線)的階躍響應曲線。由于四旋翼飛行器狀態(tài)是飛行器的水平狀態(tài)，這一狀態(tài)是十分敏感的，小幅的波動都將使其從這一狀態(tài)滑落，這一狀態(tài)的改變最能體現(xiàn)控制器的控制效果。由圖4可知：改進的方法在減少系統(tǒng)超調(diào)和縮短調(diào)節(jié)時間的同時沒有增加系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差。另外由于飛行器的巡航角具有較大的偏差變化率加權，使得其上升緩慢，但動態(tài)性能也優(yōu)于傳統(tǒng)非線性模型預測控制器。

(a) 俯仰角；(b) 翻轉(zhuǎn)角；(c) 巡航角

圖5所示為改進型非線性模型預測控制階躍響應對應的輸入曲線，4個輸入都很好地約束在[?20 V，20 V]內(nèi)。圖6所示為用于動態(tài)調(diào)整偏差變化率加權的第1個預測時域內(nèi)的模型輸出和期望輸出偏差變化率曲線。由圖6可知：當系統(tǒng)處于動態(tài)變化過程時，偏差變化率較大，而當系統(tǒng)過渡到穩(wěn)態(tài)時，偏差變化率趨向于0，從而保證了偏差變化率的引入在改善系統(tǒng)動態(tài)特性的同時不影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。

(a) Vf；(b) Vr；(c) Vl；(d) Vb

(a) 俯仰角；(b) 翻轉(zhuǎn)角；(c) 巡航角

由于本文采用離線的結構化非線性參數(shù)優(yōu)化方法估計模型參數(shù)，采用Ｃ語言編制程序，并在算法上盡量進行了簡化，使得復雜的非線性預測控制策略得以在50 ms的控制周期內(nèi)實現(xiàn)。

4 結論

對一類工作點時變的多變量非線性系統(tǒng)提出了一種改進型的非線性模型預測控制方法，該方法將模型預測輸出和期望輸出的偏差變化率引入到滾動優(yōu)化中，同時利用與偏差變化率有關的函數(shù)動態(tài)修改該優(yōu)化項的權重，使得該方法在保證系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的情況下有效改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，利用該方法對四旋翼飛行器實驗裝置進行實時控制，取得了比傳統(tǒng)的非線性模型預測控制算法更好的控制效果。

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An improved multivariable RBF-ARX model-based nonlinear model predictive control approach and application

ZENG Xiaoyong1, 2, PENG Hui1, WU Jun1

(1. School of Information Science and Engineering, Central South University, Changsha 410083, China; 2. School of Electrical and Information Engineering, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410076, China)

For a class of smooth nonlinear multivariable systems whose working-points vary with time, a Gaussian radial basis function (RBF) neural networks-based local linearization autoregressive with exogenous (ARX) model was built to describe the system’s global behavior, and an improved nonlinear model predictive control (NMPC) method with adaptive differential effect based on RBF-ARX model identified offline was presented. Difference from conventional NMPC, the differential of errors between model outputs and designed outputs in whole prediction horizon were considered and their weights were adapted by functions of themselves in each optimization process, thus the controller can improve dynamic performance when the steady-state performance is ensured. A case study on a quadrotor for its real attitude control indicates that the proposed method is effective.

RBF-ARX model; nonlinear model predictive control; quadrotor

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.10.022

TP 273

A

1672?7207(2015)10?3710?08

2015?03?10；

2015?06?19

國家自然科學基金資助項目(71271215，71221061)；國家國際科技合作計劃項目(2011DFA10440)；湖南省教育廳項目(12C0021)(Projects (71271215, 71221061) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (2011DFA10440) supported by the International Science & Technology Cooperation Program of China; Project (12C0021) supported by the Hunan Provincial Education Department)

彭輝，教授，博士生導師，從事復雜非線性系統(tǒng)的建模與優(yōu)化控制；E-mail：huipeng@csu.edu.cn

(編輯 陳愛華)