白慶月 邱澤陽

（蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

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白慶月 邱澤陽

（蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

基于等距偏置曲線的研究與實(shí)現(xiàn)，變距偏置曲線的研究迫在眉睫。本文結(jié)合數(shù)學(xué)思想的理論依據(jù)，對(duì)非正則偏置曲線進(jìn)行MATLAB仿真實(shí)現(xiàn)，以求為完善非正則偏置曲線的研究領(lǐng)域貢獻(xiàn)一份力量。

偏置曲線； MATLAB仿真； 曲線擬合

本文在等距偏置曲線的已有研究成果的基礎(chǔ)上，著力向變距偏置曲線的領(lǐng)域進(jìn)行探索和研究［1］。然而，在偏置曲線的實(shí)現(xiàn)上，等距偏置和變距偏置之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，造成復(fù)雜性的原因是偏置距離從常數(shù)向函數(shù)的轉(zhuǎn)化。

1 偏置曲線理論

等距曲線是幾何造型操作中的基本功能之一，由于其具有豐富的幾何結(jié)構(gòu)，在CAD的實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮重要作用［2］。偏置曲線與基曲線之間總存在著一定的偏差，一般會(huì)以大量的代數(shù)距離作為衡量標(biāo)準(zhǔn)［3］。然而，偏置的自由有理曲線在偏置的過程中時(shí)而會(huì)出現(xiàn)無理的情況，基于此，變距偏置曲線當(dāng)前的關(guān)鍵任務(wù)是采取擬合方法去逼近一條有理曲線［4］。

1.1 等距偏置曲線

等距曲線、曲面，是由已知曲線或曲面上的點(diǎn)沿其法線方向移動(dòng)固定距離后所形成的曲線或曲面。

1.2 變距偏置曲線

變距曲線是等距曲線的延伸，當(dāng)法向偏置距離是一個(gè)實(shí)值函數(shù)時(shí)，偏置距離函數(shù)d（ t）決定了偏置距離的可變性，隨之出現(xiàn)的問題就是將會(huì)使變距偏置曲線和曲面變得更加的更復(fù)雜的形式。

2 偏置曲線的模擬實(shí)現(xiàn)

從參數(shù)曲線的定義中可知，由（n+1）個(gè)控制點(diǎn)pi方便定義一條曲線，而定義的n次bezier曲線是由前后n個(gè)控制點(diǎn)定義的兩條n次曲線的線性組合。如下圖表1是一組任意給定的8組數(shù)據(jù)的原始坐標(biāo)點(diǎn)：

從這組離散的數(shù)據(jù)中得到基曲線的多項(xiàng)式表達(dá)式是下：

如右圖1：是通過原始數(shù)據(jù)用MATLAB軟件對(duì)原始數(shù)據(jù)的模擬仿真.

2.1 等距偏置曲線數(shù)值模擬

2.1.1 當(dāng)偏置距離d＞0時(shí)有如下表二、表三中的數(shù)據(jù)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的斜率、對(duì)應(yīng)斜率與x軸的夾角θ：

表1

表2

表3

表4

表5

表6

圖1 原始曲線

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

以下表四是在選取d=2時(shí)得到的一些離散數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)原始數(shù)據(jù)得到的離散點(diǎn)：

根據(jù)偏置的離散點(diǎn)得到新的擬合曲線多項(xiàng)式的方程系數(shù)。

如上圖是用MATLAB軟件模擬的等距偏置曲線，參數(shù)選取d=2、d=6、d=10時(shí)，對(duì)應(yīng)圖2、圖3、圖4.

2.1.2 當(dāng)偏置距離d＜0時(shí)，有如下表五對(duì)應(yīng)原始數(shù)據(jù)得到的內(nèi)偏置的離散點(diǎn)：

如下圖5、6、7依次是偏置距離參數(shù)選取d=-2、d=-6、d=-10的圖像。

發(fā)現(xiàn)：偏置距離的正負(fù)決定了偏置曲線的方向。

2.2 變距偏置曲線數(shù)值模擬

如右圖8是當(dāng)偏置距離函數(shù)是d（ x）=4x-5時(shí)的偏置圖像。

3 優(yōu)化程序后的偏置實(shí)現(xiàn)

由于理論上的距離和實(shí)際在操作實(shí)現(xiàn)時(shí)總會(huì)有一些差別，所以對(duì)于坐標(biāo)軸也需要一定的控制。改進(jìn)后如下圖9、圖10：

4 總結(jié)

在國內(nèi)對(duì)等距偏置曲線的研究基礎(chǔ)上，對(duì)變距偏置曲線進(jìn)行研究、并給與算法分析和實(shí)例驗(yàn)證。從偏置情況看到，當(dāng)偏置距離變化時(shí)基曲線和偏置曲線就會(huì)出現(xiàn)相交的情況，這部分工作，我們將在后續(xù)的研究中進(jìn)行去自交的算法探索和研究。

［1］ 施法中.計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與非均勻有理B樣條.北京：高等教育出版社，2001.

［2］ 郭清偉.等距曲線有理逼近的一種方法.應(yīng)用科學(xué)學(xué)報(bào)，2006，24（3）：278：281.

［3］ Maekawa T.An overview of offset curves and surfaces.Com puter-Aided Design，1999，31（3）： 165-173.

［4］ Elber G. Trimming local and global self-intersections in offset curves using distance maps. In：Proc. of the 10th IMA conference on the mathematics of surfaces. 2003. p. 213-22.

［5］ Elber G， Cohen E. Error bounded variable distance offset operator for freeform curves and surfaces. International Journal of Computational Geometry & Applications 1991；1（1）：67-78.

O187.1

A

1003-5168（2015）11-265-02

白慶月（1987-），女，山西朔州，碩士，主要研究方向：計(jì)算數(shù)學(xué)、 計(jì)算幾何。

國家自然科學(xué)基金資助（61262044）非正則變距偏置曲線曲面的研究與應(yīng)用