【摘 要】 由于開放題的開放特性給學(xué)生們提供了廣闊的自由空間，對(duì)開放題的解答，可以結(jié)合題目組成要素的非完備性，解題的策略意圖是不確定性以及答案的不唯一等特性進(jìn)行自由開放的選擇。每一位學(xué)生都可以根據(jù)自己的學(xué)情進(jìn)行自由選擇合適的要素提出自己的問(wèn)題，解決“難”題，在自主提問(wèn)的過(guò)程中享受解題的快樂(lè)，培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)和提高提問(wèn)能力，激發(fā)學(xué)習(xí)的熱情，煥發(fā)內(nèi)在的潛力，把知識(shí)真正內(nèi)化到自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。

【關(guān) 鍵 詞】 數(shù)學(xué)開放題；非完備性；不確定性；不唯一性

【作者簡(jiǎn)介】 劉衍利，1991年參加工作，2002年評(píng)為小學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師。曾參加過(guò)國(guó)家級(jí)學(xué)法指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)（主體教育）；市級(jí)創(chuàng)新教育實(shí)驗(yàn)；區(qū)等級(jí)制實(shí)驗(yàn)（沙區(qū)中小學(xué)素質(zhì)評(píng)價(jià)實(shí)驗(yàn)）；區(qū)教育局與重慶師院合作的心理健康教育等若干實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目研究，擔(dān)任過(guò)主研和參研。論文、教案、心得等數(shù)十篇文字在全國(guó)、市、區(qū)獲得一、二、三等獎(jiǎng)，有二十余篇文章發(fā)表在國(guó)家、市、區(qū)級(jí)報(bào)刊、成果匯編中。

【基金項(xiàng)目】 本文系全國(guó)教育規(guī)劃“十二五”教育部重點(diǎn)課題“數(shù)學(xué)開放題對(duì)小學(xué)生思維發(fā)展的具體影響評(píng)測(cè)”研究成果。項(xiàng)目編號(hào)：DHA140327.

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568 （2015） 31-0085-03

數(shù)學(xué)開放題以其組成要素的非完備性和解題策略的不確定性，以及解題答案的不唯一性，決定著開放題是兼應(yīng)用、探索于一身的實(shí)踐探索性題目。由于諸多的不確定因素，在對(duì)其實(shí)踐探索中，教師不可能完全主導(dǎo)學(xué)生的思維和進(jìn)程，這樣就給學(xué)生提供了非常充分地提出自己新穎獨(dú)特方法的機(jī)會(huì)。每位學(xué)生都是以知識(shí)的主動(dòng)發(fā)現(xiàn)者、探索者和研究者的身份出現(xiàn)的，學(xué)生不再是“裝”數(shù)學(xué)，而是主動(dòng)“搞”數(shù)學(xué)，自主“研究”數(shù)學(xué)，生動(dòng)活潑地參與“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，數(shù)學(xué)開放題的各種不確定因素、策略都會(huì)給予學(xué)生自主選擇的自由空間，選擇不同，思路不同，問(wèn)題的產(chǎn)生也會(huì)不同。本文從數(shù)學(xué)開放題各項(xiàng)不確定的特性入手，淺談教師如何在學(xué)生對(duì)各種不確定性要素的選擇中培養(yǎng)“提出問(wèn)題”的能力。

一、從組成要素的非完備性入手

數(shù)學(xué)開放題的組成要素一般來(lái)說(shuō)分為3種：一種是要素欠缺，需要加一加；一種是要素多余，需要減一減；第三種是要素有多余也有欠缺，需要加和減。

美國(guó)的一位學(xué)者指出，數(shù)學(xué)就是要從一堆雜亂無(wú)章的東西中理出個(gè)頭緒來(lái)。其意思是說(shuō)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能對(duì)眾多的信息進(jìn)行判斷、選擇、重組、處理。

1. 加一加：只有條件，沒(méi)有問(wèn)題或者是條件和問(wèn)題之間沒(méi)有直接關(guān)系，這一類的開放題需要加一加。例如：紅花有3朵，黃花有9朵， ？可以提出（1）紅花和黃花一共有多少朵？（2）紅花比黃花少多少朵？（3）黃花比紅花多多少朵？（4）黃花是紅花的幾倍？（5）紅花是黃花的幾分之幾？（6）黃花比紅花多幾分之幾？……等等不同的問(wèn)題。不同年段、不同層次的學(xué)生都可以通過(guò)自己的思考提出3個(gè)以上的數(shù)學(xué)問(wèn)題。這樣既滿足了學(xué)困生的基本需要，又為優(yōu)等生提供了更高的平臺(tái)。至于缺少條件的，可以加的就太多了，如紅花有3朵， ，黃花有多少朵？可以加上（1）紅花比黃花少5朵（2）黃花比紅花多8朵（3）黃花是紅花的2倍……年級(jí)更高的學(xué)生可以提出有關(guān)分?jǐn)?shù)甚至比例等條件，這里不一一枚舉。

2. 減一減：由于提供的要素有多余的，就需要進(jìn)行選擇，減少不必要的條件，或者說(shuō)選一選也行，選擇合適的條件提出相應(yīng)的問(wèn)題。以西師版（2013版）二年級(jí)下冊(cè)P55課堂活動(dòng)為例（如圖1）：第二個(gè)問(wèn)題的解決就非常靈活。盡管對(duì)不同層次的學(xué)生要求不一樣，但都可以采用先選擇一些必要條件（減少一些條件）再提問(wèn)解決的方式，如果把圖上大人的信息減少，一共有5位兒童，每位兒童票3元，一共要多少元？或兩家一共有2個(gè)兒童，每位兒童票3元，一共要多少元？或者只看大人的信息、只看一家的信息，都可以提出相關(guān)的問(wèn)題，這一類的問(wèn)題應(yīng)該屬于最基本的提問(wèn)層次。對(duì)于成績(jī)比較好的學(xué)生來(lái)說(shuō)，可以選擇更為復(fù)雜的相關(guān)信息進(jìn)行分析后提問(wèn)，如小麗家比小東家多用多少錢？

3. 加和減：這一層次的題目更為靈活，需要運(yùn)用數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性和邏輯性來(lái)增加條件和減少條件。例如：36名同學(xué)去閱覽室看書。長(zhǎng)凳每張坐6人，短凳每張坐4人，可以怎樣準(zhǔn)備凳子？加條件：只坐長(zhǎng)凳（或短凳），需要多少?gòu)堥L(zhǎng)凳（或短凳）？這類問(wèn)題在加條件的同時(shí)，也在減條件——去掉短凳或長(zhǎng)凳的信息。加條件：有一張長(zhǎng)凳，需要多少?gòu)埗痰?？有兩張長(zhǎng)凳，需要多少?gòu)埗痰?？……反過(guò)來(lái)也可以。

二、從解題策略的不確定性入手

著名心理學(xué)家布魯納指出：“探索是數(shù)學(xué)的生命線”。筆者認(rèn)為，探索的過(guò)程也是問(wèn)題產(chǎn)生的生命線。

在探索數(shù)學(xué)開放題的過(guò)程中，學(xué)生可以從不同的解題策略進(jìn)行思考，提問(wèn)解答。例如：在一條筆直的公路上，小明和小剛騎車同時(shí)從相距500米的A、B兩地出發(fā)，小明每分鐘行200米，小剛每分鐘行300米，多少時(shí)間后，兩人相距5千米？由于此題沒(méi)有確定出發(fā)的方向，因此就有4種解題策略可供考慮（如圖2）

策略1是一種反追擊問(wèn)題。兩人本來(lái)相距500米，要變成相距5000米，由于是同向行駛，但速度不一樣，就需要提出中間問(wèn)題，1分鐘后小明離小剛遠(yuǎn)了多少米？1分鐘遠(yuǎn)離了100米，也就是速度差，此題得解（5000-500）÷（300-200）=45（分）；策略4雖然也是同向，但考慮情況更復(fù)雜，先追上，再超越。策略2和3則是背向行駛，需要考慮相遇問(wèn)題以及速度和等中間問(wèn)題。思路不同，策略不同，問(wèn)題亦不同，解答的過(guò)程和結(jié)果也不同。

再看一個(gè)例子：58個(gè)蘋果，拿出幾個(gè)后，可以平均分到8個(gè)盤子中？此題的答案明顯是不唯一的，學(xué)生可以從不同的角度來(lái)思考：要把剩余的蘋果平均分到8個(gè)盤子里，每個(gè)盤子分1個(gè)，那么只要剩下8個(gè)蘋果就行，多余的蘋果都可以拿出，把要拿出幾個(gè)的問(wèn)題變成了要留下幾個(gè)的問(wèn)題。如果每個(gè)盤子分2個(gè)，只要有8×2個(gè)蘋果就行；如果每個(gè)盤子分3個(gè)，4個(gè)……直到不夠分為止；也可以用58÷8=7（個(gè)）……2（個(gè)）直接先算出平均每個(gè)盤子最多放幾個(gè)，剩余的2個(gè)拿出來(lái)，然后每次從每個(gè)盤子里拿1個(gè)出來(lái)，直至剩余1個(gè)為止；對(duì)于后進(jìn)生來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)地分解有困難，只要他能夠在每個(gè)盤子里平均分1—7個(gè)蘋果，多余的拿出就值得表?yè)P(yáng)。

以西師版（2013版）三年級(jí)下冊(cè)P19練習(xí)四第8題為例（如圖3）：思考的宗旨就是統(tǒng)一時(shí)間，路程遠(yuǎn)的快或者統(tǒng)一路程，時(shí)間短的快。以第一類統(tǒng)一時(shí)間為例，可以統(tǒng)一成1小時(shí)行的路程后進(jìn)行比較，也就是白馬每小時(shí)跑多少千米？紅馬每小時(shí)跑多少千米？也可以統(tǒng)一成12小時(shí)行的路程后進(jìn)行比較，也就是白馬12小時(shí)跑多少千米？紅馬12小時(shí)跑多少千米？統(tǒng)一路程的比較方法對(duì)于三年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)太難，但對(duì)于學(xué)過(guò)公倍數(shù)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，就是一種新的方法了。如果提出“每匹馬跑一千米用多少時(shí)間？”的問(wèn)題，用4÷88和3÷72分別求出每匹馬跑1千米的時(shí)間，再進(jìn)行分?jǐn)?shù)大小比較也是可行的，只是要對(duì)不同的年級(jí)來(lái)進(jìn)行要求。

三、從解題答案的不唯一性入手

數(shù)學(xué)開放性問(wèn)題的教育價(jià)值在于強(qiáng)調(diào)了學(xué)生自主獲得解答的過(guò)程，在尋求解答的過(guò)程中，全體學(xué)生都可以獨(dú)立參與解答過(guò)程而不管其屬于何種程度和水平，體現(xiàn)了學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中的真正主體地位，每位學(xué)生都能經(jīng)歷用已有舊知識(shí)再創(chuàng)造的過(guò)程，能夠激發(fā)多數(shù)學(xué)生的好奇心，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的積極態(tài)度。在《小學(xué)數(shù)學(xué)開放題舉一反三﹒五年級(jí)》有一道拓展延伸題（圖4），要求設(shè)計(jì)出面積為18平方厘米的圖形，先從長(zhǎng)方形開始，學(xué)生必須根據(jù)面積來(lái)求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，才能進(jìn)行下一步的設(shè)計(jì)。根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式可以得到：18×1=9×2=6×3這三類。但數(shù)數(shù)格子，最長(zhǎng)只有17格，無(wú)法完成第一種18×1的長(zhǎng)方形（當(dāng)然，再加一列也是可以考慮的方法）；第二種和第三種應(yīng)該不難，分別可以畫出橫和豎兩類長(zhǎng)方形；對(duì)于五年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，如果設(shè)計(jì)出4.5×4的長(zhǎng)方形也不算太難。至于平行四邊形、三角形和梯形的考慮方式和長(zhǎng)方形類似，但情況更為復(fù)雜化。

在算盤中，請(qǐng)你用一顆上珠和一顆下珠，表示出萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)。算盤對(duì)于孩子來(lái)說(shuō)比較陌生，檔位也不是太清楚，標(biāo)注數(shù)位是幫助孩子認(rèn)識(shí)的，每一粒珠代表的數(shù)是學(xué)過(guò)的，但容易忘記或混淆的是一顆上珠代表的是“5”，不是“1”。題目有兩個(gè)要求，一個(gè)是“用一顆上珠和一顆下珠”，另一個(gè)是“表示出萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)”，這兩個(gè)要求并不難理解，但要讓學(xué)生明確“萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)”是不包括“萬(wàn)”的，所以，在“萬(wàn)”那一檔是不能撥珠的。學(xué)生明確了范圍，先讓學(xué)生任意撥珠，檢查是否符合要求，相信每位學(xué)生都會(huì)達(dá)到要求。接下來(lái)，提高要求：上珠只能在個(gè)位，有多少種不同的撥法？下珠只能在百位，有多少種不同的撥法？等等不同的要求，學(xué)生會(huì)提出問(wèn)題：另一顆珠子可以在哪些檔位？這一類開放題，訓(xùn)練了學(xué)生思維能力，又幫助學(xué)生熟悉了算盤的撥珠以及表示的數(shù)。

數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)策略是通過(guò)開放題各個(gè)方面的要素呈現(xiàn)的多樣性、復(fù)雜性和層次性，提供給學(xué)生非常豐富的問(wèn)題情境，是培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)和提高提問(wèn)能力最好的方式。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期有效的訓(xùn)練后，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)打開思路，教會(huì)學(xué)生自主思索，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，自主生成強(qiáng)烈的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的意識(shí)和提出問(wèn)題的能力，在解決問(wèn)題的過(guò)程中把知識(shí)真正內(nèi)化到自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。

（策劃組稿：楊傳岡 編輯：胡 璐）