李善國

一、理論研究

認知心理學研究告訴我們，學生學習數(shù)學的過程實際上是一個數(shù)學認知的過程，在這個過程中學生在教師的指導下把教材知識結構轉化成自己的數(shù)學認知結構?！稊?shù)學課程標準》要求：教師要積極利用各種教學資源，創(chuàng)造性地使用教材，設計適合學生發(fā)展的教學過程。因此，教學過程中，教師必須聯(lián)系實際提高處理教材的能力，用自己的慧眼去發(fā)現(xiàn)教材中的生成點，變教教材為用教材。在數(shù)學教學中促進學生積極主動發(fā)展的有效途徑就是讓學生積極參與到數(shù)學知識的學習探究過程中來，使學生經(jīng)歷數(shù)學概念的形成、法則的概括、公式的推導、規(guī)律的揭示過程。這一過程應是在教師的精心設計下，學生運用已有的知識、經(jīng)驗積極探索未知的數(shù)學知識的過程，是學生數(shù)學知識的“發(fā)現(xiàn)”和數(shù)學知識的“再創(chuàng)造”的過程。

原型啟發(fā)是指從事物的相似或類比中看到或發(fā)現(xiàn)問題解決的途徑。其中具有啟發(fā)作用的事物或現(xiàn)象叫做原型。利用原型啟發(fā)，可以發(fā)展類比推理，有助于培養(yǎng)創(chuàng)造力。原型啟發(fā)在創(chuàng)造性地解決問題中起著很大的作用。原型之所以具有啟發(fā)作用，主要因為原型與所要解決的問題有某些共同點或相似點，所以可以使人通過聯(lián)想把問題轉化，找到解決問題的方法。數(shù)學知識充滿著原型，它是對學生創(chuàng)新意識培養(yǎng)的良好載體，利用原型進行啟發(fā)訓練，不僅有利于問題的解決，而且能點燃學生創(chuàng)造性思維的火花。

二、實踐案例

在學習人教版數(shù)學八年級上冊“角的平分線的性質”時，為了讓學生更好地掌握和理解本節(jié)知識，我把本節(jié)內容安排成了2課時，第1課時主要讓學生動手學會怎樣作一個角的平分線（尺規(guī)作圖），并通過證明明白其原理，在此基礎上猜想、探索角平分線的性質并加以證明，得出定理。第2課時我先讓學生回憶并復述了角的平分線的性質，再讓學生將定理的條件與結論“換位”得到一個新命題，說出這個新命題的內容，并判斷命題是真命題還是假命題？學生分析、討論，用文字敘述內容并加以證明。這兩課時中命題的證明都是應用了三角形的全等進行證明，學生能自主解決。我對本節(jié)內容進行了簡單的小結：本節(jié)內容的重點是角平分線的性質定理，逆定理及它們的應用。性質定理和它的逆定理為我們證明線段相等（利用角平分線的性質定理）、角相等（利用角平分線的性質定理的逆定理）提供了新的方法。為了讓學生理解和應用所學的定理，在頭腦中構建起問題原型，以便在以后解決類似問題時能更快的識別和聯(lián)想，我利用教材中的例題作為問題原型對問題進行了幾種變式。

例1： 如圖1，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P。

求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等。

這是教材的例題，學生通過預習交流，已順利解決。我投放了問題2。

[圖1] [A][B][C][N][M][P][圖2][Q] [A][B][C][N][M][P]

問題2：如圖2，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P。

求證：AP平分∠BAC。

學生獨立思考幾分鐘后，多數(shù)學生已經(jīng)找到了證明的思路。

生1：要證明AP平分∠BAC，只要證明點P到∠BAC的兩邊AB、AC距離相等，而從例1中我們已經(jīng)得出了結論點P到三邊AB、BC、CA的距離都相等，所以……

生2：問題2實際上可以轉化為例1。

為了把問題更進一步，我又投放了問題3。

問題3：求證：三角形的內角平分線交于一點。

學生馬上畫出圖形，獨立思考后展開交流。

生3：通過圖形我們可以看，很顯然三角形的內角平分線交于一點。

師：大家知道一個數(shù)學問題的結論要通過嚴格的證明和推理來獲得的，不能用顯然……那么應該怎么證明呢？

學生展開熱烈的討論，我巡視時詢問后發(fā)現(xiàn)學生還是不知道如何表達解題過程。

生4：這道題的圖形和問題2是一樣的，但我還是不知道怎么說明三條線交于一點……

師：我們已經(jīng)學過，兩條直線相交……

生集體：只有一個交點。

師：如果第三條直線再……

生5：再和他們相交（生6插：應該說再經(jīng)過這個交點），那么這三條線就交于一點。

生7：我知道了，應該先把P點確定為∠ABC和∠ACB的交點，然后再證明點P在∠BAC的平分線上，這樣的話實際上就是問題2了。

師：說的很準確，這也為我們提供了證明“三線共點”的一種常用方法：先確定兩條直線交于某一點，再證明這點在第三條直線上。

我繼續(xù)投放問題4和問題5。

問題4：如圖3，在三條兩兩相交的公路之間要建一座加油站，要使加油站到三條公路的距離相等，請你確定加油站的位置。

[圖3][圖4] [A][B][C][P]

問題5：如圖4，將例1中的內角平分線改成外角平分線，請你說出會有哪些正確的結論？

問題4和問題5還是問題原型例1的變式，解題方法學生已掌握，學生都順利完成，積極回答，效果很好。為了加深學生對這道問題原型的了解，我還留了2道課外作業(yè)，讓學生繼續(xù)交流探索。

問題6：在△ABC所在的平面上，一共能找出幾個點，這個點到△ABC各邊的距離相等？

問題7：等腰三角形ABC中，腰AB=AC=5，BC=6，在△ABC內有一點P，且P到△ABC各邊的距離都相等，求出這個距離？（提示：利用三角形的面積求）

三、教后反思

本節(jié)課的大部分時間都用在了都對問題原型的各種變式的探索研究上，但我相信通過這節(jié)課，學生能夠對這道問題原型有著清晰的認識和深刻的記憶，以后在解決此類問題是能夠真正做到舉一反三，而且通過這節(jié)課，學生對數(shù)學解題的思想——轉化思想會有更深的理解。

在教學時，教師要以問題原型為基礎，引導學生由眼前的知識聯(lián)想到相關的知識和經(jīng)驗，從而探索出新的思路，以解決問題。為此，教師在教學時，一方面要注意組織啟發(fā)學生進行聯(lián)想，讓學生從“原型”中通過聯(lián)想，發(fā)展創(chuàng)造性思維，。另一方面應幫助學生積聚“原型”，使學生在潛移默化中學到有關聯(lián)想以及轉化的思想和方法，學會把復雜的數(shù)學問題轉化分解為簡單的問題原型，從而使學生在遇到困難時，能自覺地利用問題原型作為橋梁，準確地找到問題的答案。

（責編 趙建榮）