左曉虹 左澤龍

（1.三門(mén)峽職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 三門(mén)峽 472000；2.盧氏縣徐家灣中學(xué)，河南 盧氏 472200）

1 類(lèi)比教學(xué)應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)教學(xué)的必要性

邏輯學(xué)中的類(lèi)比推理是根據(jù)兩個(gè)或兩類(lèi)對(duì)象在某些屬性上相同，推斷出它們?cè)诹硗獾膶傩陨希ㄟ@一屬性已為類(lèi)比的一個(gè)對(duì)象所具有，另一個(gè)類(lèi)比的對(duì)象那里尚未發(fā)現(xiàn)）也相同的一種推理。[1]類(lèi)比推理的結(jié)構(gòu)，可表示如下：A 有屬性a、b、c、d，B 有屬性a、b、c，所以，B 有屬性d?？v觀(guān)古今中外，我們?nèi)祟?lèi)的進(jìn)步似乎與類(lèi)比有著密切練習(xí)，比如牛頓把蘋(píng)果和行星進(jìn)行類(lèi)比，發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力；魯班把樹(shù)葉與木工的工具相類(lèi)比，發(fā)明了鋸子；而光波概念的提出者，荷蘭物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家赫爾斯坦·惠更斯曾將光和聲這兩類(lèi)現(xiàn)象進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)它們具有一系列相同的性質(zhì)：如直線(xiàn)傳播、有反射和干擾等，又已知聲是由一種周期運(yùn)動(dòng)所引起的、呈波動(dòng)的狀態(tài)，由此，惠更斯做出推理，光也可能有呈波動(dòng)狀態(tài)的屬性，從而提出了光波這一科學(xué)概念?；莞乖谶@里運(yùn)用的推理就是類(lèi)比推理。

類(lèi)比教學(xué)法是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中常用的一種教學(xué)方法，在教學(xué)中通過(guò)新舊知識(shí)的類(lèi)比，利用已有的舊知識(shí)，揭示新知識(shí)的本質(zhì)所在，幫助學(xué)生找出新舊知識(shí)之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，從而達(dá)到掌握知識(shí)的目的。[2]數(shù)學(xué)中應(yīng)用類(lèi)比的教學(xué)案例很多，也都是多數(shù)教師常用的教學(xué)手法。這一方法之所以被廣泛接受和應(yīng)用，必然有其獨(dú)特的一面，這甚至是無(wú)可替代的。針對(duì)初級(jí)中學(xué)的學(xué)生，在熟知其認(rèn)知能力的基礎(chǔ)上，這一慣用方法毫無(wú)疑問(wèn)的起到了事半功倍的良好效果。中學(xué)生習(xí)慣于記憶，并擅長(zhǎng)記憶，但是這也會(huì)影響著后期的學(xué)習(xí)能力。類(lèi)比教學(xué)的意義就在于打破常規(guī)的“死教死學(xué)”模式，從而得到啟發(fā)學(xué)生的目的。作為教師的我們?cè)谡n堂教學(xué)中應(yīng)該積極主動(dòng)探尋類(lèi)比教學(xué)方法并付諸于行動(dòng)。

2 類(lèi)比教學(xué)應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)教學(xué)的可行性

2.1 平面與空間的類(lèi)比教學(xué)

平面與空間的類(lèi)比對(duì)于研究初等幾何圖形有著極其重要的意義。初等幾何含蓋了四個(gè)方面，即點(diǎn)、線(xiàn)、面、體。每一個(gè)層面的學(xué)習(xí)都關(guān)系并影響著其他層面。而類(lèi)比的方法可以將這幾個(gè)層面有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，從而形成蜘蛛網(wǎng)式的知識(shí)體系。平面中的相關(guān)推理適用于發(fā)展立體幾何的研究，而立體幾何的理論知識(shí)也可以準(zhǔn)確檢驗(yàn)平面幾何，這又相輔相成的促進(jìn)了平面與空間之間的統(tǒng)一，相得益彰。在日常教學(xué)過(guò)程中，我們不難發(fā)現(xiàn)幾乎所有的平面都可以作為推理論證立體幾何的基礎(chǔ)和工具，反之亦然。

在概念教學(xué)中中學(xué)生接觸平面圖形是從三角形、四邊形開(kāi)始的，如果孤立地去理解與記憶這些圖形概念，會(huì)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)負(fù)擔(dān)，但從概念的定義形式上看，這一部分概念的定義形式是相似的，通過(guò)這些概念之間的類(lèi)比，進(jìn)一步理解概念的本質(zhì)。例如，三角形、四邊形、多邊形概念分別為：由不在同一條直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾順次連接所組成的圖形叫做三角形；由在同一平面且不在同一條直線(xiàn)上的四條線(xiàn)段首尾順次連接所組成的圖形叫做四邊形；由在同一平面且不在同一直線(xiàn)上的多條線(xiàn)段首尾順次連結(jié)所組成的圖形叫做多邊形。從概念的定義形式上來(lái)看，是對(duì)一類(lèi)圖形條件的限制，形式上是一致的，不同之處，一是三角形定義中沒(méi)有“在同一平面”，二是組成線(xiàn)段條數(shù)，其他都是相一致的。通過(guò)這樣的類(lèi)比，學(xué)生能從一個(gè)新的角度與高度對(duì)這三個(gè)概念進(jìn)行認(rèn)識(shí)與理解，進(jìn)一步理解概念的本質(zhì)。在此概念掌握的基礎(chǔ)上，正方體、長(zhǎng)方體等等概念掌握起來(lái)就容易多了。

在性質(zhì)教學(xué)中，拿立體幾何的教學(xué)來(lái)說(shuō)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：圓可類(lèi)比為球，正方形呢，長(zhǎng)方形呢，平行四邊形呢，三角形呢，從而使學(xué)生自主類(lèi)比：正方形可類(lèi)比為正方體，長(zhǎng)方形可類(lèi)比長(zhǎng)方體等，教師繼續(xù)重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生從位置關(guān)系和相關(guān)數(shù)量關(guān)系等角度分析正方形和正方體有哪些類(lèi)似的特征，使學(xué)生初步體會(huì)從升維的角度該考慮從哪些方面入手尋找兩類(lèi)對(duì)象的相似特征，并從三角形的類(lèi)比對(duì)象出發(fā)引出例題，在例題尋找類(lèi)比對(duì)象、推測(cè)四面體性質(zhì)和探尋驗(yàn)證方向三個(gè)層面的類(lèi)比過(guò)程中，使學(xué)生感知類(lèi)比推理發(fā)在現(xiàn)新結(jié)論、提供思考和證明問(wèn)題的思路與方向的作用。再比如在對(duì)容器容積和體積探究中，在學(xué)生學(xué)習(xí)了正方體的體積是棱長(zhǎng)的三次方，長(zhǎng)方體的體積是長(zhǎng)寬高之積，圓柱體的體積是地面面積與柱高之積之后，教師進(jìn)而大膽引導(dǎo)學(xué)生推斷任何規(guī)則的立體圖形的體積是其底面積與高的乘積。

2.2 數(shù)與形的類(lèi)比教學(xué)

數(shù)與形的類(lèi)比推動(dòng)著代數(shù)的發(fā)展，數(shù)形結(jié)合思想更是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本方法之一，數(shù)形結(jié)合其實(shí)也是一種類(lèi)比，在教師講述函數(shù)及其圖像的時(shí)候都會(huì)給學(xué)生們或多或少的灌輸這一方法，而事實(shí)上中學(xué)生尤其是初中生的認(rèn)知能力是有限的，作為老師如何去正確引導(dǎo)很關(guān)鍵。在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的時(shí)候，好多教師給學(xué)生的口訣：“正一三，線(xiàn)上升；負(fù)二四，線(xiàn)下降”（一次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)，則圖像呈現(xiàn)上升趨勢(shì)；一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，則圖像呈現(xiàn)下降趨勢(shì)）；“正正不過(guò)四，正負(fù)不過(guò)二，負(fù)正不過(guò)三，負(fù)負(fù)不過(guò)一”（當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)，并且常數(shù)項(xiàng)是正數(shù)的時(shí)候，圖像不經(jīng)過(guò)第四象限；當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)，常數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù)的時(shí)候，圖像不經(jīng)過(guò)第二象限；當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，常數(shù)項(xiàng)是正數(shù)的時(shí)候，圖像不經(jīng)過(guò)第三象限；當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)均為負(fù)數(shù)的時(shí)候，圖像不經(jīng)過(guò)第一象限）。這些口訣就是數(shù)與形類(lèi)比的案例。實(shí)踐檢驗(yàn)證明，這樣的類(lèi)比不僅僅便于記憶，而且出錯(cuò)率很低，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)試，也有助于提高學(xué)生的歸類(lèi)總結(jié)能力。而在講授和探討二次函數(shù)的時(shí)候，學(xué)生們會(huì)以此為借鑒進(jìn)行獨(dú)立思考，教師類(lèi)比一次函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生將二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)輕松掌握。

數(shù)與形的類(lèi)比現(xiàn)象和具備類(lèi)比條件的實(shí)例很多，通過(guò)與形的類(lèi)比推斷相關(guān)數(shù)的性質(zhì)，也可以通過(guò)數(shù)的類(lèi)比得出形的相關(guān)性質(zhì)。例如通過(guò)向量、長(zhǎng)度等概念的引入賦予所研究對(duì)象的幾何意義，進(jìn)而通過(guò)幾何直觀(guān)尋求解決問(wèn)題的方法。例如在講“勾股定理”時(shí)，教師可以結(jié)合《幾何原本》著作的結(jié)論并繪圖說(shuō)明：“在一個(gè)直角三角形中，在斜邊上所畫(huà)的任何圖形的面積，等于在兩條直角邊上所畫(huà)的與其相似的圖形的面積之和”。

3 初等數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的類(lèi)比教學(xué)

類(lèi)比教學(xué)除了單獨(dú)用于某學(xué)科，也可用于學(xué)科之間，從而增加了學(xué)科之間的緊密聯(lián)系，提高學(xué)生學(xué)習(xí)文化知識(shí)的積極性，并感知學(xué)科間的微妙關(guān)系。從美學(xué)角度講平面與空間的類(lèi)比可以達(dá)到藝術(shù)家們想要的效果，形成藝術(shù)品。學(xué)生可以通過(guò)嘗試圖形的“神奇”變換產(chǎn)生愉悅心情，進(jìn)一步促進(jìn)對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情。

初等數(shù)學(xué)中的一條三角形定理：三角形的兩邊之和大于第三邊，也即根本不存在一條邊大于其他兩邊之和的三角形。這個(gè)數(shù)學(xué)原理被一位科學(xué)家成功地運(yùn)用到社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域。他認(rèn)為，歷史上如果三個(gè)割據(jù)勢(shì)力并存，就形成了三足鼎立，這是一種比較穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)。如果強(qiáng)者侵犯了弱者，被侵犯的弱者就會(huì)與另一個(gè)弱者聯(lián)合起來(lái)。結(jié)盟之后，兩邊之和大于第三邊，穩(wěn)定的三足結(jié)構(gòu)就不會(huì)被破壞。只有當(dāng)強(qiáng)者的力量超過(guò)了兩個(gè)弱者之和，三國(guó)鼎立的局面才會(huì)結(jié)束。這位科學(xué)家利用類(lèi)比推理表達(dá)自己的思想，使抽象的道理具體化，使論述更加形象，收到了良好的表達(dá)效果。如果數(shù)學(xué)老師可以在講此定理時(shí)結(jié)合中國(guó)歷史講講三國(guó)；歷史老師同樣可以在講三國(guó)時(shí)對(duì)比數(shù)學(xué)的這條定理；政治老師分析當(dāng)前國(guó)際形勢(shì)時(shí)也可拈來(lái)此定理作比喻，那課堂一定是愉悅的，學(xué)生一定是喜歡的。

正如康德所說(shuō)：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，類(lèi)比這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn)?！薄邦?lèi)比是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉?！鳖?lèi)比作為一種推理方法，它既不同于歸納推理也不同于演繹推理，它是某種類(lèi)型的遷移性和相似性的推理方式，應(yīng)用類(lèi)比，可以在兩個(gè)不同的知識(shí)領(lǐng)域之間實(shí)行知識(shí)的過(guò)渡，因此，人們常常把類(lèi)比方法譽(yù)為理智的橋梁，是信息轉(zhuǎn)移的橋梁。教師通過(guò)類(lèi)比教學(xué)，使學(xué)生在達(dá)到相應(yīng)教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，能深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)是生動(dòng)的、有趣的，數(shù)學(xué)的本質(zhì)并非僅僅是解決問(wèn)題，更重要的是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。同時(shí)讓學(xué)生逐步培養(yǎng)利用類(lèi)比的思想處理一些數(shù)學(xué)問(wèn)題和生活問(wèn)題。當(dāng)然在利用類(lèi)比的思想去處理一些問(wèn)題時(shí)，我們也要注意所類(lèi)比的兩個(gè)事物在本質(zhì)上是否是相同或相似的，不能只顧形式上的一致而忽略本質(zhì)不同的問(wèn)題。

［1］曹為民.類(lèi)比法在解數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用[J].赤峰教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2001(01).

［2］黃勤新.淺談?lì)惐冉虒W(xué)法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].中學(xué)教學(xué)參考，2012(26).

［3］李長(zhǎng)明，周煥山.初等數(shù)學(xué)研究[M].高等教育出版社，1995.