車德欣　湯子隆

（廣東金融學(xué)院）

一種新的分?jǐn)?shù)階多卷波混沌系統(tǒng)及其隨機(jī)性測(cè)試

車德欣湯子隆

（廣東金融學(xué)院）

提出一種新的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，通過設(shè)計(jì)非線性控制器，使其產(chǎn)生多卷波混沌吸引子。利用數(shù)值仿真方法給出8卷波混沌吸引子相圖，并對(duì)該混沌系統(tǒng)的混沌序列進(jìn)行NIST測(cè)試。結(jié)果表明，提出的混沌序列能較好地滿足隨機(jī)性測(cè)試。

分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)；多卷波；NIST測(cè)試

0　引言

分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)可以視為整數(shù)階混沌系統(tǒng)在階數(shù)上的推廣，不僅具有整數(shù)階混沌系統(tǒng)的所有特征，并且還具有整數(shù)階混沌系統(tǒng)不具備的特征。分?jǐn)?shù)階多卷波混沌系統(tǒng)是近年來混沌研究領(lǐng)域取得的重要研究成果。多卷波混沌吸引子的相軌跡在不同吸引子之間跳變，卷波數(shù)量越多，跳變的隨機(jī)性越強(qiáng)，使信息隱藏越隱蔽，這對(duì)信息加密具有十分重要的意義。分?jǐn)?shù)階多卷波混沌系統(tǒng)達(dá)到混沌狀態(tài)時(shí)，其階數(shù)是一個(gè)范圍，而不是固定值；其密鑰空間較整數(shù)階更大，在混沌加密中具有重要的應(yīng)用價(jià)值。在混沌加密領(lǐng)域，當(dāng)前大部分研究都集中于整數(shù)階混沌系統(tǒng)，較少使用分?jǐn)?shù)階[1-2]。Faieghi等人將分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)應(yīng)用于圖像加密領(lǐng)域，結(jié)果表明分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)具有更強(qiáng)的記憶功能和穩(wěn)定性[3]。Alvarez等基于可擴(kuò)展性混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)圖像加密，表明分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)較整數(shù)階更優(yōu)秀[4]。張海英等人證明了分?jǐn)?shù)階Duffing系統(tǒng)作為密鑰，其密鑰空間較整數(shù)階大很多[5]。朱偉等利用分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)建立一種加密算法，其結(jié)果顯示能有效低于選擇明文供給，且性能優(yōu)秀[6]。隨著分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)在加密領(lǐng)域研究的不斷深入，混沌序列的隨機(jī)性測(cè)試也越來越引人關(guān)注。由于無法對(duì)隨機(jī)性事件建立完整的數(shù)學(xué)模型[7]，因此，對(duì)混沌序列的隨機(jī)性測(cè)試就顯得尤為重要。本文提出一種分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，并對(duì)其混沌序列的隨機(jī)性進(jìn)行測(cè)試。首先給出分?jǐn)?shù)階8卷波混沌系統(tǒng)的表達(dá)式，然后使用數(shù)值仿真給出其8卷波混沌吸引子相圖，最后采用NIST測(cè)試證明其混沌序列的隨機(jī)性。

1　一種新的分?jǐn)?shù)階8卷波混沌系統(tǒng)

本文提出一種新的基于分段型Lorenz系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階線性微分方程形式為

設(shè)計(jì)非線性混沌控制器，產(chǎn)生式(1)。設(shè)受控的分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)形式為

K( X )是非線性反饋控制器，其表達(dá)式為

其中，N=0, 1, 2, 3, …；i=1, 2, 3, …, N。

由式(2)，得參數(shù)Hi、Ei的遞歸公式為

式(3)中，各個(gè)參數(shù)的選取并不唯一。為使分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)能產(chǎn)生多翅膀混沌吸引子，只有設(shè)計(jì)合理的參數(shù)才能實(shí)現(xiàn)。

為產(chǎn)生多卷波的幾何形狀，需函數(shù)k3使分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)產(chǎn)生拉升與折疊效果，選取k3中各個(gè)分段函數(shù)的分段起點(diǎn)坐標(biāo)值：

終點(diǎn)坐標(biāo)值為

得到終點(diǎn)與起點(diǎn)坐標(biāo)值滿足以下關(guān)系：

首先計(jì)算on(n=1,2,3,...)，然后計(jì)算pn( n=0,1,2,...)，得on(n=1,2,3,...)與參數(shù)Hi、Ei的遞歸公式

參數(shù)pn( n=0,1,2,...)的遞歸公式為

由式(4)與式(5)，得pn, on( n=0,1,2,...)的參數(shù)值為

選取k3中第1個(gè)區(qū)間寬度

則由式(2)與式(3)計(jì)算可得平衡點(diǎn)：

選取k3中分段線性函數(shù)終點(diǎn)(Ei, oi-1)與后一個(gè)線性分段函數(shù)起點(diǎn)(Ei, pi)之間的差滿足：

為得到分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的多卷波混沌吸引子，采用GL定義的分?jǐn)?shù)階積分進(jìn)行計(jì)算，則可轉(zhuǎn)換為

其中，e是步長(zhǎng)；

將式(6)展開得

階數(shù)η=(η1,η2,η3)=(0.9,0.9,0.9)，得

其中，a=0.5,b=0.09,c=2.6。

在k3中，設(shè)N=3, k=2.5, P=0.47，H1= H2=H3=0.228, E1=0.188,E2=0.36，得到2.7階混沌系統(tǒng)8翅膀混沌吸引子如圖1所示。

2　對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌序列進(jìn)行NIST測(cè)試

NIST隨機(jī)性測(cè)試由美國國家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究院研發(fā)，其包含15種隨機(jī)性測(cè)試手段，可從不同檢驗(yàn)角度將被檢測(cè)序列與理想隨機(jī)序列進(jìn)行對(duì)比，檢驗(yàn)其偏離程度，是目前公認(rèn)的比較好的隨機(jī)性測(cè)試方法。NIST隨機(jī)性測(cè)試的結(jié)果以P-value的值表示，令α∈[0.001,0.01]為顯著性水平區(qū)間，當(dāng)P-value≥α，表明該項(xiàng)測(cè)試能夠通過隨機(jī)性測(cè)試；否則為不通過，表明混沌序列不具備隨機(jī)性。

圖1 分?jǐn)?shù)階8卷波混沌吸引子

對(duì)y序列進(jìn)行NIST測(cè)試，其結(jié)果如表1所示。NIST隨機(jī)性測(cè)試包含15個(gè)測(cè)試，分別為Frequency測(cè)試、BlockFrequency測(cè)試、CumulativeSums測(cè)試、Runs測(cè)試、LongestRun測(cè)試、Rank測(cè)試、FFT測(cè)試、NonOverlappingTemplate測(cè)試、OverlappingTemplate測(cè)試、Universal測(cè)試、ApproximateEntropy測(cè)試、RandomExcursions測(cè)試、RandomExcursionsVariant測(cè)試、Serial測(cè)試、LinearComplexity測(cè)試。C1-C10表示NIST隨機(jī)性測(cè)試將[0,1]區(qū)間劃分為10個(gè)子區(qū)間，然后分別計(jì)算每個(gè)子區(qū)間頻數(shù)。P表示P-value，Value Proportion為通過計(jì)算顯著性水平大于0.001的P值與混沌子序列的比值的數(shù)量。由表1可知，所有15個(gè)測(cè)試的P值均大于0.001。表明混沌序列通過了NIST隨機(jī)性測(cè)試，本文所提出的基于分?jǐn)?shù)階多卷波混沌系統(tǒng)的混沌序列能夠很好地滿足隨機(jī)性需求。

表1 NIST隨機(jī)性測(cè)試結(jié)果

3　結(jié)論

本文提出一個(gè)新的分?jǐn)?shù)階多卷波混沌系統(tǒng)，利用數(shù)值仿真方法給出其8卷波混沌吸引子，并對(duì)提出的多卷波混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的混沌序列進(jìn)行NIST測(cè)試。結(jié)果表明，本文提出的混沌序列能完全通過NIST測(cè)試，滿足加密所需的隨機(jī)性需求。

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A New Fractional-Order Multiwing Chaotic System and It’s Randomness Test

Che DexinTang Zilong
(Guangdong University of Finance)

In this paper, a new fractional-order chaotic system is proposed, which can generate multi-scroll chaotic attractors by designing a nonlinear controller. Using the numerical simulation method, the phase diagram of the 8-scroll chaotic attractors has benn given. Then, the chaotic sequence of the chaotic system pastNIST test. The results show that the chaotic sequences can satisfy the randomness test.

Fracional-Order Chaotic System; Multi-Scroll Attractors; NIST Test

車德欣，男，1988年生，本科，初級(jí)，主要研究方向：軟件工程。E-mail: 164533507@qq.com