張麗嬌，陳 力

（1.福州大學(xué)機(jī)械工程及自動化學(xué)院，福州 350108；2.福建省高端裝備制造協(xié)同創(chuàng)新中心，福州 350116）

漂浮基柔性臂空間機(jī)器人輸出力矩受限的自適應(yīng)PID輸出反饋

張麗嬌1，2，陳 力1，2

（1.福州大學(xué)機(jī)械工程及自動化學(xué)院，福州 350108；2.福建省高端裝備制造協(xié)同創(chuàng)新中心，福州 350116）

針對輸出力矩受限的漂浮基柔性臂空間機(jī)器人的控制問題，結(jié)合系統(tǒng)動量守恒關(guān)系和拉格朗日方法建立了系統(tǒng)動力學(xué)模型；利用奇異攝動法，慢變子系統(tǒng)設(shè)計了輸出力矩受限情況下僅有位置傳感、建模不確定性及干擾的空間機(jī)械臂系統(tǒng)協(xié)調(diào)運(yùn)動的自適應(yīng)PID輸出反饋控制算法，快變子系統(tǒng)設(shè)計了線性二次最優(yōu)控制方法主動抑制。該算法采用高精度濾波器估計機(jī)器人關(guān)節(jié)速度，使得整個系統(tǒng)的閉環(huán)控制僅需位置輸出反饋；在控制率中引入飽和函數(shù)，保證輸出力矩在給定限制范圍內(nèi)，同時采用自適應(yīng)PID控制器補(bǔ)償建模不確定性和干擾。基于Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了該算法可確?？刂葡到y(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，針對平面兩關(guān)節(jié)漂浮基柔性臂空間機(jī)器人的仿真結(jié)果表明了所提出的控制方案良好的跟蹤性和快速收斂性。

柔性臂空間機(jī)器人；奇異攝動；自適應(yīng)PID控制；輸出力矩受限

1 引言

空間機(jī)器人是用于空間探測活動的特種機(jī)器人。目前，有關(guān)空間機(jī)器人系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計和控制方法研究已成為空間科學(xué)研究和機(jī)器人技術(shù)研究的重點(diǎn)［1-6］。在空間實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，空間機(jī)器人的機(jī)械臂往往質(zhì)量較輕、慣量較小，這使得機(jī)械臂在高速運(yùn)動過程中容易發(fā)生變形，因此空間機(jī)器人的機(jī)械臂常使用柔性桿來進(jìn)行操作，對柔性空間機(jī)械臂的研究也成為自20世紀(jì)80年代后空間機(jī)器人的研究重點(diǎn)。

考慮到柔性臂空間機(jī)器人系統(tǒng)動力學(xué)方程的階數(shù)多于地面剛性機(jī)械臂，且由于柔性桿的振動頻率一般比系統(tǒng)剛性振動頻率高，使用奇異攝動法將可以對柔性臂空間機(jī)器人系統(tǒng)的包含振動模態(tài)的動力學(xué)方程進(jìn)行降階處理，將其分解為兩種時間尺度的奇異攝動模型。文獻(xiàn)［7］使用奇異攝動法考慮了一類機(jī)械系統(tǒng)的高階滑模控制問題并進(jìn)行了實(shí)驗研究。本文將奇異攝動方法應(yīng)用到柔性臂空間機(jī)器人控制器設(shè)計中，討論了載體位置不受控、姿態(tài)受控情況下，漂浮基柔性臂空間機(jī)器人輸出力矩受限的自適應(yīng)PID輸出反饋問題。首先，利用拉格朗日假設(shè)模態(tài)法并結(jié)合系統(tǒng)線動量守恒關(guān)系，建立了柔性臂空間機(jī)器人系統(tǒng)的動力學(xué)方程。以此為基礎(chǔ)，使用兩種時間尺度的假設(shè)，將系統(tǒng)分解為軌跡跟蹤控制器和振動控制器可分開設(shè)計的奇異攝動系統(tǒng)。

針對實(shí)際機(jī)器人軌跡跟蹤控制中存在的問題，例如僅位置傳感、驅(qū)動器飽和、存在建模不確定性及干擾，為滿足高精度運(yùn)動控制的要求，提出了眾多先進(jìn)控制和智能控制算法，如，計算力矩法、自適應(yīng)控制、變結(jié)構(gòu)控制、迭代學(xué)習(xí)控制、魯棒控制、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等［8-9］。但這些算法因假設(shè)條件較多，計算復(fù)雜，針對性強(qiáng)等限制其實(shí)際的應(yīng)用。迄今為止，實(shí)際工業(yè)應(yīng)用中的大多數(shù)商品化的機(jī)器人控制器的控制策略是基于獨(dú)立關(guān)節(jié)PID伺服算法，該算法結(jié)構(gòu)簡單，易于設(shè)計，在一定程度上滿足控制系統(tǒng)的要求［10］。

對于系統(tǒng)模型存在不確定性和干擾的研究較多，典型的是采用魯棒控制和自適應(yīng)控制算法［11］；對于只基于關(guān)節(jié)位置信號的輸出反饋控制，較為典型的是采用觀測器［12］和濾波器［13］；在輸出力矩飽和受限的情況下，典型的是采用基于tanh（x），sat（x）等飽和函數(shù)的飽和PD+控制器［14］。

針對上述問題，本文對于快變子系統(tǒng)，使用全局最優(yōu)控制來對柔性桿件的振動進(jìn)行主動抑制。對于慢變子系統(tǒng)，設(shè)計了輸出力矩受限情況下僅有位置傳感、建模不確定性及干擾的空間機(jī)械臂系統(tǒng)協(xié)調(diào)運(yùn)動的自適應(yīng)PID輸出反饋控制算法。

2 柔性臂空間機(jī)器人系統(tǒng)動力學(xué)分析

考慮作平面運(yùn)動的自由漂浮基柔性臂空間機(jī)器人的幾何模型如圖1所示。其中，B0為系統(tǒng)的剛性載體基座，B1為系統(tǒng)的剛性連桿，B2為系統(tǒng)的柔性連桿（可視為Euler-Bernoulli懸臂梁且僅產(chǎn)生橫向振動），Bi-1和Bi（i=1，2）間均使用剛性旋轉(zhuǎn)鉸進(jìn)行聯(lián)接。建立各分體Bi（i=0，1，2）的主軸聯(lián)體坐標(biāo)系（Oi-xiyi），O1、O2分別為相應(yīng)兩個轉(zhuǎn)動鉸的中心；x0通過O0與O1的連線，x1和x2分別是B1和B2的對稱軸，ei為沿xi（i=0，1，2）軸方向的基矢量；C為系統(tǒng)總質(zhì)心。mi、ji分別為Bi（i=0，1，2）的質(zhì)量與中心轉(zhuǎn)動慣量，B2單位長度的均勻質(zhì)量密度為ρ，均勻彎曲剛度為EI，M為系統(tǒng)總質(zhì)量；并定義q0為航天器載體姿態(tài)角，q1和q2為關(guān)節(jié)O1、O2的相對轉(zhuǎn)角。

圖1 漂浮基柔性臂空間機(jī)器人系統(tǒng)Fig.1 Free-floating flexible manipulator space robot system

由彈性理論可知，基于假設(shè)模態(tài)變形描述法，橫向彈性變形v（x2，t）可描述為式（1）：

其中，?i（x2）和δi（t）分別為柔性桿的第i階模態(tài)函數(shù)及其坐標(biāo)，n為截斷階數(shù)。考慮到低階模態(tài)對桿件的彈性振動起主導(dǎo)效應(yīng)，本文取前二個低階模態(tài)進(jìn)行研究，即式（2）：

利用拉格朗日法和動量守恒關(guān)系，可導(dǎo)出式（3）所示載體位置不受控和姿態(tài)受控的柔性臂空間機(jī)器人動力學(xué)方程：

其中，M（q，δ）∈R5×5為正定、對稱慣性陣；H（q，δ，q·，δ·）∈R5×5為從包含離心力、科氏力列向量中分離出來的矩陣；q=［q0q1q2］T，δ= ［δ1δ2］T分別為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)列向量的剛性變量、柔性變量；Kδ=diag［kδ1kδ2］為系統(tǒng)的抗彎剛度陣；τ=［τ0τ1τ2］T為系統(tǒng)的控制力矩列向量。

3 系統(tǒng)動力學(xué)奇異攝動分解

據(jù)式根據(jù)式（3），姿態(tài)受控柔性臂空間機(jī)器人的動力學(xué)模型可展開為式（4）：

若約定式（5）：

則式（4）可轉(zhuǎn)化為式（6）：

若定義μ=1/min［kδ1，kδ2］為奇異攝動因子σ=δ/μ、Ks=μKδ，則式（6）可變換為式（7）：

令μ=0并將其代入式（7），得式（8）所示慢變子系統(tǒng)：

其中，帶“—”的變量表示機(jī)器人的慢變分量，τs表示慢變控制律。則慢變子系統(tǒng)（8）滿足如下性質(zhì)［15］：

令μ=0，并結(jié)合快、慢時標(biāo)的相互獨(dú)立性及式（7），可得到式（10）～（11）所示快變子系統(tǒng)的動力學(xué)方程：

于是，可得快變子系統(tǒng)如式（12）：

最終，式（8）和式（12）共同構(gòu)成了系統(tǒng)的奇異攝動模型且τ=τs+τf。

4 控制方法設(shè)計

4.1 慢變子系統(tǒng)的自適應(yīng)PID輸出反饋控制法設(shè)計

據(jù)第3節(jié)可知，柔性臂空間機(jī)器人系統(tǒng)式（4）可被降階分解為快、慢變兩個子系統(tǒng)式（8）和式（12）。由于這兩個子系統(tǒng)在時標(biāo)上具有獨(dú)立性，故我們可分別對每個子系統(tǒng)進(jìn)行相應(yīng)控制器的設(shè)計，并最終組成系統(tǒng)的總控制器。

基于式（8），將設(shè)計一種基座姿態(tài)與關(guān)節(jié)協(xié)調(diào)操作運(yùn)動的模糊終端滑模慢變子控制器。若令q=［q0q1q2］T為系統(tǒng)的實(shí)際輸出，qd= ［q0dq1dq2d］T為其理想輸出，則系統(tǒng)追蹤誤差可描述為式（13）：

考慮只有位置信息可測，定義濾波誤差函數(shù)為式（14）：

其中，Λ為一正定矩陣，Λ=ΛT＞0，則有（15）：

考慮參數(shù)的不確定性和外部擾動，式（8）可以表示為式（16）：

根據(jù)式（21）可以表示為式（17）：

連續(xù)型PID控制設(shè)計如式（18）：

其中，Kp，Ki，Kd分別為比例、微分、積分增益。

式（18）可以寫成如式（19）形式

PID控制器τpid（e|θk）可以一致逼近系統(tǒng)不確定項，因此，存在一最優(yōu)參數(shù)向量θ*，使得近似誤差有界。即式（20）：

其中，θ*滿足式（21）：Ωθ、Ωe分別為θ、e的期望約束集。

這里僅需要知道存在最優(yōu)參數(shù)向量θ*，用于收斂分析，而不必知道其確定值，它對控制器的設(shè)計不是必需的。令滿足式（22）：

控制器設(shè)計如式（23）～（25）：

其中，v為濾波器的輸出，kw＞0，Γ為一正定矩陣。K=diag［k1，…，kn］，β=diag［β1，…βn］，tanhv=［tanhv1，…，tanhvn］T，tanhv∈Rn，K，β∈Rn×n，k1，…，kn，β1，…，βn，α皆為正常數(shù)。

定義Lyapunov函數(shù)如式（26）：

式（26）為一正定函數(shù)，沿閉環(huán)系統(tǒng)軌跡的微分如式（27）：

其中，

根據(jù)F范數(shù)的性質(zhì)［16］，有式（28）：

則

由式（27）、式（28）、式（29）得式（30）：

其中參數(shù)c1、V1分別滿足式（31）、（32）：

由式（31）、式（32）可知，當(dāng)選取較大的K和較小的kw，可以得到較大的收斂區(qū)域。

由式（14）、式（24）可知，濾波器的輸出只和關(guān)節(jié)位置信號及e·有關(guān)，因此，不需要關(guān)節(jié)速度和加速度信號。

4.2 快變子系統(tǒng)—柔性臂振動主動抑制的基于狀態(tài)觀測器的最優(yōu)控制方法設(shè)計

為抑制彈性振動，本節(jié)擬采用基于狀態(tài)觀測器的最優(yōu)控制策略來對快變子系統(tǒng)式（12）進(jìn)行控制?？熳冏酉到y(tǒng)經(jīng)變換后呈線性系統(tǒng)，故采用簡單的最優(yōu)控制即可快速有效地抑制振動。因此定義系統(tǒng)性能指標(biāo)函數(shù)如式（33）：

其中，Rf∈R3×3和Qf∈R4×4分別為正定、半正定常值陣。被積函數(shù)中第一項表示動態(tài)過程中對控制的約束或要求，是用來衡量控制功率大小的代價函數(shù)。被積函數(shù)中第二項Lz=zTQfz，是用以衡量誤差z大小的代價函數(shù)，z越大，則支付的代價越大。最優(yōu)控制的目標(biāo)是使Jf→min，則其實(shí)質(zhì)在于用不大的控制，來保持較小的誤差，從而達(dá)到能量和誤差綜合最優(yōu)的目的。

設(shè)Pf為式（34）所示Ricatti方程的唯一解［17］：

則快變最優(yōu)控制律可定義為式（35）：

5 仿真算例

以圖1所示作平面運(yùn)動的兩桿漂浮基柔性臂空間機(jī)器人系統(tǒng)為例。仿真過程中我們假定系統(tǒng)中各參數(shù)為：m0=40.0 kg，m1=2.0 kg，j0= 34.17 kg·m2，j1=1.5 kg·m2，l0=1.5 m，l1= 3.0 m，l2=3.0 m，ρ=1.0 kg/m，EI=200 N·m2。并假設(shè)柔性桿B2的桿長l2和單位長度的均勻質(zhì)量密度ρ為系統(tǒng)未知參數(shù)，仿真過程中其真值取為l2=3.0 m，ρ=1.0 kg/m。

系統(tǒng)的柔性桿B2被視為Euler-Bernoulli懸臂梁，其模態(tài)試函數(shù)?i（x2）取為?i（x2）= Ai［cos（υix2）-cosh（υix2）］+［sin（υix2）-sinh（υix2）］，其中，Ai=-［sin（γi）+ sinh（γi）］/［cos（γi）+cosh（γi）］，（i=1，2），υi=γi/l2，γ1=1.8751，γ2=4.6941。

建模不確定與干擾力矩為：τd1=sint，τd2= cost。

仿真時間：t=25 s，控制參數(shù)為K= diag［10，6，4］，Γ=［1］，α=diag［4，3，2］，kw= 0.001，Λ=diag［2.5，2，1.5］，β=diag［5，2，1］。

PID初始值為：Kp=diag［50，50，10］，Kd= diag［100，100，5］。

圖2 載體姿態(tài)運(yùn)動軌跡Fig.2 The trajectory of the base's attitude

仿真結(jié)果如圖2～圖7所示。其中，圖2為載體姿態(tài)的運(yùn)動軌跡跟蹤圖；圖3為機(jī)械臂關(guān)節(jié)絞的運(yùn)動軌跡跟蹤圖；圖4為機(jī)械臂關(guān)節(jié)絞的運(yùn)動軌跡跟蹤誤差；圖5為漂浮基柔性臂空間機(jī)器人系統(tǒng)完成軌跡跟蹤所需的驅(qū)動力矩圖；圖6為柔性臂的模態(tài)坐標(biāo)變化曲線圖；圖7為柔性臂末端變形曲線圖。

圖3 機(jī)械臂關(guān)節(jié)絞運(yùn)動軌跡Fig.3 The trajectories of the manipulator's joints

圖4 機(jī)械臂關(guān)節(jié)絞的運(yùn)動軌跡跟蹤誤差Fig.4 The trajectory tracking errors of the manipulator's joints

圖5 驅(qū)動力矩Fig.5 The driving torques

圖6 柔性臂模態(tài)坐標(biāo)的變化曲線Fig.6 Curves of the mode coordinates of the manipulator

圖7 柔性臂末端變形曲線Fig.7 Curves of the flexible manipulator's deformation

由圖2和圖3可看出，在本文所提出的混合控制方法的控制下，漂浮基柔性臂空間機(jī)器人的載體姿態(tài)和機(jī)械臂的關(guān)節(jié)絞都能夠精確且穩(wěn)定地跟蹤上他們的期望運(yùn)動軌跡，完成控制任務(wù)；圖4可看出，本文所提出的自適應(yīng)PID輸出反饋控制算法能夠適應(yīng)輸出力矩受限的實(shí)際應(yīng)用情況；圖6和圖7可看出，柔性臂的彈性變形得到了有效的補(bǔ)償，且柔性臂所引起的系統(tǒng)彈性振動也得到了有效的抑制，系統(tǒng)的控制精度和穩(wěn)定性得到了保證。

6 結(jié)論

本文對柔性空間機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)分析，結(jié)合系統(tǒng)總質(zhì)心定義得到的系統(tǒng)動力學(xué)方程對一組選擇的系統(tǒng)參數(shù)組合函數(shù)呈線性關(guān)系。使用奇異攝動理論和兩個時間尺度的假設(shè)，將系統(tǒng)分解為快變和慢變兩個子系統(tǒng)的奇異攝動模型。針對實(shí)際機(jī)器人軌跡跟蹤控制中存在的問題，慢變子系統(tǒng)使用自適應(yīng)PID飽和輸出反饋控制，給出系統(tǒng)穩(wěn)定性的條件；同時，快變子系統(tǒng)使用最優(yōu)控制理論來對柔性桿的振動進(jìn)行主動振動抑制。仿真結(jié)果表明，本文所提出控制算法能使系統(tǒng)機(jī)械臂關(guān)節(jié)快速地追蹤上期望軌跡并在短時間內(nèi)對產(chǎn)生的振動進(jìn)行抑制。此外，由于不需控制整個系統(tǒng)載體的位置，還大大減少了噴氣裝置的燃料消耗，延長了空間機(jī)械臂的有效使用壽命。

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Adaptive PID Output-Feedback Control of Free-floating Flexible Manipulators Space Robot with Bounded Torque Output

ZHANG Lijiao1，2，CHEN Li1，2
（1.School of Mechanical Engineering and Automation，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou 350108，China；2.Collaborative Innovation Center of High End Equipment Manufacturing，F(xiàn)uzhou 350116，China）

The control problem of the free-floating flexible manipulators space robot with bounded torque outputs was discussed.With the momentum conservation relations，system dynamics model was set up by the Lagrange method.Based on the singular perturbation method，an adaptive PID output-feedback control algorithm was designedin the slow subsystemwith only position measurements，modeling uncertainties and disturbances under space robot manipulators'coordinated motion with limited output torque，and a linear-quadratic optimal control was designed in the fast subsystem. High precision filter was used in the algorithm to estimate the joint velocity of the manipulators，which made the whole closed-loop control with only position feedback measurements.A saturation function was introduced in the control law，which guaranteed the output torque within any specified range.While an adaptive PID controller was used to compensate the modeling uncertainties and interferences.Based on Lyapunov stability theory，this algorithm is proved to be able to ensure that the control system is asymptotically stable.The simulation results based on a planar two-joint freefloating flexible manipulators space robotshow that the proposed control scheme is designed with good trajectory tracking and fast convergence.

flexible manipulators space robot；singular perturbation method；adaptive PID control；bounded output torque

TP242.3；V447

A

1674-5825（2015）06-0568-07

2014-09-10；

2015-09-08

國家自然科學(xué)基金資助項目（11372073）

張麗嬌（1989-），女，博士研究生，研究方向為空間機(jī)器人控制。E-mail：lijiaoz@126.com