馬飛，趙建偉，朱斌，孫志坤，賈瑞清

（中國礦業(yè)大學(xué)（北京），北京　100083）

仿人機(jī)器人步行運(yùn)動學(xué)建模與仿真

馬飛，趙建偉，朱斌，孫志坤，賈瑞清

（中國礦業(yè)大學(xué)（北京），北京100083）

為研究仿人機(jī)器人步行、跑動和跳躍等技術(shù)問題，并實(shí)現(xiàn)仿人機(jī)器人在復(fù)雜非結(jié)構(gòu)的人類生活環(huán)境中的應(yīng)用。建立了剛?cè)狁詈系姆氯藱C(jī)器人系統(tǒng)；用D-H坐標(biāo)變換法建立數(shù)學(xué)模型并得出正逆運(yùn)動學(xué)公式及其解析解；規(guī)劃出機(jī)器人穩(wěn)定無沖擊的行走步態(tài)，將Solidworks實(shí)體模型導(dǎo)入虛擬樣機(jī)Adams中進(jìn)行運(yùn)動仿真，仿真結(jié)果與規(guī)劃步態(tài)基本一致，驗(yàn)證了所建立的數(shù)學(xué)模型和實(shí)體模型的正確性，為仿人機(jī)器人動力學(xué)分析和步態(tài)優(yōu)化提供了研究平臺。

仿人機(jī)器人；數(shù)學(xué)模型；運(yùn)動仿真；SolidWorks；Adams

0　引言

仿人機(jī)器人是一種模仿人類的機(jī)器人，典型特點(diǎn)是機(jī)器人的上下肢通過運(yùn)動副連接，模仿人類的腿及髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)，以執(zhí)行機(jī)構(gòu)代替肌肉，實(shí)現(xiàn)對身體的支撐和連續(xù)協(xié)調(diào)的運(yùn)動。仿人機(jī)器人具有和人類相似的外形，具有很大的靈活性，更適合在人類生活、工作的環(huán)境與人類協(xié)同工作［1］。步行能力是仿人機(jī)器人最基本也是最重要的能力，本文針對本課題組設(shè)計的一款仿人機(jī)器人，建立其下肢的數(shù)學(xué)模型，求解其逆運(yùn)動學(xué)公式；規(guī)劃本機(jī)器人完整的行走步態(tài)，并導(dǎo)入完整的Adams仿真模型，將該步態(tài)在虛擬樣機(jī)里實(shí)現(xiàn)，以驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型和仿真模型的正確性。

1　數(shù)學(xué)模型建立

仿人機(jī)器人下肢部分是關(guān)乎其行走的關(guān)鍵機(jī)構(gòu)，本仿人機(jī)器人下肢具有10個自由度，其中2×3=6個控制前向運(yùn)動，2×2=4個控制側(cè)向運(yùn)動為描述桿件之間的相對位置關(guān)系，采用D-H矩陣表示法建立連桿坐標(biāo)系［2］。因仿人機(jī)器人自由度數(shù)較多和不存在固定基座等問題，提出一種新思路，將參考坐標(biāo)系W建立在機(jī)器人兩髖關(guān)節(jié)中心連線的中點(diǎn)在地面的投影點(diǎn)上，在行走過程中此投影點(diǎn)隨著機(jī)器人向前運(yùn)動，參考坐標(biāo)系也隨之往前運(yùn)動，即相當(dāng)于有一個虛構(gòu)的桿件在“支撐”著機(jī)器人，這樣求解左右腳運(yùn)動就是相對獨(dú)立的，避免了因左右腳交替支撐地面（甚至在跑步時雙腳都騰空）而引起的求解需劃分區(qū)間和求解復(fù)雜的問題，并且在求解左右腳運(yùn)動時各自的求解誤差不會相互積累，提高了運(yùn)動精度。

將機(jī)器人軀干定義為桿l0，機(jī)器人右腿依次往下定義為桿l1～l5，相應(yīng)的關(guān)節(jié)定義為關(guān)節(jié)1～5；左腿依次往下定義為桿相應(yīng)的關(guān)節(jié)定義為關(guān)節(jié)6～10。桿件坐標(biāo)系分別建立在相應(yīng)的關(guān)節(jié)上，并與其對應(yīng)的上方一桿件上固連，左右腳上建立坐標(biāo)系根據(jù)建立的坐標(biāo)系和桿件參數(shù)，確定相鄰坐標(biāo)系的變換矩陣四個D-H參數(shù)中只有θi為變量（θi為xi轉(zhuǎn)向的角度，與zi軸呈右手定則時為正）。軀干坐標(biāo)系O0相對于參考坐標(biāo)系W的轉(zhuǎn)換矩陣wT0和左右腳相對于參考坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣wTl和wTr均可用矩陣T來表示［3］:

2　運(yùn)動學(xué)求解

數(shù)學(xué)模型建立后，對機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動學(xué)求解，得到其正逆運(yùn)動學(xué)公式。

2.1正運(yùn)動學(xué)求解

上節(jié)得到了軀干相對于參考坐標(biāo)系的位姿矩陣、左腳相對于參考坐標(biāo)系的位姿矩陣和右腳相對于參考坐標(biāo)系的位姿矩陣在桿件參數(shù)和各個關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角已知的情況下，就可以得到軀干、左腳和右腳的位姿。

2.2逆運(yùn)動學(xué)求解

對機(jī)器人進(jìn)行步態(tài)規(guī)劃，首先建立機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)方程，再引入約束條件，最后求解得到機(jī)器人各個關(guān)節(jié)的運(yùn)動軌跡。最關(guān)鍵的問題是機(jī)器人的逆運(yùn)動求解。雙足機(jī)器人的逆運(yùn)動學(xué)問題可以描述為給定腰部和腳的期望位姿，求解使機(jī)器人滿足此位姿的各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角問題。對于這個問題可能多解、唯一解和無解。為使求解比較簡單，對機(jī)器人添加三個約束［4］：

約束一：在運(yùn)動過程中，機(jī)器人上半身總是相對于地面保持豎直的。

約束二：在運(yùn)動過程中，機(jī)器人兩腳掌與地面總是平行的。

約束三：手臂在靜態(tài)步行中對運(yùn)動的影響性較小，不考慮手臂的影響。

在這三個約束下，在軀干坐標(biāo)系O0相對于參考坐標(biāo)系W的轉(zhuǎn)換矩陣wT0中，各個量為：則矩陣可表示為：

將上述矩陣帶入式（1）、（2），得到逆運(yùn)動學(xué)求解的等式。在逆運(yùn)動學(xué)求解過程中px，py，pz和b可以看做已知量，用以求取各個關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)角度。因?yàn)樽笥彝鹊那蠼膺^程相似，這里只列出右腳各個關(guān)節(jié)的求解過程：

（1）在式（2）的兩端同時左乘以wT0的逆陣（wT0）-1：

那么，由式（4）～式（6），式（11），式（12）組成方程組，px，py，pz和b可以看做已知量，可以求得各個θ角度的值，在考慮了各個角度因結(jié)構(gòu)而限定的實(shí)際范圍后，得到各個角度的表達(dá)式。

3　步態(tài)規(guī)劃

仿人機(jī)器人的步態(tài)行走分為靜態(tài)行走和動態(tài)行走。規(guī)劃機(jī)器人處于低速靜態(tài)步行，慣性力可忽略，因此采用靜態(tài)穩(wěn)定性判據(jù)——重心投影法，即保證在行走過程中機(jī)器人重心始終落在腳掌與地面形成的支撐區(qū)域內(nèi)［5］。

重心在地面的投影必須落在機(jī)器人的支撐腳與地面的接觸范圍之內(nèi)，設(shè)計重心的軌跡為正弦曲線，如圖1所示，這樣避免重心出現(xiàn)突然的轉(zhuǎn)變，引起機(jī)器人行走不穩(wěn)定。

圖1　重心軌跡規(guī)劃圖Fig.1 The center of gravity of trajectory planning

機(jī)器人通過雙腿蹬地實(shí)現(xiàn)運(yùn)動，為了減小地面對腳的沖擊力，規(guī)劃非支撐腳的側(cè)向運(yùn)動也為正弦運(yùn)動，抬腳高度最大為5mm，這樣機(jī)器人腳部在最高處速度達(dá)到最大，在離地和落地瞬間的速度最小，可以有效的減小沖擊。規(guī)劃曲線如圖2所示。

圖2　腳步運(yùn)動軌跡Fig.2 Moving track

圖2設(shè)定機(jī)器人行走速度為v=30mm/s，則規(guī)劃機(jī)器人行走中2s前進(jìn)一步，行走過程中重心下降l=5mm，則各個時間段的機(jī)器人步態(tài)如表1所示。

表1　各個時間段機(jī)器人步態(tài)Tab.1 The robot gait of each time

根據(jù)圖1，圖2，表1規(guī)劃的信息編寫左右腳相對于參考坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣中的px，py，pz和b的運(yùn)動函數(shù)式，因本參考矩陣的設(shè)置是隨機(jī)器人一起移動的，故px，py，pz和b的運(yùn)動式相對較簡單，僅列出右腳在20秒內(nèi)的起步、步行、停止的規(guī)劃公式：

在規(guī)劃得到了左右各個腳的px，py，pz和b的運(yùn)動曲線后，帶入到各個角度的表達(dá)式里，在Matlab里計算并繪出各個旋轉(zhuǎn)角θ的曲線，僅畫出右腳各個關(guān)節(jié)運(yùn)動曲線，如圖3所示。

圖3　右腳各個關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角運(yùn)動曲線Fig.3 Motion curve of each joint angle

4　虛擬樣機(jī)仿真

根據(jù)設(shè)計要求在SolidWorks里建立了實(shí)體三維模型，將建好的模型保存為parasolid（*.x_t）格式的文件后，便可在Adams中直接導(dǎo)入（Import）［6］，導(dǎo)入后，在Adams下對三維模型的各個零件重新進(jìn)行名稱、材料、密度和慣性特性等基本信息的錄入，再根據(jù)運(yùn)動形式添加了約束（Joint）和驅(qū)動（Motion），并根據(jù)實(shí)際情況再機(jī)器人腳底板和地面間添加了接觸力。

將在Matlab里得到的左右腳各個關(guān)節(jié)運(yùn)動曲線離散化，用dlmwrite（）函數(shù)將數(shù)據(jù)導(dǎo)出為文本文件（*.txt）。在Adams中根據(jù)這些離散的數(shù)據(jù)（Data Element）生成樣條曲線（Spline）［7］，通過Cubic Fitting Method指定到相應(yīng)的關(guān)節(jié)驅(qū)動（Motion）中去。這樣，機(jī)器人各個關(guān)節(jié)就能夠按照規(guī)劃的軌跡運(yùn)動［8］。

使用Adams/simulink進(jìn)行仿真，仿真結(jié)束后，啟動ADAMS/Postprocessor模塊，利用仿真結(jié)果后處理，得到相關(guān)的數(shù)據(jù)曲線。得到機(jī)器人軀干的側(cè)向運(yùn)動的軌跡如圖4所示。

圖4　機(jī)器人軀干側(cè)向運(yùn)動軌跡Fig.4 Lateral moving track of robot body

由仿真軌跡可見，機(jī)器人前進(jìn)了480mm，側(cè)向誤差只有10mm左右，相對誤差僅為2.03%，仿真運(yùn)動軌跡基本與規(guī)劃的曲線相吻合，證明了模型的正確性。

5　結(jié)論

步行是仿人機(jī)器人最基本的能力，也是研究的重點(diǎn)之一，將參考坐標(biāo)系建立在雙腿髖關(guān)節(jié)連線的中點(diǎn)在地面的投影上，簡化了機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型，使在求解機(jī)器人四肢的運(yùn)動時，不會相互影響，其運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)方程也更為簡單，方便了機(jī)器人運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)分析和優(yōu)化。

規(guī)劃了運(yùn)動曲線，Adams仿真可以直觀了解仿人機(jī)器人的行走步態(tài)，獲得機(jī)器人行走的運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)參數(shù)，為進(jìn)一步研究步態(tài)優(yōu)化和穩(wěn)定性提供了基礎(chǔ)。運(yùn)用matlab和虛擬樣機(jī)Adams進(jìn)行聯(lián)合仿真成為了研究機(jī)器人運(yùn)動的有力手段。仿真軌跡與規(guī)劃的曲線基本吻合驗(yàn)證了機(jī)器人模型建立的正確性，也為更深層次仿人機(jī)器人運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)研究提供了基礎(chǔ)與平臺。

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［7］Tlalolini David，Aoustin Yannick and Chevallereau，Christine:Modeling and optimal trajectory planning of a biped robot using newtoneuler formulation［C］.INSTICC Press，2007.

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Kinematic Modeling and Simulation of Humanoid Robot Walking

MA Fei，ZHAO Jian-Wei，ZHU Bin，SUN Zhi-Kun，JIA Rui-Qing
（China University of Mining and Technology（Beijing），Beijing 100083，China）

To research the technical problems of humanoid robot walking，running and jumping and apply humanoid robot in unstructured human life environment.A rigid-flexible coupled humanoid robot system was established；the mathematical model of humanoid robot was established with the D-H homogeneous coordinate transformation and forward and inverse kinematic equation of motions was calculated with analytical solution.After planning the gait of stable and no impact walking，the Solidworks model was imported into virtual prototying Adams for kinematic simulation.The result of simulation being unanimous with gait planning has tested and verified the correctness of mathematical and solid modeling，thus a research of platform for the kinetic analysis and gait optimization of humanoid robot was provided.

humanoid robot；mathematical model；kinematic simulation；Solidworks；Adams

TP24

A

10.3969/j.issn.1002-6673.2015.01.005

1002-6673（2015）01-014-04

2014-09-24

項(xiàng)目來源：中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)項(xiàng)目（2011YJ02）

馬飛（1990-），男，碩士研究生。研究方向：機(jī)器人技術(shù)與設(shè)備。