豐夢(mèng)婷+徐章韜

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn)，是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心[1].學(xué)生只有建構(gòu)起正確的數(shù)學(xué)概念，才能為后續(xù)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).因此，如何有效地開展數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是一個(gè)值得深思的問題.概念教學(xué)的本質(zhì)不是低水平的概念言語(yǔ)連鎖學(xué)習(xí)，而是要幫助學(xué)生獲得概念的心理意義，即形成概念內(nèi)涵的心理表象，或者說建構(gòu)起良好的概念圖式[2].用英國(guó)哲學(xué)家羅素的話說：“凡是你教的東西，要教得透徹.”換言之，教師須深刻剖析概念中關(guān)鍵字、詞、句，從而引導(dǎo)學(xué)生深入理解概念.迪尼斯教授基于自身在數(shù)學(xué)教育和心理學(xué)學(xué)習(xí)中的興趣和經(jīng)驗(yàn)，研究出了數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)體系，以使數(shù)學(xué)更加有趣味、更容易學(xué)習(xí).在他的《數(shù)學(xué)的建立》一書中，迪尼斯教授系統(tǒng)地闡述了他對(duì)數(shù)學(xué)教育的看法.他把數(shù)學(xué)看作是對(duì)結(jié)構(gòu)的研究、對(duì)結(jié)構(gòu)的分類、區(qū)分結(jié)構(gòu)中的關(guān)系，以及對(duì)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系進(jìn)行分類.迪尼斯的“階段論”對(duì)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義，在信息技術(shù)支持下，更能彰顯這種作用.

1 迪尼斯理論

迪尼斯認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念必須按漸進(jìn)的一些階段學(xué)習(xí)，他假定了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的六個(gè)階段：自由活動(dòng)階段、游戲階段、探究共有性階段、復(fù)現(xiàn)階段、使用符號(hào)階段、定形化階段.

第一階段：自由活動(dòng)階段 教師準(zhǔn)備豐富的材料以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)要學(xué)習(xí)的概念的一些具體和抽象的表征部分進(jìn)行動(dòng)手操作和實(shí)驗(yàn)，促使他們初步體驗(yàn)這個(gè)新概念的一些組成部分.在此過程中，學(xué)生構(gòu)成智力結(jié)構(gòu)及態(tài)度，為理解概念的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)做好準(zhǔn)備.

第二階段：游戲階段 學(xué)生進(jìn)一步對(duì)要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和操作，開始觀察并發(fā)現(xiàn)概念里的典型和規(guī)律性.通過各種含有概念不同表征的游戲，逐步發(fā)現(xiàn)它的邏輯原理.

第三階段：探究共有性階段 教師通過有關(guān)概念的具體例子幫助學(xué)生尋找每個(gè)例子中的公共原理.不同的例子是概念的不同表征，因此，例子中的公共原理是概念不同表征共有的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).

第四階段：復(fù)現(xiàn)階段 學(xué)生復(fù)現(xiàn)包含在每個(gè)例子中的所有公共原理，通過復(fù)現(xiàn)，學(xué)生更接近于去理解隱藏在概念中的抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).

第五階段：使用符號(hào)階段 學(xué)生在教師的適當(dāng)干預(yù)下選擇恰當(dāng)?shù)姆?hào)體系來描述概念的表征，在學(xué)生頭腦中建構(gòu)良好的概念圖式.

第六階段：定形化階段 學(xué)生習(xí)得概念，靈活運(yùn)用概念解決數(shù)學(xué)問題.

迪尼斯特別指出，游戲是概念學(xué)習(xí)六個(gè)階段中不可或缺的一個(gè)階段，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的一個(gè)重要工具，他把游戲劃分為無(wú)領(lǐng)導(dǎo)的“預(yù)備游戲”、“有組織的游戲”以及“實(shí)踐游戲”，在概念學(xué)習(xí)的不同時(shí)期，有效運(yùn)用不同類型的游戲可以達(dá)到事半功倍的效果.

2 基于迪尼斯理論的“旋轉(zhuǎn)”的教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 自由活動(dòng)階段——激活已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)

師：請(qǐng)同學(xué)們充分發(fā)揮自己的想象，如果世界上所有的物體都停止了轉(zhuǎn)動(dòng)，那么我們生活的世界會(huì)發(fā)生怎樣的變化？

生：電扇不能用了，鐘表停了，門沒辦法開了，不能坐旋轉(zhuǎn)木馬了......

用多媒體課件展示日常生活中常見的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象：風(fēng)扇的轉(zhuǎn)動(dòng)，門的開關(guān)，鐘面指針的轉(zhuǎn)動(dòng).

師：以上這些現(xiàn)象有什么共同特點(diǎn)？

師：如果我們把風(fēng)扇、門、鐘這些物品看成一個(gè)圖形，像這樣，把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心.旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象在我們的日常生活中隨處可見，請(qǐng)每位同學(xué)根據(jù)自己的理解給同桌表演一種旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象.

選幾位有代表性的同學(xué)上臺(tái)展示.

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過旋轉(zhuǎn)，能初步從整體上識(shí)別旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，同時(shí)，學(xué)生也在日常生活中潛移默化地積累了一些關(guān)于旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于生活中常見的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象比較熟悉，在充分把握學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，教師首先通過逆向設(shè)問，喚醒學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)，但是對(duì)于旋轉(zhuǎn)，在小學(xué)階段未曾進(jìn)行嚴(yán)格的定義，因此，首先引導(dǎo)學(xué)生觀察一系列旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，尋找其中的共同特點(diǎn)，自然而然地形成旋轉(zhuǎn)的概念.在對(duì)旋轉(zhuǎn)有了初步認(rèn)知的基礎(chǔ)上，學(xué)生通過自己表演旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象這樣一個(gè)動(dòng)手實(shí)踐的過程，有助于深化學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)概念的理解.

2.2 游戲階段——滲透概念典型規(guī)律

教師預(yù)先用幾何畫板制作如下課件：O，O′點(diǎn)是固定的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，點(diǎn)O′為A點(diǎn)和B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的起始點(diǎn)，對(duì)A點(diǎn)和B點(diǎn)分別沿逆時(shí)針和順時(shí)針做一個(gè)動(dòng)畫按鈕，并度量出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角.

點(diǎn)擊動(dòng)畫按鈕.

師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察，當(dāng)A點(diǎn)和B點(diǎn)均繞著旋轉(zhuǎn)中心O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，為什么A點(diǎn)和B點(diǎn)不能重合？

生：旋轉(zhuǎn)的方向不同，A點(diǎn)繞著點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，B點(diǎn)繞著點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng).

師：旋轉(zhuǎn)方向是旋轉(zhuǎn)的一大要素，與時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同的方向稱為順時(shí)針方向，與時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反的方向稱為逆時(shí)針方向.

教師將A點(diǎn)和B點(diǎn)從O′點(diǎn)沿順時(shí)針方向拖動(dòng).

師：A點(diǎn)和B點(diǎn)均繞著旋轉(zhuǎn)中心O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，為什么仍然不能重合？

生：它們轉(zhuǎn)動(dòng)的角度不同.

師：A點(diǎn)和B點(diǎn)從O′點(diǎn)開始轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)至如圖所示的位置時(shí)，所形成的角∠O′OA，∠O′OB叫做旋轉(zhuǎn)角.A點(diǎn)、B點(diǎn)均是O′點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

師：旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度是圖形旋轉(zhuǎn)的三大要素，現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們用一句完整的話來描述下列旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象.

教師將A點(diǎn)、B點(diǎn)拖至某一角度，由學(xué)生描述A點(diǎn)、B點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)過程.

師：請(qǐng)同學(xué)們完整描述這兩點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)過程.

生1：A點(diǎn)從O′點(diǎn)開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°.

生2：B點(diǎn)從O′點(diǎn)開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°.

……

由教師描述旋轉(zhuǎn)過程，分別請(qǐng)三位同學(xué)利用幾何畫板進(jìn)行演示，教師對(duì)學(xué)生的演示進(jìn)行評(píng)價(jià).

設(shè)計(jì)意圖 點(diǎn)和線是幾何圖形中最基本的元素，從點(diǎn)、線入手，更接近于

學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，不至于讓學(xué)生產(chǎn)生突兀感.學(xué)生通過觀察、對(duì)比、分析，不難得到旋轉(zhuǎn)的三大要素——旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度，并且通過語(yǔ)言的完整描述以及動(dòng)手操作的雙向演練，鞏固對(duì)旋轉(zhuǎn)三要素的理解，使學(xué)生充分感受整個(gè)旋轉(zhuǎn)的過程，以及旋轉(zhuǎn)的三大要素對(duì)旋轉(zhuǎn)過程的影響.

2.3 探究共有性階段——提煉蘊(yùn)含公共原理

問題1：

教師預(yù)先用幾何畫板制作如下課件，點(diǎn)擊動(dòng)畫點(diǎn)，△ABC即繞著旋轉(zhuǎn)中心O轉(zhuǎn)動(dòng).

師：△ABC繞著旋轉(zhuǎn)中心O旋轉(zhuǎn)，得到△A′B′C′，猜想，線段OA與OA′有什么關(guān)系？∠AOA′與∠BOB′有什么關(guān)系？△ABC與△A′B′C′形狀和大小有什么關(guān)系？

生：OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′，△ABC≌△A′B′C′，

教師拖動(dòng)D點(diǎn)，則三角形旋轉(zhuǎn)至不同的位置，選取幾個(gè)不同的位置，分別用

幾何畫板度量出線段的長(zhǎng)度、角度的大小，以驗(yàn)證學(xué)生的猜想.

師：剛剛我們的猜想是成立的，OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′，那么如何證明△ABC≌△A′B′C′？

學(xué)生借助全等三角形的知識(shí)展開證明.

師：這三個(gè)等式分別對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)中的三大特征，如何用文字語(yǔ)言來描述這三大特征呢？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生得到：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.

設(shè)計(jì)意圖 在本階段，學(xué)生已經(jīng)熟悉了點(diǎn)線的旋轉(zhuǎn)以及旋轉(zhuǎn)的三大要素，本階段旨在讓學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)的三大特征，這也是旋轉(zhuǎn)一節(jié)教學(xué)的難點(diǎn)所在，三角形是最簡(jiǎn)單的幾何圖形，借助幾何畫板，將三角形旋轉(zhuǎn)至不同的位置，通過度量長(zhǎng)度和角度，以驗(yàn)證學(xué)生的猜想.學(xué)生通過觀察、猜想、證明，自然而然地得到三大特征.

2.4 復(fù)現(xiàn)階段——深入挖掘數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

問題2：

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)诜礁窦埳袭嫵觥鱋AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形.

師：先找出旋轉(zhuǎn)的三要素，再利用旋轉(zhuǎn)的三大特征.

在陸續(xù)有同學(xué)完成作圖后，教師總結(jié)步驟.

師：①先找出旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心——O；旋轉(zhuǎn)方向——順時(shí)針；旋轉(zhuǎn)角度——90°；

②根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角這兩大特征，先描繪出對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再由旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，將對(duì)應(yīng)點(diǎn)進(jìn)行連線即可.

在總結(jié)步驟的同時(shí)，教師借助幾何畫板進(jìn)行操作.

問題3：

師：請(qǐng)同學(xué)們畫出矩形ABCO繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形.

設(shè)計(jì)意圖 問題2的設(shè)計(jì)是旋轉(zhuǎn)的要素及特征的靈活運(yùn)用，通過前面的動(dòng)手操作以及觀察、猜想、分析、歸納等一系列思維活動(dòng)，部分學(xué)生能運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的特征畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，教師具體操作，并總結(jié)作圖步驟，再設(shè)計(jì)問題3，進(jìn)行鞏固練習(xí).

2.5 使用符號(hào)階段——建構(gòu)良好概念圖式

師：請(qǐng)同學(xué)們合上書本，用自己喜歡的圖形把我們這節(jié)課你所學(xué)到的知識(shí)點(diǎn)寫出來.

選取幾個(gè)完整且有特色的小結(jié)進(jìn)行展示.

設(shè)計(jì)意圖 課堂小結(jié)是對(duì)一堂課數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法的總結(jié)，在實(shí)際教學(xué)過程中往往因?yàn)闀r(shí)間緊湊被忽略，但是，進(jìn)行課堂小結(jié)有助于學(xué)生理清本節(jié)課知識(shí)主干及其聯(lián)系，而使用自己喜歡的圖形進(jìn)行描述，則能使其印象更加深刻.

2.6 定形化階段——拓展延伸感性經(jīng)驗(yàn)

師：把一個(gè)圖案進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，選擇不同的中心和旋轉(zhuǎn)角，會(huì)出現(xiàn)不同的效果.

旋轉(zhuǎn)中心不變，改變旋轉(zhuǎn)角度（圖7）：

旋轉(zhuǎn)角度不變，改變旋轉(zhuǎn)中心（圖8）：

利用幾何畫板展示簡(jiǎn)單圖案通過旋轉(zhuǎn)變成美麗圖案的過程，并要求學(xué)生課后利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)一個(gè)美麗的圖案（圖9）.

設(shè)計(jì)意圖 通過動(dòng)態(tài)演示美麗圖案的形成過程，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，感受數(shù)學(xué)美，同時(shí)，學(xué)生對(duì)于旋轉(zhuǎn)的感性認(rèn)識(shí)不再局限于生活中一些常見的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，拓展延伸了學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn).

3 教學(xué)反思與探討

3.1 有效運(yùn)用動(dòng)手實(shí)踐

維果茨基的研究表明，學(xué)生將要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的觀念之間存在一個(gè)最近發(fā)展區(qū)，順利渡過最近發(fā)展區(qū)是建構(gòu)起良好概念圖式的關(guān)鍵.動(dòng)手實(shí)踐作為一種教學(xué)方式，可以為抽象概念的學(xué)習(xí)提供經(jīng)驗(yàn)，為理解將要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念做好準(zhǔn)備，為發(fā)現(xiàn)概念的邏輯原理提供鋪墊.數(shù)學(xué)教學(xué)中有效運(yùn)用動(dòng)手實(shí)踐，順應(yīng)了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律和學(xué)習(xí)心理，通過動(dòng)手操作，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)概念的形成過程，使得最近發(fā)展區(qū)順利過渡，因此，在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)，動(dòng)手實(shí)踐是一種良好的輔助教學(xué)方式.

3.2 親歷概念形成過程

迪尼斯指出，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念必須經(jīng)歷一個(gè)固定的自然過程.學(xué)生對(duì)于直接被呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)概念只有生硬地了解，只有當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的整個(gè)形成過程時(shí)，學(xué)生才能一環(huán)緊扣一環(huán)地思考，從而深入理解概念，感悟概念本質(zhì)，建構(gòu)良好概念圖式.同時(shí)，在展現(xiàn)過程的概念教學(xué)中，學(xué)生擁有更多獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)，因此，親歷概念的形成過程，也有助于鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.而教師在教學(xué)過程中適當(dāng)使用信息技術(shù)，概念的整個(gè)形成過程的呈現(xiàn)則顯得更加流暢，對(duì)學(xué)生深入透徹地理解概念不無(wú)裨益.

參考文獻(xiàn)

[1] 劉華祥.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2003.8：112.

[2] [美]貝爾著，許振聲等譯.中學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)[M].北京：人民教育出版社，2001.