張衛(wèi)星

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題;借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)潔、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果;幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。筆者認(rèn)為，幾何直觀是利用圖形洞察問題本質(zhì)的一種方式，它既有形象思維的特點(diǎn)，又有抽象思維的特點(diǎn)。如果能夠?qū)缀沃庇^作為一種重要的方法、思想滲透于日常教學(xué)中，就能幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，提高解決問題的能力。那么，如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)小學(xué)生的幾何直觀能力呢？

一、以形譯數(shù)，讓抽象的數(shù)變直觀

按照雙重編碼理論，造成數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)和記憶困難的主要原因在于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料（數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)）具有高度的抽象性，它不容易喚起視覺印象。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行心理印象方面的訓(xùn)練。即在知識(shí)的形成階段，充分利用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料數(shù)與形統(tǒng)一的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)的言語(yǔ)表征轉(zhuǎn)化為表象表征，將數(shù)譯成形，形成科學(xué)、合理的概念系統(tǒng)。

如，一位教師教學(xué)“認(rèn)識(shí)一位小數(shù)”時(shí)，就特別強(qiáng)調(diào)將數(shù)的意義通過直觀的形式表現(xiàn)出來(lái)。教師先后組織了三個(gè)層次的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)譯成形。第一個(gè)層次，讓學(xué)生用語(yǔ)言描述0.1的含義，既激發(fā)了學(xué)生對(duì)0.1的已有認(rèn)識(shí)，又為下面畫圖表示0.1做了必要的準(zhǔn)備。第二個(gè)層次，讓學(xué)生在表示整數(shù)“1”的正方形中分一分、涂一涂，表示出0.1的大小，再用語(yǔ)言描述所畫圖的含義。結(jié)果，學(xué)生有4種表示方法，即把正方形平均分成10行，涂其中的一行;把正方形平均分成10列，涂其的一列;把正方形平均分成5行2列，涂其中的一份;把正方形平均分成兩行5列，涂其中的一份。如果把這四種方法進(jìn)行歸類，實(shí)質(zhì)上是兩種表示方法（如圖1、圖2）。

圖1 ? ? ? 圖2

第三個(gè)層次，引導(dǎo)學(xué)生借助一個(gè)被平均分成10份的長(zhǎng)方形，涂色表示出其他的“零點(diǎn)幾”，并由此歸納一位小數(shù)的含義。這樣以形譯數(shù)，把抽象的數(shù)變得直觀可見，既幫助學(xué)生理解了一位小數(shù)的意義，又有利于學(xué)生積累更豐富的用圖形表征數(shù)學(xué)概念的經(jīng)驗(yàn)。更為重要的是增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)感，發(fā)展了他們的幾何直觀能力。

二、以形譯式，讓抽象的式變直觀

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，有相當(dāng)一部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)都是伴隨著幾何意義而存在的。教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)幾何意義的闡釋，有利于學(xué)生形成知識(shí)表象，促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和記憶，積累表象建構(gòu)的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也為問題解決過程中的表象遷移提供了潛在的可能。特別是對(duì)于一些難以用語(yǔ)言表達(dá)的抽象算式，如果能用直觀的圖形表示出來(lái)，就可以讓抽象的算理變得通俗易懂，從而讓學(xué)生輕松學(xué)會(huì)。

如，教學(xué)“乘法的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，首先引導(dǎo)學(xué)生用加法式子表示各種圖形的的含義（如圖3），然后利用圖4讓學(xué)生感受列加法算式比較麻煩，從而想到用簡(jiǎn)潔的算式，即乘法算式來(lái)表達(dá)。最后，利用圖5來(lái)溝通直觀圖形、加法算式、乘法算式之間的聯(lián)系。

這樣教學(xué)，就為學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)乘法意義的表象提供了豐富的素材，加深了學(xué)生對(duì)乘法意義的理解，式與形實(shí)現(xiàn)了完美統(tǒng)一，使學(xué)生初步獲得了利用圖形直觀描述數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)。

圖3 ? ? ? 圖4 ? ? ? 圖5

又如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”時(shí)，設(shè)計(jì)如圖6這幅圖片：

圖6

當(dāng)學(xué)生理解了這幅圖的含義，對(duì)于÷=3的理解也就水到渠成?？梢姡鶕?jù)學(xué)生的特點(diǎn)適度以形譯式，可能會(huì)取得意想不到的效果。

三、以形譯形，讓抽象的形變直觀

小學(xué)生的空間觀念薄弱，主要因?yàn)樗麄兡挲g小，知覺水平尚處于低級(jí)階段，抽象思維能力相對(duì)較弱。學(xué)生初次接觸的幾何圖形是從整體上認(rèn)識(shí)的，不會(huì)關(guān)注圖形的細(xì)節(jié)，是一種照相機(jī)式的認(rèn)識(shí)方法。他們難以對(duì)圖形進(jìn)行合理地想象，難以正確地理解圖形的內(nèi)涵。因此，小學(xué)生學(xué)習(xí)幾何需要更多的經(jīng)驗(yàn)，通過觀察比較，獲得對(duì)圖形豐富的感性認(rèn)識(shí)，從而較好地把握?qǐng)D形的本質(zhì)特征。

如，教學(xué)“認(rèn)識(shí)梯形”時(shí)，教師設(shè)計(jì)了如下的一組圖形（如圖7），讓學(xué)生辨認(rèn)。

圖7

這樣通過位置變換，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)在不同位置狀態(tài)下的梯形，學(xué)生對(duì)梯形的認(rèn)識(shí)就會(huì)全面而深刻。

又如，在學(xué)生學(xué)完“長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)”后，設(shè)計(jì)如下一道習(xí)題：

兩個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)4厘米，寬3厘米。如果將這兩個(gè)圖形拼成一個(gè)新的大長(zhǎng)方形，這個(gè)新的大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)至少是多少厘米？

學(xué)生的認(rèn)識(shí)比較膚淺，初做這道題，全班同學(xué)幾乎“全軍覆沒”，他們都是先求出一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，然后再將這個(gè)周長(zhǎng)乘2就是大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。為此，教師利用課件展示如下兩種拼的結(jié)果（如圖8、圖9）：

圖8

圖9

在這兩個(gè)直觀圖形的參照下，學(xué)生經(jīng)過思考、交流、討論，最后算出圖8的周長(zhǎng)是22厘米，圖9的周長(zhǎng)是20厘米。在此基礎(chǔ)上，教師再讓學(xué)生說說為什么這兩個(gè)大長(zhǎng)方形周長(zhǎng)會(huì)不一樣。學(xué)生通過觀察知道，圖8減少了兩條寬，而圖9減少了兩條長(zhǎng)，因此周長(zhǎng)不一樣。至此，學(xué)生也就明白“至少”的含義。

上述這兩個(gè)例子帶給我們的啟示是：想讓學(xué)生牢固把握幾何圖形的內(nèi)涵，就應(yīng)當(dāng)重感知、重體驗(yàn)、重理解，用圖形的直觀幫助學(xué)生理解圖形的本質(zhì)。

四、以形譯聯(lián)，讓抽象的聯(lián)變直觀

盡管不同數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵不同，但它們之間卻并非毫無(wú)聯(lián)系。不要把幾何直觀簡(jiǎn)單地等同于能用圖形描述問題的技能，幾何直觀更為深遠(yuǎn)的意義表現(xiàn)為能夠借助圖形去分析知識(shí)之間的聯(lián)系，從而讓學(xué)生建立正確的、穩(wěn)固的知識(shí)結(jié)構(gòu)。因此，當(dāng)學(xué)生遇到一些難以厘清的相關(guān)概念之間的關(guān)系時(shí)，教師要適時(shí)以形譯聯(lián)，讓抽象的知識(shí)變得更直觀。如，教學(xué)“長(zhǎng)方形和正方形的關(guān)系”時(shí)，學(xué)生常會(huì)說“長(zhǎng)方形是特殊的正方形”，究其原因是學(xué)生沒有厘清兩者的關(guān)系。為此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生一起畫韋恩圖（如圖10）：