余治民　劉子建　董思科　李斯明　艾彥迪

湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)沙,410082

基于蒙特卡洛模擬與響應(yīng)面方法的公差建模

余治民劉子建董思科李斯明艾彥迪

湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)沙,410082

針對(duì)現(xiàn)有機(jī)床精度設(shè)計(jì)方法實(shí)用性不強(qiáng)的問題,提出了一種基于蒙特卡洛模擬與響應(yīng)面方法的公差建模方法。采用基于數(shù)學(xué)定義的公差分析理論建立公差的變動(dòng)不等式與約束不等式;運(yùn)用蒙特卡洛模擬法進(jìn)行仿真試驗(yàn)，模擬實(shí)際公差表面的變動(dòng)，生成公差變動(dòng)要素的實(shí)際變動(dòng)區(qū)間;以公差與試驗(yàn)得到的公差變動(dòng)要素實(shí)際變動(dòng)區(qū)間帶寬值為建模樣本，運(yùn)用響應(yīng)面方法建立兩者間的響應(yīng)面模型;對(duì)一個(gè)典型實(shí)例進(jìn)行分析,分析結(jié)果表明,該方法符合工程實(shí)際，具有較高的建模精度及技術(shù)經(jīng)濟(jì)性。

蒙特卡洛模擬；響應(yīng)面法；小位移旋量；約束不等式；變動(dòng)不等式

0　引言

科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步促使機(jī)床朝著高速和高精度方向發(fā)展,機(jī)床精度性能的設(shè)計(jì)與提高變得日益重要。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在機(jī)床精度設(shè)計(jì)領(lǐng)域開展了大量的研究,取得了一定的進(jìn)展。文獻(xiàn)[1-3]運(yùn)用多體運(yùn)動(dòng)學(xué)理論建立了機(jī)床的誤差傳遞模型;文獻(xiàn)[4-5]分析了加載時(shí)工作零件的變形量,將其轉(zhuǎn)變?yōu)檠趴杀刃啃拚? 通過對(duì)雅可比旋量公差模型在實(shí)際工況下的修正, 建立了基于雅可比旋量和實(shí)際工況的裝配體公差數(shù)學(xué)模型;文獻(xiàn)[6]給出了三維公差累積運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的一般表示式,研究了該模型在公差優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。但上述研究都將機(jī)床零部件間的幾何變量約束統(tǒng)一用6項(xiàng)公差變動(dòng)要素(3項(xiàng)平動(dòng)誤差與3項(xiàng)轉(zhuǎn)動(dòng)誤差)進(jìn)行描述,而公差變動(dòng)要素與零部件公差之間的關(guān)系并不明確,無法建立反映零部件公差與機(jī)床精度映射關(guān)系的數(shù)學(xué)模型,也就無法有效地對(duì)機(jī)床零部件公差進(jìn)行合理分配，只能根據(jù)并不完善的公差模型來進(jìn)行公差分配,可靠性低。因此,建立能用于工程實(shí)際且定義嚴(yán)格的公差模型，對(duì)機(jī)床的精度分析與分配研究具有重要意義。

公差建模的關(guān)鍵是可以對(duì)滿足公差的公差變動(dòng)要素作出正確的解釋[7],即公差變動(dòng)要素如何在公差域中變動(dòng)。文獻(xiàn)[8-10]運(yùn)用基于數(shù)學(xué)定義的公差建模方法，用變動(dòng)不等式和約束不等式嚴(yán)謹(jǐn)?shù)孛枋隽斯钭儎?dòng)要素與公差間的關(guān)系，建立了不同類型公差的數(shù)學(xué)模型,但由于約束不等式中變動(dòng)要素存在變動(dòng)順序不確定性,難以得到公差變動(dòng)要素實(shí)際變動(dòng)區(qū)間與公差間的具體函數(shù)關(guān)系,因此該模型無法用于直接指導(dǎo)精度設(shè)計(jì)。

本文以平面尺寸公差與平面度公差為研究對(duì)象，在深入研究基于數(shù)學(xué)定義的公差分析方法的基礎(chǔ)上,將蒙特卡洛模擬與響應(yīng)面方法應(yīng)用于公差建模，考慮公差原則及約束條件等因素對(duì)公差變動(dòng)要素的影響，建立變動(dòng)要素實(shí)際變動(dòng)區(qū)間帶寬與公差間的響應(yīng)面模型，以解決現(xiàn)有精度設(shè)計(jì)方法實(shí)用性不強(qiáng)的問題，并通過典型實(shí)例驗(yàn)證該方法的有效性。

1　基于小位移旋量的公差數(shù)學(xué)表示

三維空間中，物體表面可抽象為點(diǎn)、線、面等基本要素,并有3個(gè)沿坐標(biāo)軸方向的平動(dòng)自由度和3個(gè)繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。用d=(u,v,w)和θ=(α,β,δ)分別表示平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的微小變動(dòng)矢量，則這兩組矢量組成的合成矢量D=(θ,d)=(α,β,δ,u,v,w)稱為小位移旋量(smalldisplacementtorsors,SDT),α、β、δ、u、v、w為SDT的旋量參數(shù)。

公差域表示公差實(shí)際表面脫離名義表面變動(dòng)的范圍或區(qū)域，而物體表面的點(diǎn)、線、面等基本要素的變動(dòng)量均可以通過各自的SDT表示。據(jù)此，Bourdet 在1996年首次將SDT引入到公差領(lǐng)域，提出了基于SDT的公差數(shù)學(xué)表示方法[11],即用旋量參數(shù)的變動(dòng)來描述公差實(shí)際表面在公差域中的變動(dòng)。旋量參數(shù)也稱為公差變動(dòng)要素。表1列出了幾種形位公差對(duì)應(yīng)的公差域和SDT。

2　基于蒙特卡洛模擬與響應(yīng)面方法的公差建模

公差分為尺寸公差、形狀公差和位置公差。針對(duì)尺寸公差和位置公差，分析時(shí)可以假設(shè)變動(dòng)后公差實(shí)際表面的形狀保持不變，即平面變動(dòng)后依舊為平面，直線變動(dòng)后依舊為直線，但對(duì)于形狀公差，這一假設(shè)并不成立[12]。為此，本文從兩類公差中各取一例，詳細(xì)闡述基于蒙特卡洛模擬與響應(yīng)面方法的公差建模步驟,其他類型的公差建模可依此類推。

2.1平面尺寸公差建模

2.1.1求解公差變動(dòng)不等式與約束不等式

平面尺寸公差規(guī)定的公差域形式如圖1所示。圖中,TU、TL分別為上下偏差,公差T=TU+TL;D為基本尺寸;局部坐標(biāo)系的z軸與平面法向平行。對(duì)于矩形平面,坐標(biāo)系原點(diǎn)在平面中心位置;對(duì)于不規(guī)則平面,可用一等效矩形替代,則原點(diǎn)在等效矩形的中心位置。z=0表示名義公差平面;z(x,y)表示實(shí)際變動(dòng)平面。由表1可知,變動(dòng)平面z(x,y)對(duì)應(yīng)的SDT為(α,β,0,0,0,w)T。尺寸公差用數(shù)學(xué)表示如下:

-TL≤z(x,y)≤TU

(1)

-(TL+TU)≤Δz(x,y)≤TL+TU

(2)

表1　不同類型公差及其對(duì)應(yīng)的公差域和SDT

圖1　平面尺寸公差域

其中,z(x,y)=dz+xβ+yα為實(shí)際變動(dòng)平面方程,dz為實(shí)際變動(dòng)平面中心點(diǎn)與參考坐標(biāo)系原點(diǎn)在z方向上的位移；Δz(x,y)為變動(dòng)平面z(x,y)上任意兩點(diǎn)的z坐標(biāo)值之差。由于變動(dòng)后公差實(shí)際表面的形狀保持不變,仍為矩形平面,極值情況必然發(fā)生在平面的4個(gè)頂點(diǎn)處,因此只需考慮變動(dòng)平面頂點(diǎn)的z向坐標(biāo)值是否在公差域內(nèi)即可。

由圖1可知,4個(gè)頂點(diǎn)的x、y向坐標(biāo)分別為(a,b)、(-a,b)、(a,-b)、(-a,-b),由實(shí)際變動(dòng)平面方程可知,4個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

S1=(a,b,dz+aβ+bα)

S2=(-a,b,dz-aβ+bα)

S3=(a,-b,dz+aβ-bα)

S4=(-a,-b,dz-aβ-bα)

由式(1)可得

(3)

由式(2)、式(3)可得旋量參數(shù)的變動(dòng)不等式[8]為

(4)

約束不等式[8]為

(5)

-TL≤w+xβ+yα≤TU

(6)

其中，x、y分別取4個(gè)頂點(diǎn)的x、y向坐標(biāo)值。

變動(dòng)不等式式(4)定義了旋量參數(shù)的理想變動(dòng)區(qū)間。約束不等式的存在使旋量參數(shù)不可能同時(shí)取最大值，參數(shù)的實(shí)際變動(dòng)區(qū)間比理想變動(dòng)區(qū)間要小，如果按旋量參數(shù)的理想變動(dòng)區(qū)間進(jìn)行精度設(shè)計(jì),則會(huì)提高零件加工精度的要求，增加制造成本。而旋量參數(shù)實(shí)際變動(dòng)區(qū)間與公差間的具體關(guān)系尚不明確。

2.1.2蒙特卡洛模擬法求解旋量參數(shù)實(shí)際變動(dòng)區(qū)間

蒙特卡洛模擬法也稱為隨機(jī)模擬方法,它以概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)，通過對(duì)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)和隨機(jī)模擬來求解問題近似解。由于多種因素綜合作用的影響，產(chǎn)品公差實(shí)際表面變動(dòng)的形式在公差域內(nèi)是無法預(yù)知的，具有隨機(jī)性，其分布的規(guī)律隨加工條件而定,因此,與公差對(duì)應(yīng)的SDT旋量參數(shù)也是隨機(jī)量[13]。由式(4)～式(6)可知,旋量參數(shù)的變動(dòng)順序不同，其最終的取值也會(huì)不同。本文根據(jù)變動(dòng)不等式和約束不等式，運(yùn)用蒙特卡洛模擬法，按給定的參數(shù)分布類型和變動(dòng)順序進(jìn)行模擬試驗(yàn)，生成相應(yīng)的參數(shù)隨機(jī)數(shù)，模擬實(shí)際公差表面的變動(dòng)，對(duì)滿足約束條件的隨機(jī)數(shù)加以保留，不滿足約束條件的則剔除，當(dāng)產(chǎn)生足夠多滿足條件的隨機(jī)數(shù)樣本后，對(duì)樣本進(jìn)行分析，求解出對(duì)應(yīng)旋量參數(shù)的變動(dòng)區(qū)間帶寬，再根據(jù)變動(dòng)區(qū)間帶寬和均值得到旋量參數(shù)的實(shí)際變動(dòng)區(qū)間。求解步驟如下:

(1)根據(jù)研究對(duì)象的具體情況，確定旋量參數(shù)的理想概率分布模型。本文假定旋量參數(shù)的分布函數(shù)均為正態(tài)分布:

式中，μ、σ分別為正態(tài)分布的均值和均方差。

(3)根據(jù)抽樣規(guī)則對(duì)旋量參數(shù)進(jìn)行抽樣。3個(gè)非零旋量參數(shù)共有6種變動(dòng)順序，為了盡可能地模擬零件的實(shí)際加工工況,對(duì)每一種變動(dòng)順序都進(jìn)行抽樣。以變動(dòng)順序α→β→w為例,其抽樣流程如圖2所示。

圖2　抽樣流程一

圖2中,k的初始值為1;K為要求抽取的合格樣本數(shù),為保證模擬精度,K>20 000;K1、K2為常量,根據(jù)具體研究對(duì)象而定。設(shè)置判別式k1

按6種變動(dòng)順序編程進(jìn)行抽樣后,α、β、w均得到容量為6K的實(shí)際變動(dòng)區(qū)間帶寬樣本。

(4)旋量參數(shù)實(shí)際分布函數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。由于約束不等式式(5)、式(6)的限制，旋量參數(shù)的實(shí)際分布類型并不一定與理想分布類型相同,故需對(duì)實(shí)際分布類型進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。本文采用χ3擬合檢驗(yàn)法,以參數(shù)α為例,其基本思路為:在α分布未知時(shí),先根據(jù)抽樣獲得的觀測(cè)值對(duì)α的分布類型作出假設(shè):

H0∶F(α)=F0(α)

式中,F0(α)為假設(shè)的α分布函數(shù)。

將實(shí)數(shù)軸分為k個(gè)互不相交的區(qū)間(ai,ai+1](i=1,2,…,k),其中a1、ak+1可分別取-∞、+∞,區(qū)間的劃分視具體情況而定。在假設(shè)H0下計(jì)算概率:

pi=F(ai+1)-F(ai)=P(ai<α

計(jì)算理論頻數(shù)。由于α的樣本容量為6K,因此理論頻數(shù)為6Kpi。

計(jì)算樣本觀察值落入?yún)^(qū)間(ai,ai+1]中的個(gè)數(shù)fi(i=1,2,…,k),fi稱為實(shí)際頻數(shù)。

計(jì)算統(tǒng)計(jì)量

當(dāng)樣本容量6K≥50時(shí),統(tǒng)計(jì)量χ2近似服從自由度為k-r-1的χ2分布(r為確定F0(α)表達(dá)式中被估計(jì)參數(shù)的個(gè)數(shù),如F0(α)為正態(tài)分布,則r=2)。

(5)采用極大似然估計(jì)法估計(jì)實(shí)際分布函數(shù)的參數(shù)。如果經(jīng)第(4)步假設(shè)檢驗(yàn)驗(yàn)證α也屬于正態(tài)分布N(μ,σ2),則根據(jù)α的樣本,采用極大似然估計(jì)法估計(jì)α分布函數(shù)的參數(shù),得到μ與σ2的極大似然估計(jì)量為

由于變動(dòng)不等式與約束不等式均具有對(duì)稱性,故旋量參數(shù)實(shí)際分布的均值近似等于理想分布的均值。

(6)求解旋量參數(shù)的實(shí)際變動(dòng)區(qū)間。根據(jù)參數(shù)的實(shí)際分布函數(shù)類型與均方差，查表得到參數(shù)的實(shí)際變動(dòng)區(qū)間帶寬:

其中,G表示相對(duì)分布系數(shù),如果旋量參數(shù)為正態(tài)分布，則G等于1。旋量參數(shù)的實(shí)際變動(dòng)區(qū)間為

2.1.3運(yùn)用響應(yīng)面法建立旋量參數(shù)實(shí)際變動(dòng)區(qū)間帶寬與公差間的響應(yīng)面函數(shù)

響應(yīng)面方法是數(shù)學(xué)方法與統(tǒng)計(jì)方法相結(jié)合的一種建模方法,主要用于解決如何建立復(fù)雜系統(tǒng)輸入(變量)與輸出(響應(yīng))之間近似函數(shù)關(guān)系的問題。其基本思路是,依據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)原則選定設(shè)計(jì)空間中的試驗(yàn)點(diǎn)，用多組試驗(yàn)點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值擬合響應(yīng)面曲面，從而構(gòu)造具有明確表達(dá)形式的顯式函數(shù)[14-15]。

通過前文分析可知，只要確定了旋量參數(shù)實(shí)際變動(dòng)區(qū)間帶寬即可確定參數(shù)的實(shí)際變動(dòng)區(qū)間。對(duì)于任意的平面尺寸公差均可通過蒙特卡洛模擬法得到與之對(duì)應(yīng)的旋量參數(shù)實(shí)際變動(dòng)區(qū)間帶寬的響應(yīng)值，但兩者間的函數(shù)關(guān)系并不明確，無法用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)公式表達(dá)。為此，本文采用響應(yīng)面方法，建立公差與旋量參數(shù)實(shí)際變動(dòng)區(qū)間帶寬間的響應(yīng)面模型,進(jìn)而確定公差與旋量參數(shù)實(shí)際變動(dòng)區(qū)間之間的響應(yīng)關(guān)系，為后續(xù)的精度分析與精度分配研究打下基礎(chǔ)。建模的步驟如下:

Fy=c0+c1T+c2T2y=α,β,w

式中,ci(i=0,1,2)為待求系數(shù)。

采用最小二乘法求解C=[c0c1c2]T的無偏估計(jì):

(3)驗(yàn)證模型精度。響應(yīng)面生成后，采用復(fù)相關(guān)系數(shù)R2對(duì)響應(yīng)面模型進(jìn)行驗(yàn)證，其表達(dá)式為

復(fù)相關(guān)系數(shù)R2代表了響應(yīng)面預(yù)測(cè)值與真值之間的差異程度,在0～1之間取值,值越大,表示差異度越小。

2.2平面度公差建模

形位公差數(shù)學(xué)建模的目的是確定形位公差域邊界的變動(dòng)范圍及公差變動(dòng)要素的表示方法。由工程實(shí)踐可知，對(duì)某幾何要素給出形位公差的原因是：當(dāng)其他的公差(如尺寸公差)存在，但仍不能滿足對(duì)幾何要素形位變動(dòng)限制的要求時(shí)，需要給出公差值較小的形位公差來進(jìn)一步限制。實(shí)際上，尺寸公差與形位公差是同一實(shí)際幾何要素反映的兩種不同概念的公差，是同一問題的兩個(gè)方面。因此，在研究形位公差的建模時(shí)不能離開尺寸公差而單獨(dú)處理，需要進(jìn)一步研究形位公差與尺寸公差的關(guān)系，即要考慮公差原則。

由GB4249-1996可知，公差原則包含獨(dú)立原則和相關(guān)要求，相關(guān)要求中又分為包容要求、最大實(shí)體要求和最小實(shí)體要求。本文以獨(dú)立原則為例，對(duì)平面度公差進(jìn)行建模。

2.2.1求解平面度公差變動(dòng)不等式與約束不等式

由平面度的定義可知,若平面度大小為TF,則平面上所有的點(diǎn)均必須位于距離為TF的兩平行平面所形成的公差域內(nèi)。用Bottom和Top分別表示兩平行平面,Bottom面表示材料邊內(nèi)的平面，Top面表示材料外的平面,平面度公差規(guī)定的形式如圖3所示。

(a)平面度公差

(b)平面度公差域圖3　平面度公差及其公差域

圖3中,+TSU、-TSL分別表示尺寸公差TS的上下偏差;TF表示平面度公差;平面A為基準(zhǔn)平面,平面B為變動(dòng)平面。設(shè)Bottom與Top平面對(duì)應(yīng)的SDT分別為(αB,βB,0,0,0,wB)T、(αT,βT,0,0,0,wT)T,則Bottom面和Top面的變動(dòng)方程分別為

zB=wB+xβB+yαB

zT=wT+xβT+yαT=

由獨(dú)立原則可知,平面B必須在尺寸公差域(ST域)內(nèi),即與平面A相距D-TSL～D+TSU的區(qū)域。此時(shí),對(duì)平面度公差域(FT域)的唯一限制是在FT域內(nèi)存在一個(gè)平面，它同時(shí)也在ST域。采用基于數(shù)學(xué)定義的公差分析方法求解得到Bottom面旋量參數(shù)的變動(dòng)不等式為

(7)

約束不等式為

-TSL-TF≤xβB+yαB≤TSU

(8)

-TSL-TF≤wB+xβB+yαB≤TSU

(9)

其中x、y分別取Bottom面4個(gè)頂點(diǎn)的x、y向坐標(biāo)值。

由于Bottom面和Top面互相平行,故有

αT=αB,βT=βB,wT=wB+TF

(10)

通過式(7)～式(10)確定了Bottom和Top面的變動(dòng)范圍,但變動(dòng)平面在Bottom和Top面限制的區(qū)域中如何分布并不確定。為此,本文采用二元線性回歸法求解變動(dòng)平面旋量參數(shù)的值,其基本思路如下:已知Bottom和Top面的方程，在名義平面內(nèi)設(shè)置m×n個(gè)取樣點(diǎn)，使之成m×n網(wǎng)格分布，通過隨機(jī)模擬法對(duì)每個(gè)取樣點(diǎn)在Bottom和Top面限制的范圍內(nèi)取z值,這樣就得到Q(Q=m×n)個(gè)平面度區(qū)域內(nèi)的模擬點(diǎn)。根據(jù)Q個(gè)模擬點(diǎn)的值，采用二元線性回歸算法計(jì)算得到變動(dòng)平面旋量參數(shù)的值。旋量參數(shù)的表達(dá)式如下:

2.2.2蒙特卡洛模擬法求解旋量參數(shù)實(shí)際變動(dòng)區(qū)間

由于可以假設(shè)變動(dòng)后公差實(shí)際表面的形狀保持不變,故用蒙特卡洛模擬法求解尺寸公差旋量參數(shù)實(shí)際變動(dòng)區(qū)間時(shí)，通過模擬抽樣得到的旋量參數(shù)值即可作為公差的實(shí)際旋量參數(shù)。與尺寸公差不同之處在于，形狀公差只確定了公差特征要素的分布區(qū)域，通過蒙特卡洛模擬法抽樣只能確定公差特征要素分布區(qū)域的上下邊界(即Bottom和Top面),而特征要素在區(qū)域內(nèi)如何分布仍不確定，需要再采用二元線性回歸法求解公差的實(shí)際旋量參數(shù)。求解步驟如下：

(1)根據(jù)研究對(duì)象的具體情況，確定旋量參數(shù)的理想概率分布模型。本文假定旋量參數(shù)的分布函數(shù)均為正態(tài)分布:

(2)根據(jù)Bottom面變動(dòng)不等式式(7)確定各旋量參數(shù)理想分布的均值與方差。由式(7)可知，旋量參數(shù)αB、βB、wB理想分布的均值與方差分別為

(3)根據(jù)抽樣規(guī)則對(duì)旋量參數(shù)進(jìn)行抽樣。Bottom面的3個(gè)非零旋量參數(shù)同樣有6種變動(dòng)順序,需對(duì)每一種變動(dòng)順序都進(jìn)行抽樣。以變動(dòng)順序αB→βB→wB為例,其抽樣流程如圖4所示。

圖4　抽樣流程二

按6種變動(dòng)順序進(jìn)行抽樣后,α、β、w均得到容量為6K的實(shí)際變動(dòng)區(qū)間帶寬樣本。

第(4)～(6)步與2.1.2節(jié)所述過程相似，在此不再重復(fù)闡述。

2.2.3運(yùn)用響應(yīng)面法建立旋量參數(shù)實(shí)際變動(dòng)區(qū)間帶寬與公差間的響應(yīng)面函數(shù)

由式(7)可知,與尺寸公差響應(yīng)面方法建模的不同之處在于，平面度公差建模過程中包含尺寸公差和平面度公差2個(gè)設(shè)計(jì)變量,需同時(shí)考慮這兩者對(duì)變動(dòng)區(qū)間帶寬的影響,建模的步驟如下：

式中,ci(i=0,1,…,4)為待求系數(shù)。

采用最小二乘法求解C=[c0c1c2c3c4]T的無偏估計(jì)

(3)驗(yàn)證模型精度。與2.1.3節(jié)所述過程相似,在此不再重復(fù)闡述。

3　實(shí)例分析

圖5　α變動(dòng)區(qū)間帶寬

圖6　β變動(dòng)區(qū)間帶寬

圖7　w變動(dòng)區(qū)間帶寬

令下降比例等于殘余帶寬除以理想變動(dòng)區(qū)間帶寬。下降比例均值為100個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的下降比例的均值。下降比例均值反映了將蒙特卡洛模擬法應(yīng)用于精度設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)提高精度設(shè)計(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)性的效果。表2列出了3個(gè)旋量參數(shù)實(shí)際變動(dòng)區(qū)間帶寬下降比例均值。

表2　實(shí)際變動(dòng)區(qū)間帶寬下降比例均值　%

由表2可知,在考慮約束條件及參數(shù)變動(dòng)順序后，運(yùn)用蒙特卡洛模擬法求解得到的旋量參數(shù)實(shí)際變動(dòng)區(qū)間帶寬較理想變動(dòng)區(qū)間帶寬下降比例的均值分別為22.49%、22.85%、20.34%,說明采用蒙特卡洛分析方法可以顯著提高精度設(shè)計(jì)的技術(shù)經(jīng)濟(jì)性,且更加符合零件生產(chǎn)實(shí)際。

Fα=0.0026+0.024TS+

Fβ=0.0014+0.188TS+

Fw=0.0657+0.57TS+

用復(fù)相關(guān)系數(shù)R2驗(yàn)證3個(gè)響應(yīng)面模型的精度,如表3所示。由表3可知,3個(gè)響應(yīng)面模型的R2值均大于0.985，表明本文建立的公差響應(yīng)面

表3　響應(yīng)面模型的R2檢驗(yàn)

模型具有很高的精度。

4　結(jié)語

本文將蒙特卡洛模擬法良好的求解非確定性問題的能力與響應(yīng)面方法優(yōu)秀的建模性能結(jié)合起來，提出了一種基于蒙特卡洛模擬與響應(yīng)面方法的公差建模方法。在對(duì)平面尺寸和形狀公差域變動(dòng)關(guān)系進(jìn)行深入研究的基礎(chǔ)上，采用蒙特卡洛模擬法求解公差與公差變動(dòng)要素變動(dòng)區(qū)間之間的響應(yīng)關(guān)系，再運(yùn)用響應(yīng)面方法建立了兩者之間的響應(yīng)面數(shù)學(xué)模型。以平面度公差建模為例，驗(yàn)證了該方法可以顯著提高精度設(shè)計(jì)的技術(shù)經(jīng)濟(jì)性。進(jìn)一步將該方法應(yīng)用到機(jī)床的精度設(shè)計(jì)當(dāng)中，對(duì)提高機(jī)床精度設(shè)計(jì)方法的實(shí)用性,降低機(jī)床的生產(chǎn)成本具有重要意義。

[1]劉又午.多體動(dòng)力學(xué)的休斯敦方法及其發(fā)展[J].中國(guó)機(jī)械工程,2000,11(6):601-608.

Liu Youwu.Development of Huston’s Method on Multibody Dynamics[J].China Mechanical Engineering,2000,11(6):601-608.

[2]Chen J S.Computer-aided Accuracy Enhancement for Multi-axis CNC Machine Tool[J].International Journal of Machine Tools and Manufacturing,1999,35(4):593-605.

[3]Patel A J,Ehmann K F.Volumetric Error Analysis of a Stewart Platform-based Machine Tool[J].Annals of the CIRP,1997,46(1):287-290.

[4]Laperriere L,Ghie W,Desrochers A.Statistical and Deterministic Tolerance Analysis and Synthesis Using a Unified Jacobian-Torsor Model[J].CIRP Annals-Manufacturing Technology,2002,51(1):417-420.

[5]張為民，李國(guó)偉，陳燦．基于雅可比旋量理論的公差優(yōu)化分配[J]．農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2011，42(4)：216-219.

Zhang Weimin,Li Guowei,Chen Can.Optimal Allcocation of Tolerance Based on Jacobian-Torsor Theory[J].Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery,2011,42(4)：216-219.

[6]胡潔,吳昭同,楊將新.基于旋量參數(shù)的三維公差累積的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型[J].中國(guó)機(jī)械工程,2003,14(2):127-130.

Hu Jie,Wu Zhaotong,Yang Jiangxin.Kinematic Model of 3D Tolerance Accumulation Based on Screw Parameter[J].China Mechanical Engineering,2003,14(2):127-130.

[7]Mujezinovic A, Davidson J K, Shah J J. A New Mathematical Model for Geometric Tolerances as Applied to Polygonal Faces[J]. Transections of the ASME,2004,126(3):504-518．

[8]劉玉生,吳昭同,楊將新,等.基于數(shù)學(xué)定義的平面尺寸公差數(shù)學(xué)模型[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2001,37(9):12-17.

Liu Yusheng,Wu Zhaotong,Yang Jiangxin,et al.Mathematical Model of Size Tolerance for Plane Based on Mathematical Definition[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2001,37(9):12-17.

[9]Roy U,Li B.Representation and Interpretation of Geometric Tolerances for Polyhedral Objects Form Tolerances[J].Computer Aided Design,1998,30(2):151-161.

[10]蔡敏,楊將新,吳昭同.平面要素公差數(shù)學(xué)定義理論及應(yīng)用的研究[J].中國(guó)機(jī)械工程,2002,13(2):128-130.

Cai Min,Yang Jiangxin,Wu Zhaotong.Theory and Application of Mathematical Definition for Plane Element Tolerance[J].China Mechanical Engineering,2002,13(2):128-130.

[11]Vignat F,Villeneuv F.3D Transfer of Tolerances Using a SDT Approach:Application to Turning Process[J].Journal of Computing and Information Science in Engineering,2003,3(3):45- 53.

[12]Shah J J.Dimension and Tolerance Modeling and Transformations in Feature Based Design and Manufacturing[J].Journal of Intelligent Manufacturing,1998(9):475-488．

[13]Zhong Xin,Yang Ruqing,Zhou Bing.Accuracy Analysis of Assembly Success Rate with Monte Carlo Simulations[J].Journal of Donghua University,2003,20(3):128-131.

[14]Kim S H,Na S W.Response Surface Method Using Vector Projected Sampling Points[J].Structrual Safety,1997,19:3-19.

[15]Kaymaz I,Mcmahon A.A Response Surface Method Based on Weighted Regression for Structural Reliability Anslysis[J].Probabilistic Engineering Mechanics,2004,20：11-17.

(編輯蘇衛(wèi)國(guó))

Tolerance Modeling Based on Monte-Carlo Simulation and Response Surface Method

Yu ZhiminLiu ZijianDong SikeLi SiminAi Yandi

State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacture for Vehicle Body,Hunan University,Changsha,410082

For the poor practicability of existing precision design method of machine tool,a new method about tolerance modeling based on MCS and response surface method was proposed herein.Firstly,the constraint inequality and change inequality were established using tolerance analysis based on mathematic definition theory.And then the simulated tests with MCS method were conducted to simulate the change of actual tolerance surface,and get the actual change interval of the tolerance factor.With the samples based on the tolerance and the bandwidth value of actual change interval obtained above,the response surface modeling between the tolerance and bandwidth was constructed by response surface method.Finally,a typical example was analyzed and the results indicate the method is consistent with engineering practice, and has high modeling precision and technical economics.

Monte-Carlo simulation(MCS);response surface method;small displacement torsor;constraint inequality;change inequality

2013-06-21

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51175161,51301532);國(guó)家科技重大專項(xiàng)(2011ZX04003-011)

TH115DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.04.001

余治民,男,1984年生。湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室博士研究生。研究方向?yàn)閺?fù)雜裝備精度鏈設(shè)計(jì)方法。劉子建,男,1953年生。湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室教授、博士研究生導(dǎo)師。董思科,男,1986年生。湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室碩士研究生。李斯明，男，1988年生。湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室碩士研究生。艾彥迪,男,1982年生。湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室助理研究員。