熊萬里　趙紫生　周　陽　呂　浪　侯志泉

1.湖南大學(xué)國家高效磨削工程技術(shù)研究中心,長沙,4100822.株洲聯(lián)誠集團(tuán)有限責(zé)任公司湖南省軌道裝備冷卻工程中心,株洲,412001

計(jì)入套圈變形和潤滑影響的球軸承動剛度研究

熊萬里1趙紫生1周陽1呂浪1侯志泉2

1.湖南大學(xué)國家高效磨削工程技術(shù)研究中心,長沙,4100822.株洲聯(lián)誠集團(tuán)有限責(zé)任公司湖南省軌道裝備冷卻工程中心,株洲,412001

針對傳統(tǒng)擬靜力學(xué)分析方法未考慮軸承套圈熱變形、離心力變形和彈流潤滑作用引起軸承內(nèi)部溝道曲率中心與滾動體中心幾何位置關(guān)系的變化，難以準(zhǔn)確反映軸承動剛度不足的現(xiàn)狀，建立了計(jì)入套圈變形和彈流潤滑影響的軸承擬靜力學(xué)修正模型。采用所建立的模型研究了軸承不同工作轉(zhuǎn)速和預(yù)緊力條件下軸承熱變形、離心力變形和潤滑油膜對動剛度的影響規(guī)律，通過與Gupta等典型算例及實(shí)驗(yàn)的對比驗(yàn)證，證實(shí)了所建立模型及分析結(jié)果的有效性。

角接觸球軸承；動剛度；套圈變形；彈流潤滑

0　引言

角接觸球軸承作為電主軸的核心支承部件，其動剛度直接影響電主軸的動態(tài)特性，主要特點(diǎn)在于:①高速旋轉(zhuǎn)內(nèi)圈受離心力作用產(chǎn)生離心膨脹變形；②軸承摩擦發(fā)熱不可避免地使軸承套圈產(chǎn)生軸向、徑向熱膨脹變形;③彈流潤滑的膜厚分布影響滾動體與套圈溝道間的接觸變形。三者聯(lián)合作用使軸承內(nèi)部曲率中心與滾動體中心的幾何位置關(guān)系發(fā)生改變，影響接觸角和接觸載荷的變化，增大軸承動剛度分析的難度。

國內(nèi)外許多學(xué)者在Harris[1]提出的考慮鋼球受力與力矩不平衡的軸承動力學(xué)分析模型基礎(chǔ)上,對軸承剛度特性進(jìn)行了大量深入的研究。羅祝三等[2]提出并推導(dǎo)了滾動軸承在任意方向支承剛度的數(shù)學(xué)表達(dá)式，探討了外載荷對軸承剛度的影響。Ali等[3]通過實(shí)驗(yàn)研究了激振頻率、預(yù)緊力和轉(zhuǎn)速等參數(shù)對軸承動剛度的影響。Cao等[4]系統(tǒng)比較了不同預(yù)緊機(jī)制下，轉(zhuǎn)速對軸承剛度的影響，但忽略了軸承內(nèi)部溫升和潤滑油膜的存在對剛度的影響，僅將接觸剛度進(jìn)行合成近似代替軸承剛度。張峻暉等[5]探究了離心力和溫升對內(nèi)圈和轉(zhuǎn)軸裝配過盈量的影響，但未研究離心力和溫升引起的套圈變形對軸承動剛度的影響。Lin等[6]提出了一個(gè)綜合電主軸動態(tài)、熱態(tài)性能模型,該模型定量研究了熱變形強(qiáng)化預(yù)緊力對剛度的影響,但未考慮轉(zhuǎn)軸和軸承座熱變形引起的套圈相對變形?，F(xiàn)有研究中,軸承內(nèi)部幾何關(guān)系分析尚不夠完善,計(jì)算模型考慮因素尚不全面,尤其沒有將彈流潤滑的影響考慮進(jìn)模型，對高速主軸軸承在不同工況聯(lián)合套圈離心力和熱變形及潤滑特性的研究不夠深入。

本文建立了一個(gè)考慮因素較為全面的擬靜力學(xué)修正模型,揭示了在套圈離心力和熱變形及彈流油膜的影響下,軸承剛度隨預(yù)緊力和轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律。

1　軸承套圈變形計(jì)算

1.1考慮離心效應(yīng)的轉(zhuǎn)軸/內(nèi)圈變形

軸承內(nèi)圈隨轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力在高速時(shí)不能忽略,并且它會導(dǎo)致軸承離心膨脹變形。根據(jù)彈性力學(xué)理論，將軸承內(nèi)圈和與之配合的轉(zhuǎn)軸分別簡化為薄壁圓環(huán)和厚壁圓筒,推導(dǎo)出轉(zhuǎn)軸和內(nèi)圈在配合處的離心膨脹變形計(jì)算式[7]:

(1)

(2)

式中,ucs為轉(zhuǎn)軸離心膨脹變形量;ρs、νs和Es分別為轉(zhuǎn)軸材料的密度、泊松比和彈性模量;ds為轉(zhuǎn)軸內(nèi)徑;uci為內(nèi)圈離心膨脹變形量；ρi、νi和Ei分別為內(nèi)圈材料的密度、泊松比和彈性模量；ω為內(nèi)圈角速度;d、di分別為內(nèi)圈內(nèi)徑和內(nèi)圈溝道直徑。

由于內(nèi)圈和轉(zhuǎn)軸常以過盈配合連接且二者相互約束,所以離心力作用下,內(nèi)圈內(nèi)徑和轉(zhuǎn)軸外徑的離心膨脹使配合表面過盈量減小。取轉(zhuǎn)軸和內(nèi)圈的離心膨脹引起的過盈量為

Ic=uci-ucs

(3)

由于離心力變形與轉(zhuǎn)速的平方成正比,轉(zhuǎn)速提高,轉(zhuǎn)軸與內(nèi)圈在配合表面處內(nèi)圈的離心膨脹變形量較轉(zhuǎn)軸的離心膨脹變形量大，因此，轉(zhuǎn)軸離心膨脹變形不會影響軸承內(nèi)部徑向間隙的變化，考慮內(nèi)圈和轉(zhuǎn)軸離心膨脹變形對軸承內(nèi)部幾何關(guān)系的影響時(shí)只需計(jì)入內(nèi)圈離心膨脹變形即可。

1.2套圈熱膨脹變形

電主軸高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，電機(jī)損耗發(fā)熱和軸承摩擦發(fā)熱使得主軸和軸承溫度升高，并通過熱傳導(dǎo)和熱輻射使軸承零件溫度上升，所以內(nèi)外套圈間產(chǎn)生軸向、徑向相對熱變形。通常，軸承薄壁圓環(huán)零件熱變形采用Harris給出的計(jì)算方法：

u=adTΔT

(4)

式中,u為熱變形;a為熱膨脹系數(shù);ΔT為溫升;dT為零件直徑。

考慮到溫度分布的軸對稱性,長圓柱為平面應(yīng)變，應(yīng)變由熱變形和熱應(yīng)力共同引起,根據(jù)彈性理論應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系得到外徑R任意位置r處實(shí)心圓柱的徑向熱變形方程[8]:

(5)

式中，ν為泊松比。

由式(4)得內(nèi)圈溝道直徑和內(nèi)徑在溫升ΔTi時(shí)的熱變形量分別為

(6)

由式(5)得轉(zhuǎn)軸外徑在溫升ΔTs時(shí)的熱變形量為

us=asΔTs(1+νs)d

(7)

溫升引起的轉(zhuǎn)軸-內(nèi)圈配合過盈量的變化值為

ITi=u″i-us=[aiΔTi-asΔTs(1+νs)]d

(8)

綜合式(6)～式(7)得考慮轉(zhuǎn)軸熱變形時(shí)的內(nèi)圈溝道徑向熱變形：

aiΔTidi+[asΔTs(1+νs)-aiΔTi]d2/di

(9)

式中,ai、as分別為內(nèi)圈和轉(zhuǎn)軸的熱膨脹系數(shù)。

同理得考慮軸承座熱變形影響的外圈溝道徑向熱變形量為

(10)

式中,ah、νh分別為軸承座的熱膨脹系數(shù)和泊松比;D、De分別為外圈外徑和外圈溝道直徑；ΔTh為軸承座溫升。

滾動體在溫升為ΔTb時(shí)的熱變形量為

ub=abΔTbDb

(11)

式中,ab為滾動體的熱膨脹系數(shù);Db為球徑。

溫升引起的外圈-軸承座配合過盈量的變化值為

ITe=[aeΔTe-ahΔTh(1+νh)]D

(12)

式中,ae為外圈熱膨脹系數(shù);ΔTe為外圈溫升。

綜合式(9)～式(11)得套圈溝道間徑向相對熱變形量如下：

ur=ui-ue-2ub

(13)

軸承雙聯(lián)配置下,套圈溝道間軸向相對熱變形量為

ua=±(ahΔThLh-asΔTsLs)/2

(14)

其中,正號用于雙“O”配置,負(fù)號用于雙“X”配置;Ls、Lh分別為轉(zhuǎn)軸和軸承座的有效長度。

2　軸承彈流潤滑油膜的影響及計(jì)算

2.1彈流潤滑最小油膜厚度

潤滑是保證軸承高速性的一個(gè)重要條件,它能夠使得滾動體與套圈溝道間保持一定厚度的潤滑油膜。根據(jù)彈性流體潤滑理論，潤滑油膜的油膜剛度由最小油膜厚度決定。在等溫且供油充分的條件下，滾動體與套圈溝道間量綱一中心油膜厚度H0和最小油膜厚度Hmin為[9]

(15)

式中,U為量綱一速度參數(shù)；G為量綱一材料參數(shù)；W為量綱一負(fù)荷參數(shù)；k為橢圓率。

滾動體與套圈溝道間中心油膜厚度h0和最小油膜厚度hmin定義為

(16)

式中,Rx為滾動體沿運(yùn)動方向的當(dāng)量曲率半徑。

彈性流體潤滑(EHL)理論與非線性赫茲接觸(Hertz)理論的區(qū)別在于是否考慮潤滑油膜的存在，EHL和Hertz接觸狀態(tài)下膜厚分布及壓力分布如圖1所示。

圖1　Hertz及EHL接觸狀態(tài)下膜厚和壓力分布

潤滑油膜的存在使?jié)L動體與套圈溝道間的彈性變形減小，計(jì)算實(shí)際接觸剛度時(shí)，滾動體與套圈溝道間徑向彈性變形量應(yīng)是考慮油膜厚度后的徑向趨近量：

Δδ=δ-h0

(17)

式中,Δδ為EHL狀態(tài)下彈性變形量；δ為Hertz接觸點(diǎn)處的彈性變形量；h0為EHL接觸點(diǎn)處的中心油膜厚度。

2.2油膜剛度的計(jì)算

滾動體與套圈溝道間接觸載荷Q和最小油膜厚度hmin之間的關(guān)系可由式(16)推導(dǎo)得出，即

(18)

式中,E′為接觸體的等效彈性模量;ν1、ν2和E1、E2分別為兩接觸體的泊松比和彈性模量。

根據(jù)剛度定義,油膜剛度Koil為

(19)

對于高速、超高速角接觸球軸承，滾動體與內(nèi)外圈接觸角不等，造成對應(yīng)接觸載荷的大小、方向不同，使得內(nèi)外圈接觸剛度也不同，實(shí)際中，軸承內(nèi)外剛度應(yīng)由滾動體與套圈溝道間的接觸剛度和油膜剛度共同組成：

(20)

式中,Kj為滾動體j與套圈的等效內(nèi)外剛度;Kc,j為滾動體j與套圈的接觸剛度;Koil,j為滾動體j與套圈的油膜剛度。

3　角接觸球軸承擬靜力學(xué)修正模型

3.1基本方程

為了便于分析,對計(jì)算模型進(jìn)行相應(yīng)的簡化:①忽略球位置的影響，假設(shè)每個(gè)球受力和相對位移相同；②忽略轉(zhuǎn)軸與內(nèi)圈以及外圈與軸承座表面粗糙度引起的過盈量對軸承套圈溝道曲率中心相對位置的影響；③忽略溫升對潤滑介質(zhì)性能的影響；④忽略保持架對滾動體力與運(yùn)動的影響。

3.1.1滾動體運(yùn)動分析

電主軸角接觸球軸承為外圈固定，內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)，假定內(nèi)圈以角速度ω勻速穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)，考慮到滾動體與套圈溝道有相對滑動，則引入套圈控制理論，采用Jones給出的控制類型條件。若滿足不等式：

QejαejΣej(e)cos(αij-αej)>QijαijΣij(e)

(21)

式中,Qij和Qej分別為滾動體j與內(nèi)外圈的接觸載荷;αij和αej分別為滾動體j與內(nèi)外圈的接觸角;Σij(e)和Σej(e)分別為滾動體j與內(nèi)外圈接觸處的第二類完全橢圓積分。

則為外圈控制,此時(shí)滾動體j的公轉(zhuǎn)、自轉(zhuǎn)角速度與內(nèi)圈角速度的比值分別為

(22)

式中，γ′為球徑與軸承中徑的比值。

若滿足不等式：

QijαijΣij(e)cos(αij-αej)>QejαejΣej(e)

(23)

則為內(nèi)圈控制,此時(shí)滾動體j的公轉(zhuǎn)、自轉(zhuǎn)角速度與內(nèi)圈角速度的比值分別為

(24)

3.1.2位移協(xié)調(diào)方程

由于外圈與軸承座固定，故外圈曲率中心不變。動力學(xué)特性分析中，在徑向力Fr、軸向力Fa和力矩M聯(lián)合作用下，軸承內(nèi)外圈產(chǎn)生相對徑向、軸向、角向位移δr、δa和θ。如圖2所示，給出內(nèi)外圈溝道曲率中心與角位置ψj處滾動體中心之間的幾何位置關(guān)系。

圖2　球心與內(nèi)外溝道曲率中心的相對位置

無載荷時(shí)，內(nèi)外溝道曲率中心間的距離為

dAB=(fi+fe-1)Db

式中,fi和fe分別為內(nèi)外溝道曲率半徑系數(shù)。

任意球位置處,對于滾動體j有

Aaj=dABsinα0+UajArj=dABcosα0+Vrj

式中,α0為初始接觸角;Aaj、Arj分別為內(nèi)外溝道曲率中心末位置之間的軸向和徑向距離;Ua j、Vr j分別為內(nèi)溝道曲率中心初、末位置的軸向和徑向距離。

由圖2,根據(jù)曲率中心相對位置，可得滾動體中心位置變化的位移協(xié)調(diào)方程：

(25)

式中,Lij、Lej分別為球心末位置與內(nèi)外溝道曲率中心末位置的距離。

如前文所述，潤滑油膜直接作用于滾動體與套圈的接觸變形；離心力變形和套圈溝道間徑向熱變形最終表現(xiàn)為內(nèi)圈徑向溝道變形，套圈溝道間軸向熱變形直接作用于軸向溝道變形。即套圈變形和潤滑油膜改變球心末位置與內(nèi)外溝道曲率中心末位置的距離及內(nèi)溝道曲率中心初末位置的軸向和徑向距離，改變Uaj、Vrj、Lij和Lej的大小，給出角接觸球軸承擬靜力學(xué)修正模型如下。

考慮綜合套圈離心變形和熱變形的修正模型如下：

Uaj=δa+θRicosψj+ua

Vrj=δrcosψj+uci+ur

Lij=(fi-0.5)Db+δij

Lej=(fe-0.5)Db+δej

式中,Ri為內(nèi)圈溝道曲率中心所在的圓周半徑;uci為內(nèi)圈離心力變形量；ua、ur分別為套圈溝道間的軸向和徑向熱變形量;δij、δej分別為滾動體j和內(nèi)外圈接觸點(diǎn)處的Hertz彈性變形量。

計(jì)入彈流潤滑考慮綜合套圈變形的修正模型如下：

Uaj=δa+θRicosψj+ua

Vrj=δrcosψj+uci+ur

Lij=(fi-0.5)Db+δij-hij

Lej=(fe-0.5)Db+δej-hej

式中,hij、hej分別為滾動體j和內(nèi)外圈接觸點(diǎn)處的油膜厚度。

3.1.3球滾動體和內(nèi)圈受力平衡方程

軸承高速旋轉(zhuǎn)，滾動體受離心力、摩擦力、陀螺力矩和套圈對其接觸力共同作用，滾動體和內(nèi)圈受力如圖3所示。

圖3　滾動體與內(nèi)圈受載圖

對每個(gè)滾動體受力均可建立受力平衡方程：

(26)

式中,Kij、Kej分別為滾動體j與內(nèi)外圈的接觸剛度；Fcj為滾動體j的離心力;Fij、Fej分別為滾動體j與內(nèi)外圈的接觸摩擦力，與滾動體的陀螺力矩有關(guān)。

作用于整個(gè)軸承的負(fù)荷應(yīng)該平衡，即內(nèi)圈所受合力為零，根據(jù)內(nèi)圈水平和垂直方向受力平衡，以及力矩平衡條件，則有

(27)

式中,z為滾動體數(shù)目;Fa0為初始預(yù)緊力;ri為內(nèi)圈溝道曲率半徑,ri=fiDb。

3.2基本方程組求解步驟

基于綜合套圈變形及彈流潤滑油膜影響的修正模型，利用仿真軟件MATLAB對軸承進(jìn)行動力學(xué)數(shù)值仿真，求解得到軸承相關(guān)動態(tài)特性參數(shù)及動剛度，具體數(shù)值算法如下。

(1)根據(jù)軸承基本參數(shù)，設(shè)定初始接觸角α0，利用Newton-Raphson法迭代求解靜力學(xué)非線性方程，得到滿足精度的接觸角和初始軸向位移。

(3)根據(jù)式(27),調(diào)整δa、δr和θ的值，重復(fù)步驟(2)，直到δa、δr、θ滿足預(yù)先設(shè)定的精度。以迭代變量αi、αe、Qi、Qe為基礎(chǔ)計(jì)算軸承動態(tài)特性參數(shù)，利用文獻(xiàn)[10]中剛度的計(jì)算方法得到軸承的徑向剛度Kr、軸向剛度Ka和角剛度Kan。

(4)在傳統(tǒng)分析模型的基礎(chǔ)上，將轉(zhuǎn)軸、軸承、軸承座作為一個(gè)系統(tǒng)，采用節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)法[11],結(jié)合軸承運(yùn)動學(xué)及主軸系統(tǒng)溫度場模型，計(jì)算主軸系統(tǒng)轉(zhuǎn)軸、軸承零件、軸承座的溫度，由式(13)～式(14)分別計(jì)算出套圈軸向、徑向熱變形；計(jì)算內(nèi)圈離心力變形和內(nèi)外圈油膜厚度。

(5)將套圈變形和彈流油膜的計(jì)算結(jié)果分別導(dǎo)入位移協(xié)調(diào)方程(式(25)),修正軸承內(nèi)部幾何關(guān)系和軸承工況，對修正模型進(jìn)行反饋迭代，直至滿足預(yù)設(shè)精度，計(jì)算修正模型的軸承動態(tài)特性參數(shù)及動剛度。

3.3傳統(tǒng)分析模型的算例驗(yàn)證

采用軸承動力學(xué)計(jì)算的典型算例[12]和文獻(xiàn)[13]算例進(jìn)行驗(yàn)證。該算例可計(jì)算軸承的接觸角、接觸載荷、旋滾比，但未考慮套圈離心力和熱變形及彈流潤滑的影響。在未考慮上述因素的情況下，使用本文基于傳統(tǒng)分析模型編寫的程序進(jìn)行仿真計(jì)算，并與Gupta[12]的TABACY程序和文獻(xiàn)[13]程序計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，從而間接驗(yàn)證本文考慮套圈變形及彈流潤滑影響的修正模型數(shù)值仿真的正確性。

文獻(xiàn)[12]算例中軸承基本參數(shù)為:球個(gè)數(shù)19，球徑15.081 mm,節(jié)圓直徑105 mm，接觸角25°,溝曲率系數(shù)0.52，軸承零件彈性模量206 GPa,泊松比0.3;初始預(yù)緊力889.84 N,工作轉(zhuǎn)速15 000 r/min。計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1　計(jì)算結(jié)果比較

對比計(jì)算結(jié)果可知,本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[12-13]結(jié)果匹配性較好，仿真值與文獻(xiàn)[13]實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致。由于本文模型以接觸角、接觸載荷為迭代變量,從而驗(yàn)證了本文傳統(tǒng)分析模型對軸承動態(tài)特性參數(shù)和動剛度仿真的精度，進(jìn)一步驗(yàn)證了基于傳統(tǒng)分析模型所建立的修正模型的可靠性。

3.4動剛度規(guī)律研究

本文以湖南大學(xué)研制的35 kW/18 000 r·min-1加工中心電主軸為例,研究串聯(lián)雙“O”型配置單個(gè)角接觸球軸承7013CD/HCP4在定壓預(yù)緊機(jī)制，不同工況下套圈變形和彈流潤滑對軸承動剛度的影響規(guī)律。軸承參數(shù)為:內(nèi)徑65 mm，外徑100 mm，寬度18 mm,球徑11.11 mm，球數(shù)20,初始接觸角15°，溝曲率系數(shù)0.54、0.57,滾動體材料為氮化硅，套圈材料為軸承鋼。潤滑采用10號主軸油，油氣潤滑方式，工作環(huán)境溫度為25 ℃。潤滑油特性為[14]:動力黏度η0=0.027 Pa·s,黏壓系數(shù)α=2.3×10-8Pa-1。裝配過盈配合量約20 μm。

需要提出的是,離心力使得轉(zhuǎn)軸與內(nèi)圈裝配過盈量減小，轉(zhuǎn)軸、軸承零件和軸承座溫升使得轉(zhuǎn)軸與內(nèi)圈裝配過盈量增大，綜合考慮離心力和溫升對裝配過盈量的影響會相互抵消一部分[5],在本例中綜合離心力和溫升引起的過盈量對軸承動態(tài)特性參數(shù)影響不大。

3.4.1套圈離心和熱變形分析

圖4所示為預(yù)緊力為300 N時(shí)套圈離心力變形和熱變形隨轉(zhuǎn)速的變化情況。套圈離心力變形量和熱變形量隨轉(zhuǎn)速的升高而增大。轉(zhuǎn)速為24 kr/min時(shí),內(nèi)圈和轉(zhuǎn)軸在離心力作用下離心變形量分別為9.34 μm、2.87 μm；內(nèi)外圈在熱效應(yīng)下產(chǎn)生的軸向、徑向熱變形量分別為1.58 μm、5.03 μm;由離心力引起的內(nèi)圈和轉(zhuǎn)軸有效配合過盈量為6.47 μm。考慮軸承座和轉(zhuǎn)軸熱變形的影響，套圈徑向熱變形較軸向大。

圖4　套圈離心變形和熱變形與轉(zhuǎn)速的關(guān)系

圖5所示為主軸轉(zhuǎn)速為20 kr/min時(shí)套圈變形隨軸向預(yù)緊力的變化情況。轉(zhuǎn)速恒定，轉(zhuǎn)軸和內(nèi)圈離心變形恒定不變，分別為1.99 μm、6.49 μm。套圈間徑向、軸向熱變形隨預(yù)緊力的增大而增大，這是由于預(yù)緊力增大強(qiáng)化接觸載荷，導(dǎo)致軸承零件溫升加劇，熱變形增加。

圖5　套圈離心變形和熱變形與預(yù)緊力的關(guān)系

3.4.2彈流油膜厚度和剛度分析

圖6所示為預(yù)緊力為300 N時(shí)滾動體與套圈間最小油膜厚度和剛度隨轉(zhuǎn)速的變化情況。轉(zhuǎn)速增大使?jié)L動體與套圈間的潤滑油流速加快,膜厚增加；內(nèi)圈油膜剛度減?。煌馊τ湍偠认葴p小后增大,且外圈油膜剛度較內(nèi)圈大。這是由于轉(zhuǎn)速增大后,滾動體離心效應(yīng)增強(qiáng),與外圈接觸載荷迅速增大，與內(nèi)圈接觸載荷減小。

圖6　最小油膜厚度和油膜剛度與轉(zhuǎn)速的關(guān)系

圖7所示為轉(zhuǎn)速為20 kr/min時(shí)滾動體與套圈間最小油膜厚度和剛度隨預(yù)緊力的變化情況。預(yù)緊力增大,最小油膜厚度減小，油膜剛度增大。同一預(yù)緊力下，外圈油膜剛度較內(nèi)圈油膜剛度大,這是由于轉(zhuǎn)速較高，外圈接觸載荷大于內(nèi)圈接觸載荷,單一改變預(yù)緊力,只是不同程度上增大接觸載荷,但并不改變接觸載荷的大小分布。

圖7　最小油膜厚度和油膜剛度與預(yù)緊力的關(guān)系

3.4.3綜合套圈離心和熱變形對動剛度的影響

軸承動剛度在不考慮彈流潤滑時(shí)計(jì)算結(jié)果如圖8、圖9所示。圖8所示為300 N預(yù)緊力時(shí)，綜合套圈變形對軸承動剛度的影響。隨著轉(zhuǎn)速的增大,軸承徑向、軸向和角向剛度呈非線性減小，其剛度變化是由于定壓預(yù)緊下，轉(zhuǎn)速升高，內(nèi)圈與滾動體接觸角逐漸增大，且變化幅度較大，從而減小了徑向剛度；外圈與滾動體的接觸角減小使得軸向剛度和角剛度顯著降低。綜合套圈變形在一定程度上提高了徑向剛度(圖8a)，且轉(zhuǎn)速越大，套圈變形對徑向剛度的影響越明顯。綜合套圈變形對軸承軸向和角剛度的影響幅度很小，可忽略不計(jì)(圖8b、圖8c)。

(a)徑向剛度

(b)軸向剛度

(c)角剛度圖8　不同轉(zhuǎn)速下軸承的動剛度

圖9所示為轉(zhuǎn)速為20 kr/min,套圈變形對軸承動剛度的影響。軸承徑向、軸向和角剛度隨預(yù)緊力的增大而增大。轉(zhuǎn)速一定，預(yù)緊力增大使?jié)L動體與套圈間的接觸載荷增加,內(nèi)外圈法向接觸剛度變大，串聯(lián)作用下使軸承徑向、軸向和角剛度增加，這與文獻(xiàn)[15]的分析結(jié)果一致。綜合套圈變形使得軸承徑向剛度增大(圖9a)，軸向剛度和角剛度減小(圖9b、圖9c)，且預(yù)緊力越大，套圈變形對軸向剛度和角剛度影響越明顯。這是因?yàn)榭紤]套圈變形時(shí)，內(nèi)圈受離心力影響，滾動體與內(nèi)圈接觸角減小，接觸載荷增大;這與未考慮綜合套圈變形時(shí)，內(nèi)圈與滾動體接觸角增大,接觸載荷減小的變化趨勢相反。在外圈接觸剛度保持不變的情況下，內(nèi)圈離心變形使內(nèi)圈接觸剛度和徑向剛度增大。套圈變形對外圈接觸角和接觸載荷影響較小，但在預(yù)緊力的作用下，外圈接觸角減小使軸向剛度和角剛度減小。

(a)徑向剛度

(b)軸向剛度

(c)角剛度圖9　不同預(yù)緊力下軸承的動剛度

3.4.4彈流油膜對動剛度的影響

圖10～圖12為計(jì)入彈流潤滑考慮綜合套圈離心和熱變形時(shí)，軸承分別在中預(yù)緊(320 N)和大預(yù)緊(640 N)下潤滑油膜對動剛度的影響。圖10中，同一速度參數(shù)條件下，對于不同預(yù)緊力，考慮彈流油膜，軸承徑向剛度均有不同程度的減小(軟化)，且轉(zhuǎn)速越大，彈流油膜對徑向剛度的影響越顯著。這是由于套圈變形強(qiáng)化軸承接觸剛度，使得接觸剛度和油膜剛度量級相差不多，且油膜剛度較接觸剛度大，并聯(lián)作用下使得軸承總剛度下降。

圖10　不同工況下彈流油膜對徑向剛度的影響

圖11　不同工況下彈流油膜對軸向剛度的影響

圖12　不同工況下彈流油膜對角剛度的影響

圖11、圖12中，同一速度參數(shù)條件下，對于不同預(yù)緊力，考慮彈流油膜，軸承軸向剛度和角剛度均有不同程度的減小，但彈流油膜對軸向和角剛度影響較小。

4　結(jié)論

(1)建立了計(jì)入彈流潤滑、套圈離心力變形和熱變形影響的角接觸球軸承擬靜力學(xué)修正模型。該模型不僅可反映套圈變形和彈流潤滑對軸承套圈溝道曲率中心與球心的相對位置的影響規(guī)律，而且還可反映動剛度的變化規(guī)律，克服了現(xiàn)有模型的不足。

(2)揭示了套圈變形和彈流潤滑隨轉(zhuǎn)速和預(yù)緊力的變化規(guī)律及其對動剛度的影響規(guī)律。研究發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)速提高后，油膜厚度增大，與此同時(shí)，套圈和滾動體離心力作用增強(qiáng)，溫升加劇，離心變形增加。提高轉(zhuǎn)速雖利于實(shí)現(xiàn)全膜潤滑，但溫升會加劇套圈熱變形。套圈變形對軸向剛度和角剛度的影響可以忽略不計(jì)，但可以增大徑向剛度，進(jìn)而影響軸承動剛度和壽命。

(3)隨著預(yù)緊力的增大,軸承徑向、軸向和角向剛度呈非線性增大。套圈變形在一定程度上可以提高徑向剛度，降低軸向剛度和角剛度，且預(yù)緊力越大,套圈變形對軸向剛度和角剛度的影響越明顯。

(4)計(jì)入彈流潤滑油膜的影響時(shí)，軸承實(shí)際剛度比接觸剛度小,由此說明潤滑油勢必會造成支承剛度軟化而降低其支承性能，且轉(zhuǎn)速越大，彈流潤滑對徑向剛度的影響也越大。

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(編輯王艷麗)

Research on Dynamic Stiffness of Ball Bearings Considering Ferrule Deformation and Elastohydrodynamic Lubrication

Xiong WanliZhao ZishengZhou YangLü LangHou Zhiquan

1.National Engineering Research Center for High Efficiency Grinding,Hunan University,Changsha,410082 2.Zhuzhou Lince Group Co. Ltd., Hunan Rail Transportation Cooling Engineering Center,Zhuzhou,Hunan,412001

Aiming at the shortage of traditional quasi-static analytical method which did not consider the changes in geometrical positions of bearing inner raceway curvature center and the rolling body center caused by bearing thermal deformation,the centrifugal force deformation and the elastohydrodynamic lubrication effect,a bearing quasi-static modified model was established considering the effects of ferrule deformation and elastohydrodynamic lubrication.The effects of thermal deformation, the centrifugal force deformation and the lubricating oil film on bearing dynamic stiffness were studied by established model under conditions of different rotational speeds and bearing preloads.The validity of the established model was verified by comparison with the Gupta typical examples and experiments.

angular contact ball bearing; dynamic stiffness; ferrule deformation; elastohydrodynamic lubrication

2015-12-01

國家科技重大專項(xiàng)(2013ZX04012-052)

TH133.33DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.11.001

熊萬里,男,1971年生。湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)楦咚匐娭鬏S系統(tǒng)動力學(xué)、液體靜壓主軸技術(shù)、高速大功率電機(jī)技術(shù)。發(fā)表論文70余篇。趙紫生,男,1989年生。湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院碩士研究生。周陽,男,1990年生。湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院碩士研究生。呂浪,男,1977年生。湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院講師。侯志泉,男,1980年生。株洲聯(lián)誠集團(tuán)有限責(zé)任公司工程師、博士。