林 建　吳福根　姚源衛(wèi)　張 欣

（1廣東工業(yè)大學實驗教學部　廣州　510006）

（2廣東工業(yè)大學物理與光電工程學院　廣州　510006）

二維蜂窩結(jié)構(gòu)聲子晶體的負折射成像研究?

林 建1，2吳福根1?姚源衛(wèi)2張 欣2

（1廣東工業(yè)大學實驗教學部廣州510006）

（2廣東工業(yè)大學物理與光電工程學院廣州510006）

為了得到分辨率更好的平板透鏡，利用有限元的方法研究了由水/水銀材料組合的二維蜂窩結(jié)構(gòu)聲子晶體平板透鏡的負折射成像特性，通過數(shù)值仿真計算了聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)、等頻色散曲線，模擬了點源成像，并且利用高斯波束驗證了聲子晶體平板透鏡的負折射現(xiàn)象，得到了有效折射率neff=-1的成像。對比相同材料的正方晶格和三角晶格而言，該模型的成像效果更佳。為了改善成像分辨率，還在原來的模型上進行了改進，得到了分辨率約為0.37λ的亞波長像。

聲子晶體，負折射，蜂窩結(jié)構(gòu)，成像

1　引言

聲子晶體是一種新型人工功能材料，早期研究主要基于它的聲子禁帶，在禁帶范圍內(nèi)的彈性波將被禁止傳播，由于這一特殊性質(zhì)，可利用它來制作隔音材料、聲波導等［1-5］。近年來，人們開始把研究轉(zhuǎn)向聲子晶體的通帶，因為通帶也有很多有用的性質(zhì)，如負折射、自準直［6］等。關(guān)于負折射的研究起源于左手材料的興起，在1968年，前蘇聯(lián)物理學家Veselago首次提出左手材料的概念［7］，并分析了它所具有的一些特殊性質(zhì)，如反斯涅爾定律、逆多普勒效應、反切倫科夫效應等。但是由于在自然界中未能找到這樣的物質(zhì)，所以并沒有被人們重視，直到Pendry提出可利用金屬線陣列和開口環(huán)共振器陣列組合實現(xiàn)介電常數(shù)和磁導率同時為負值［8-9］，負折射率材料的研究才被人們重視，并取得了豐碩的成果［10-13］。后來人們又在光子晶體中發(fā)現(xiàn)了負折射現(xiàn)象，同樣在理論上和實驗上也取得了重大進展［14-20］。

在聲子晶體方面，近十年來，負折射的研究得到飛速發(fā)展［21-25］。張向東等人利用剛/空氣和水/水銀首次在二維正方晶格聲子晶體中實現(xiàn)了第一能帶的負折射成像并在水/水銀體系中找到了全角負折射區(qū)域［26］。邱春印等人在固液二維三角晶格聲子晶體中得到了第二能帶的負折射成像，并通過改變填充率的方法使得有效折射率為-1，實現(xiàn)遠場成像［27］。荔靜等人首次使用二維三組元的模型得到低頻帶的負折射現(xiàn)象［28］。何兆劍等人引入表面調(diào)節(jié)突破衍射極限，實現(xiàn)亞波長成像［29］。然而，在聲子晶體中關(guān)于六角蜂窩結(jié)構(gòu)的負折射研究尚未見報道，本文通過有限元的方法計算了六角蜂窩結(jié)構(gòu)能帶結(jié)構(gòu)及等頻色散曲線，并利用點源及高斯波束進行了模擬仿真，結(jié)果表明利用六角蜂窩結(jié)構(gòu)可以實現(xiàn)neff=-1的負折射成像：并且發(fā)現(xiàn)在這結(jié)構(gòu)中可實現(xiàn)理想成像［27］，而利用相同材料在正方晶格和三角晶格中的成像效果較差，未能實現(xiàn)理想成像，并且利用三角晶格及正方晶格所得到的平板透鏡分辨率不高。所以本結(jié)構(gòu)值得進行研究，同時，研究還發(fā)現(xiàn)對原來的蜂窩結(jié)構(gòu)進行改善，能進一步提高成像分辨率。

2　模型及模擬仿真

2.1模型

圖1給出了水/水銀的聲子晶體模型，其中藍色部分為水，灰色部分為水銀。該模型由水圓柱散射體以六角蜂窩晶格排列在水銀基體中形成，其中最近鄰的圓柱之間距離為a，圓柱半徑為0.35a，填充率為0.296。材料參數(shù)如下：水密度ρ=1.0×103kg/m3，聲速c=1.49 km/s；水銀密度ρ=13.5×103kg/m3，聲速c=1.45 km/s。為了實際可行，在水圓柱外層加上很薄的橡皮包層，其材料參數(shù)與水相仿，所以可忽略其影響。

圖1　六角蜂窩結(jié)構(gòu)聲子晶體模型Fig.1　Configuration of phononic crystal with honeycomb-lattice

2.2能帶結(jié)構(gòu)

如圖2所示，計算了單胞的色散關(guān)系，縱軸為歸一化頻率，橫軸為波矢，從Γ點出發(fā)的直線為水銀的色散線，與第二能帶相交于頻率為0.2427（2πc/a）處。從能帶結(jié)構(gòu)上看，第二能帶的帶頂較平，頻率較低，并且關(guān)于Γ點附近對稱性較好，所以在此頻率附近將出現(xiàn)負折射現(xiàn)象［14，28］。

圖2　水/水銀蜂窩晶格的能帶結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Band structure for the designed phononic crystal consisting of water cylinders in mercury background arranged in honeycomb-lattice

2.3等頻色散曲線

圖3描繪了第二能帶以Γ點為圓心的等頻色散曲線，因為等頻色散曲線表征了聲波在聲子晶體中的傳播特性，其法線方向就是能量傳播的方向，也就是群速度的方向，而相速度的方向則沿波矢方向，當兩者方向相反時，將出現(xiàn)負折射現(xiàn)象。由圖3可見在頻率范圍0.2158～0.2455（2πc/a）內(nèi)的等頻線非常接近為圓，這表明了在這頻率范圍內(nèi)，聲子晶體可視為各向同性介質(zhì)，從而可以定義有效折射率［28］neff=-|k|c/ω。由于Γ點為高頻率點，群速度方向沿法向向內(nèi)，而相速度則沿波矢方向從Γ點沿法向向外，所以群速度與相速度反向，在此頻率范圍附近將會出現(xiàn)負折射現(xiàn)象。另外給出了該頻率的水銀的等頻圓（黃色），發(fā)現(xiàn)其大小與聲子晶體的幾乎一樣。這表明了在0.2255（2πc/a）頻率處得到了有效折射率neff=-1的情況。

圖3　聲子晶體第二能帶的等頻色散曲線圖Fig.3 EFCs of the designed phononic crystal for some frequencies at the second band

2.4高斯波束仿真

為了直觀看到負折射現(xiàn)象，高斯波束被用來進行了仿真模擬，結(jié)果如圖4所示，所使用的聲子晶體平板大小為92（行）×12（層），其表面法向為ΓM方向（接下來的模擬仿真都取此方向，不再贅述），利用有限元的方法進行仿真，高斯波束從左下方入射，入射角為α=30°，頻率為0.2255（2πc/a）。用帶箭頭的黑線描繪了高斯波束的傳播路徑，高斯波束在平板兩界面都發(fā)生了負折射，最后從平板右邊出射，出射角為β=30°，方向與入射方向保持一致。圖中虛線為法線，可見入射波和折射波居于法線同側(cè)，由此可證明所研究的模型確實存在負折射現(xiàn)象。但是仿真結(jié)果也顯示透射波束較弱，絕大部分能量被反射掉了。

圖4　高斯波束仿真圖Fig.4 Simulation by Gaussian beam

2.5點源模擬

在聲子晶體平板左端放置一個點源，頻率為0.2255（2πc/a），使用了12層的平板，板厚為8.7a。物距設(shè)置為1.05a，如圖5（a）所示，結(jié)果顯示在板右端成像，測得像距為7.15a，物距與像距的和為8.2a，與板的厚度近似。再改變點源位置，使物距分別為4.15a和6.15a，得到的結(jié)果顯示，像距分別為4.35a和2.25a，物距與像距之和與板的厚度接近，表明設(shè)計的聲子晶體平板的有效折射率近似為-1。此外，保持物距為6.15a，使板的厚度分別為12層，16層和20層，得到的結(jié)果如下：16層板厚為11.7a，所得像距為5.2a；20層板厚為14.7a，像距為8.35a。可見點源位置以及板的厚度對折射率并無影響。

圖5　點源仿真圖Fig.5 Simulation with a point source

圖5（b）、5（c）分別給出了用同樣材料在正方晶格和三角晶格中的成像仿真，與蜂窩晶格相比，其成像效果較差，且未能實現(xiàn)理想成像。導致這種差別的主要原因是晶格結(jié)構(gòu)的差異使得能帶結(jié)構(gòu)和等頻色散曲線不同，在三角晶格和正方晶格中并沒有得到滿足條件的等頻圓，所以無法得到理想成像。

為了研究模型的成像分辨率，進一步描繪了圖5（a）中像點位置沿y方向上的聲場分布強度圖。如圖6所示，圓柱半徑為0.35a，點源距離平板為1.05a，結(jié)果顯示像點處強度比較低，約為0.06 W/m2，半高全寬［30］（Full widths at half maximum，F(xiàn)WHM）為3.93a，分辨率為0.88λ。

圖6　像點處y方向的強度分布圖Fig.6 Intensity distribution along y-direction at the image

3　改進模型及結(jié)果分析

為了提高成像分辨率，在原模型兩邊都加上一排水柱子，如圖7所示。所用材料及參數(shù)不變，藍色環(huán)形為水，灰色部分為水銀。大圓柱半徑R為0.35a，小圓柱半徑r取值為0.01a～0.2a，小圓柱距離大圓柱d為1a。通過點源的模擬仿真，發(fā)現(xiàn)其成像強度在一定范圍內(nèi)隨r的增大而增強（如圖8所示）。

圖7　改進模型結(jié)構(gòu)圖Fig.7 Configuration of improved phononic crystal with honeycomb-lattice

圖8　半高全寬及強度隨兩側(cè)圓柱半徑變化圖Fig.8　Variation of FWHM and intensity by changing the value of bilateral radius

進一步研究其分辨率的變化，圖8還給出了像點的FWHM隨r的變化，F(xiàn)WHM的大小表征了成像分辨率的情況，它的值越小，表明分辨率越高。保持R=0.35a不變，得到的結(jié)果表明在一定范圍內(nèi)，F(xiàn)WHM隨著r增大而減小，在r=0.2a時取得最好的分辨率，約為0.37λ。

這種改進模型能改善成像分辨率的原因是它在小圓柱和大圓柱之間產(chǎn)生了聲表面波，由于聲表面波在一定程度上可以恢復點源的衰逝模式，所以成像質(zhì)量就可以得到改善了。為了證明此觀點，圖9描繪了超元胞的能帶結(jié)構(gòu)（超元胞的結(jié)構(gòu)如圖7紅框所示），藍色實線為基體水銀的色散線，紅色虛線為由于增加了兩排小圓柱而產(chǎn)生的聲表面波模，它位于工作頻率0.2255（2πc/a）附近，因此對成像質(zhì)量的改善起關(guān)鍵作用。

圖9　超元胞能帶結(jié)構(gòu)圖Fig.9 Band structure for the chosen supercell

4　結(jié)論

本文利用水/水銀的材料組合設(shè)計了蜂窩結(jié)構(gòu)的聲子晶體平板，并通過有限元的方法計算了能帶結(jié)構(gòu)和等頻色散曲線，及高斯波束的負折射和點源成像的仿真模擬。結(jié)果表明利用六角蜂窩結(jié)構(gòu)可以實現(xiàn)neff=-1的負折射成像：并且發(fā)現(xiàn)在這結(jié)構(gòu)中可實現(xiàn)完美成像，而利用相同材料在正方晶格和三角晶格中的成像效果較差，未能實現(xiàn)完美成像，并且利用三角晶格及正方晶格所得到的平板透鏡分辨率不高。通過在兩邊加柱子對模型進行改進，發(fā)現(xiàn)在相同條件下，改進模型可改善成像的分辨率。最后，本文所做的工作有望為以后實現(xiàn)聲子晶體平板透鏡的設(shè)計應用提供一定理論指導。

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Negative refraction and imaging of two-dimensional phononic crystal with honeycomb-lattice

LIN Jian1，2WU Fugen1YAO Yuanwei2ZHANG Xin2
（1 Department of Experiment Education，Guangdong University of Technology，Guangzhou 510006，China）
（2 Department of Physics and Optoelectronic Engineering，Guangdong University of Technology，Guangzhou 510006，China）

To get a superior imaging resolution，a flat len of two-dimensional phononic crystal（PC）with honeycomb-lattice，which is composed of water/mercury，was studied by finite-element method.The band structure and equifrequency contour（EFC）of the PC were calculated and the Gaussian beam was used to demonstrate the negative refraction effects of the PC len.It is found that the effective index of-1 could be obtained by simulation with a point source.As contrasted to square-lattice and triangular-lattice with these same materials，the better effects of imaging and a dominant resolution can be gotten with honeycomblattice.In order to improve the imaging resolution，a new model based on the old one was presented with a subwavelength imaging resolution of 0.37λ.

Phononic crystal，Negative refraction，Honeycomb-lattice，Imaging

O735

A

1000-310X（2015）06-0533-06

10.11684/j.issn.1000-310X.2015.06.009

2015-06-01收稿;2015-07-30定稿

?廣東省自然科學基金重點項目（S2012020010885），廣東省科技計劃項目（2012b01010036）

林建（1990-），男，廣東湛江人，碩士研究生，研究方向：聲子晶體。

E-mail：wufugen@21cn.com