肖菊霞，史建紅

(山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，山西臨汾041000)

在帶常利率的更新風(fēng)險(xiǎn)模型下，t時(shí)刻資產(chǎn)余額Uβ(t)滿足的微分方程為d Uβ(t)=c d t+βUβ(t)d t－d X(t).其中常數(shù)u≥0是保險(xiǎn)公司的初始盈余額;常數(shù)c＞0表示保費(fèi)收益率;常數(shù)β＞0是常利率;X(t)表示t時(shí)刻為止的的理賠額總和;更新過(guò)程{ N (t);t≥0}表示t時(shí)刻為止的總索賠次數(shù);索賠額 {Zj}是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，其分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別為F(x)和p(x);X(t)=表示第k次索賠發(fā)生時(shí)刻，其中S0=0;索賠時(shí)間間隔Tj=Sj－Sj－1，j≥1是獨(dú)立同分布的正隨機(jī)變量，其共同分布為參數(shù)為(α，B，b)的相位分布.

相位分布是風(fēng)險(xiǎn)理論中最常見(jiàn)的分布之一，近年來(lái)人們?cè)絹?lái)越關(guān)注時(shí)間間隔為相位分布的SparreAndersen模型.例如Jiandong Ren(2008)［1］研究了破產(chǎn)前瞬間資產(chǎn)余額和破產(chǎn)時(shí)赤字的聯(lián)合分布函數(shù);Min Song，Qingbin Meng，Rong Wu，Jiandong Ren(2010)［2］研究了 Gerber-Shiu 折現(xiàn)罰金函數(shù).

對(duì)Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)的研究是破產(chǎn)理論主要研究的問(wèn)題之一，它為研究破產(chǎn)前瞬間資產(chǎn)余額和破產(chǎn)時(shí)赤字的聯(lián)合密度提供了統(tǒng)一的方法.對(duì)此問(wèn)題的研究始于Gerberand Shiu(1998)［3］;Lin(2003)研究了時(shí)間間隔為Erlang(2);李平(2013)［4］研究了雙Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型下Gerber-Shiu函數(shù).

常利息率更新風(fēng)險(xiǎn)模型也是現(xiàn)代風(fēng)險(xiǎn)理論研究的重要方面，許多人做過(guò)這方面的工作.例如Sundtand Teugels(1997)，Rong Wu，Yuhua Lu，Ying Fang(2008)［5］.在帶常利息率索賠時(shí)間間隔為相位分布的更新風(fēng)險(xiǎn)模型下，從相位的各個(gè)狀態(tài)開(kāi)始研究，用概率方法得出了相位分布的一些基本性質(zhì)以及Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)的確切解.

1 相位分布性質(zhì)

若記J(t)為t時(shí)刻馬氏鏈的狀態(tài)，J(t)有n個(gè)暫態(tài) {1 ，2，…，n }和一個(gè)吸收態(tài)n+1.

bj是從暫態(tài) j跳到吸收態(tài)的密度，bi，j是從暫態(tài) i跳到暫態(tài) j的密度，其中 i，j=1，2，…，n，則有 Tj=T1=inf{t≥)=n+1}(j1)，，0n，≥ 記 為相位的密度矩陣 為元素為零的 維行向量 相位的轉(zhuǎn)移矩陣為p=(pij)n×n.

2 主要結(jié)論

期望折現(xiàn)函數(shù)是破產(chǎn)前瞬間資產(chǎn)余額和破產(chǎn)時(shí)赤字的期望折現(xiàn)，當(dāng)初始余額為u時(shí)，定義為

因?yàn)樗髻r發(fā)生才有可能導(dǎo)致破產(chǎn)，故而可定義從狀態(tài)i出發(fā)，初始余額為u時(shí)，在第k次索賠發(fā)生后破產(chǎn)的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)為

定理 1 對(duì)任意的 u，δ≥0，β＞0，當(dāng) k≥2 時(shí)

(i)當(dāng)β＞0時(shí)

即第k次索賠時(shí)破產(chǎn)意味著在Sk時(shí)刻之前都沒(méi)破產(chǎn)，從而在k≥2時(shí)，破產(chǎn)時(shí)刻Sk滿足以下條件:相位從狀態(tài)i出發(fā)，第一次到吸收態(tài)時(shí)沒(méi)有破產(chǎn)，而后重新從狀態(tài)j出發(fā)，經(jīng)過(guò)k－1次索賠后最終破產(chǎn)，從而若Sk=t，則第一次索賠發(fā)生時(shí)索賠額，而從狀態(tài)i出發(fā)，Tj的密度函數(shù)，且由索賠額的密度函數(shù)為p(x)，可得

當(dāng) β＞0時(shí)，

推論 1 對(duì)任意的 u，δ≥0，β＞0，當(dāng) k≥2 時(shí)

由定理1可知，當(dāng)β＞0時(shí)，

同理可得到β=0的情況.

注1 在推論1中，令z=y－x，則

推論 2 對(duì)任意的 u，δ≥0，β＞0，k≥2，當(dāng) β＞0 時(shí)，

證明由注1可直接推出.

定理2 對(duì)任意的u，δ≥0，β≥0，當(dāng) β＞0時(shí)，

當(dāng)β=0時(shí)，

證明 由于只有發(fā)生索賠時(shí)才可能發(fā)生破產(chǎn)，所以φβ(u)=，從而由注 1 及推論 2 直接得出.

［1］REN J D.The Discounted Joint Distribution of the Surplus Prior to Ruin and the Deficit at Ruin in a Sparre Andersen Model［J］.North American Actuarial Journal，2008，11(3):128-137

［2］SONG M，MENG Q B，WU R，et al.The Gerber-Shiu Discounted Penalty Function in the Risk Process with Phase-type Inter-claim Times［J］.Applied Mathematics and Computation，2010(216):523-531

［3］HANSU，GERBER E，SHIU SW.On the Time Value of Ruin［J］.North American Actuarial Journal，1998，2(1):49-84

［4］李平.雙Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型下Gerber-Shiu函數(shù)及測(cè)度變換的研究［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2013，30(6):11-15

［5］WU R，LU Y H ，F(xiàn)ANG Y .On the Gerber-Shiu Discounted Penalty Function for the Ordinary Renewal Risk Model with Constant Interest［J］.North American Actuarial Journal，2007，11(2):119-134