李艷艷，蔣建新

(文山學院 數(shù)學學院，云南文山663000)

1 預備知識

令 N={ 1 ，2，…，n }表示自然數(shù)集，Cn×n(Rn×n)表示 n×n 復 (實)矩陣集，

下面給出將要用到的一些基礎(chǔ)知識.

設(shè) A=(aij)∈Rn×n，若 aij≥0，則稱 A 為非負矩陣(A≥0);若 aij≤0，i≠j，則稱 A 為 Z 矩陣;進一步如果 A為Z矩陣，且A－1≥0，就稱A為非奇異M矩陣，并用Mn表示非奇異M矩陣的集合;若A是不可約非負矩陣，則存在正向量u使A u=ρ(A)u，其中u稱為A的右Perron特征向量;A是不可約非奇異M矩陣，則存在正向量v使A v=T(A)v，其中v稱為A的右Perron特征向量.

矩陣 A=(aij)，B=(bij)∈Rn×n的 Hadamard 積為 A·B=(aijbij)∈Rn×n.

令q(A)=min{Re(λ):λ∈σ(A)}表示矩陣A的最小特征值，ρ(A)表示矩陣A的譜半徑，σ(A)是Z矩陣A的特征值的集合.

若 A，B∈Mn，F(xiàn)iedler M［1］證明了 A·B－1∈Mn.

2 主要結(jié)果

引理 1［2］設(shè) A，B，C，D∈Rn×n，其中 C，D 是對角矩陣，則

一方面設(shè)矩陣 B－1·A 不可約，那么 A，B－1也不可約，令 D=diag(d1，d2，…，dn)，di＞0，因為 D－1B－1D 為非負不可約矩陣，則存在正向量 u=(u1，u2，…，un)，使得(D－1B－1D)u=ρ(D－1B－1D)u=ρ(B－1)u ，若寫成分量形式，有

再設(shè) U=diag(u1，u2，…，un)，令 C=(DU)－1B－1(DU)，則

G·B－1也為不可約非奇異 M 矩陣，又由引理 1 知，(FV)－1(A·B－1)(FV)=(FV)－1A(DU)·B－1=G·B－1，即q(A·B－1)=q(G·B－1)= λ，又由引理 2 知存在 i，使得

此處的估計式一定情況下提高了經(jīng)典估計式q(A·B－1)≥q(A)miniβii.

3 數(shù)值算例

算例說明此處估計式提高了現(xiàn)有的結(jié)果.

［1］FIEDLER M，MARKHAM T.An Inequality for the Hadamard Product of an M-matrix and Inverse M-matrix［J］.Linear Algebra Appl，1988(101):1-8

［2］陳景良，陳向暉.特殊矩陣［M］.北京:清華大學出版社，2000

［3］黃榮.Some Inequalities for the Hadamard Product and the Fan Product of Matrices［J］.Linear Algebra and Its Applications，2008(428):1551-1559

［4］HORN R A，JOHNSON C R.Topics in Matrix Analysis［M］.New York:Cambridge University Press，1991

［5］CHEN SC.A Lower Bound for the Minimum Eigenvalue of the Hadamard Product of Matrix［J］.Linear Algebra Appl，2004(378):159-166