劉世忠

（蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院 蘭州，730070）

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系桿拱橋的橫向振動(dòng)特性分析
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劉世忠

（蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院 蘭州，730070）

依據(jù)能量原理，選取系桿拱橋橫向基頻陣型為正弦波，計(jì)算了系桿拱體系的橫向振動(dòng)應(yīng)變能以及動(dòng)能，利用Rayleigh法，得到了系桿拱橫向振動(dòng)的基頻計(jì)算公式，基頻公式物理概念明確，與有限元法相比具有計(jì)算簡(jiǎn)便、精度高等優(yōu)點(diǎn)；根據(jù)平衡原理推導(dǎo)出吊桿“非保向力效應(yīng)”矩陣，采用自編程序計(jì)算了吊桿“非保向力效應(yīng)”對(duì)系桿拱自振特性的影響。結(jié)果表明：吊桿“非保向力效應(yīng)”對(duì)系桿拱橋的低階橫向自振頻率有較大影響，吊桿的“非保向力效應(yīng)”可提高系桿拱橋的橫向振動(dòng)基頻，對(duì)系桿拱的抗震設(shè)計(jì)具有參考價(jià)值。

系桿拱橋；能量原理；橫向基頻公式；非保向力效應(yīng)單元

引 言

改革開(kāi)放以來(lái)我國(guó)已經(jīng)修建了許多鋼管混凝土拱橋，我國(guó)也是世界上地震災(zāi)害頻發(fā)的國(guó)家之一，已有研究成果顯示［1-2］，系桿拱橫向第一振型占其地震反應(yīng)的主要部分，筆者提出的系桿拱橫向第一自振頻率計(jì)算公式相對(duì)于空間有限元建模計(jì)算簡(jiǎn)便易行，計(jì)算精度高，可滿足系桿拱抗震計(jì)算要求。依據(jù)平衡原理推導(dǎo)了吊桿“非保向力效應(yīng)”矩陣，利用自編程序計(jì)算了吊桿“非保向力效應(yīng)”對(duì)系桿拱自振特性的影響。結(jié)果表明：吊桿的“非保向力效應(yīng)”對(duì)系桿拱橋橫向低階自振頻率的影響不能忽略，但對(duì)豎向基頻和高階振動(dòng)頻率的影響較小。

1 系桿拱橋橫向振動(dòng)的應(yīng)變能

假定拱肋橫向振動(dòng)基頻對(duì)應(yīng)振型按正弦函數(shù)y =A sin（π·G/GS）曲線振動(dòng)［3］，其中GS為拱的總長(zhǎng)度，G為從左端沿拱軸線任一點(diǎn)的弧長(zhǎng)。拱肋兩端支座處由于系梁（拱座）的約束不但使得y=0，而且扭轉(zhuǎn)也為零，拱肋橫向彎曲轉(zhuǎn)角為d y/d s；引起的系桿截面的彎曲轉(zhuǎn)角為（d y/d s）cosα，α為拱肋與系桿連接處的夾角；系桿對(duì)拱腳的約束力矩為（2EI/L0）·（d y/d s）cosα，EI為系桿橫向抗彎剛度，L0為跨度。

設(shè)拱肋發(fā)生一階橫向振型，其對(duì)應(yīng)的彎曲應(yīng)變能可按下式計(jì)算：

其中：Π為體系的總應(yīng)變能；Π0為拱肋的彎曲應(yīng)變能；ΠH為橫撐的彎曲應(yīng)變能；ΠX為斜撐的彎曲應(yīng)變能；ΠR為系桿對(duì)拱腳約束而產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)應(yīng)變能。

由振型函數(shù)得拱肋（兩片）的彎曲應(yīng)變能為

其中：EGIG為一片拱的橫向彎曲剛度。

設(shè)拱肋在橫撐（斜撐）節(jié)點(diǎn)由于橫向彎曲引起的相對(duì)于初始狀態(tài)的轉(zhuǎn)角為β，β=d y/d s=y′，則由此引起的橫撐與斜撐的桿端彎矩為MH與MX，表達(dá)式［］為

其中：EHIH，EXIX分別為橫撐與斜撐的抗彎剛度；B為兩拱肋橫向?qū)挾?；LX為斜撐的長(zhǎng)度；對(duì)于只設(shè)橫撐沒(méi)有斜撐的拱，MX=0。

一個(gè)橫撐和斜撐的應(yīng)變能分別為

則全部橫撐和斜撐的應(yīng)變能為

系桿轉(zhuǎn)動(dòng)應(yīng)變能為

設(shè)Δ為橫撐在順橋向的間距；系桿拱橫向振動(dòng)時(shí)的總應(yīng)變能為

2 系桿拱橋橫向振動(dòng)的基頻計(jì)算公式

設(shè)系桿拱橫向振動(dòng)的總應(yīng)變能為Π，動(dòng)能T為

則由Rayleigh法知，體系的總應(yīng)變能與動(dòng)能相等，即得

將y=Asin（π·G/GS）代入式（9）計(jì)算整理得

如橫撐，拱肋斜撐和系桿為同一種材料，則E= EG=EH=EX，此時(shí)，可令

式（10）可簡(jiǎn)寫為

3 算 例

3.1 下承式系桿拱橋［5］

某跨度為130m，橋?qū)?5m的鋼管混凝土系桿拱橋，系桿（縱梁）高為2.7m，寬1.6m的鋼箱梁，吊桿采用50B級(jí)Φ100mm級(jí)鋼拉棒，設(shè)計(jì)示意圖見(jiàn)圖1。

圖1 設(shè)計(jì)示意圖（單位：mm）Fig.1 Schematicdesign（Unit：mm）

系桿拱截面特性如表1所示。

表1　系桿拱截面特性Tab.1 Section properties of tied archbridge

拱肋弧長(zhǎng)GS=137.366 m，跨度L0=130.00 m，節(jié)間長(zhǎng)Δ=8 m，肋間斜撐長(zhǎng)LX=14.84 m，拱肋與系桿夾角為α=0.605 6 rad，EG=E=2.1×108k Pa，EX=EH=3.3×107k Pa，單根拱肋的線質(zhì)量m=8.758 k N·s2/m。

將以上參數(shù)代入式（10）、（11）可得

與三維有限元自振特性分析［4］所得橫向一階自振頻率ωF=3.479 8 rad/s相比，相對(duì)誤差小于1％，說(shuō)明文中對(duì)系桿拱橋橫向振動(dòng)基頻計(jì)算公式（11）具有相當(dāng)高的精度。

3.2三連拱橋［3］

文獻(xiàn)［3］給出的東崗黃河大橋?yàn)橐蝗B拱鐵路上承式拱橋（圖2），采用空間動(dòng)力分析SAP-V軟件計(jì)算得到的橫向振動(dòng)基頻及實(shí)測(cè)結(jié)果如表2所示（引自文獻(xiàn)［3］表8-6）。第1，2頻率代表兩個(gè)邊孔的橫向振動(dòng)，第3頻率代表中孔的橫向振動(dòng)。

圖2　東崗黃河大橋Fig.2 DONGGANG yellow river bridge

表2　三連拱橋橫向自振頻率Tab.2 Vibration frequency of triple arch bridge

橋梁基本參數(shù)為：拱軸弧長(zhǎng)64 m，拱肋中心距2.6 m，單根拱肋橫向平均慣性矩為0.100 5 m4，肋間橫撐慣性矩為0.014 25 m4，節(jié)間長(zhǎng)4.5 m，各構(gòu)件材料彈性模量相同，為32.37×106k Pa，單根拱肋平均線質(zhì)量m=7.34 k N·s2/m。由式（12）計(jì)算公式得

由推導(dǎo)的計(jì)算公式所得結(jié)果與有限元解第一孔橫向振動(dòng)頻率的誤差為3.06％，與實(shí)測(cè)值的誤差僅為1.38％，完全滿足工程計(jì)算精度需求?？梢?jiàn)筆者依據(jù)能量原理推導(dǎo)建立的拱橋橫向振動(dòng)基頻理論計(jì)算公式概念明確，計(jì)算簡(jiǎn)便，具有相當(dāng)高的精度。

4 吊桿“非保向力效應(yīng)”對(duì)系桿拱自振頻率的影響

吊桿“非保向力效應(yīng)”是指拱肋側(cè)傾后，由于拱肋相對(duì)于橋面發(fā)生相對(duì)位移（ua-ub），吊桿發(fā)生傾斜，軸向拉力N對(duì)下弦橋面產(chǎn)生一個(gè)與側(cè)傾方向相反的水平分力H，這個(gè)水平力H對(duì)拱肋相當(dāng)于一個(gè)側(cè)向水平彈性支撐作用效應(yīng)，如圖3所示。吊桿側(cè)傾單元如圖4所示。

如圖3由平衡關(guān)系可得

又因?yàn)镠j=-Hi，從而

合并式（13），（14）可得

圖3　“非保向力效應(yīng)”圖示Fig.3 Non conservative force effect graghic

圖4　“非保向力效應(yīng)”單元Fig.4 Element of non conservative force effect

令：

其中：［］KH稱為吊桿側(cè)傾剛度矩陣；N受拉為正，它反映出吊桿出拱平面“非保向力效應(yīng)”的影響。

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程［6］為

頻率方程為

式（18）采用修正的RITZ矢量直接迭加法［6-7］（MRVDS）的自編程序（PCFAP）計(jì)算，考慮和不考慮“非保向力效應(yīng)”前6階自振頻率如表3所示，對(duì)應(yīng)的振型如圖5。

表3　自振頻率比較表（ωi=2π/T i）Tab.3 Compare for vibration frequency（ωi=2π/Ti）

圖5　系桿拱橋前6階振型（單位：Hz）Fig.5 The six vibration type of the tied arch bridge（U-nit：Hz）

由表3和圖5可知，吊桿的“非保向力效應(yīng)”對(duì)系桿拱橋的橫向低階自振頻率影響較大，吊桿的“非保向力效應(yīng)”使得系桿拱橋的橫向基頻得以提高，使橫向一階和二階自振頻率分別提高9.57％和8.07％，而對(duì)高階橫向自振頻率和豎向自振頻率的影響較小。由圖5可知，該系桿拱橋前6階自振特性表現(xiàn)為：a.拱肋一階橫向振動(dòng)；b.拱梁豎向一階振動(dòng)；c.拱肋橫向二階振動(dòng)；d.拱梁豎向二階振動(dòng)；e.拱梁的豎向三階振動(dòng)；f.拱肋橫向三階振動(dòng)。圖5中自振頻率物理意義為：不考慮“非保向力效應(yīng)”ANSYS結(jié)果/考了“非保向力效應(yīng)”的MRVDS法結(jié)果。

5 結(jié)束語(yǔ)

系桿拱橋的橫向振動(dòng)以及抗震問(wèn)題［8］是橋梁工程師設(shè)計(jì)中必須認(rèn)真研究的技術(shù)問(wèn)題之一，這無(wú)不與基頻特別是橫向振動(dòng)基頻密切聯(lián)系在一起，筆者為系桿拱橋的橫向基頻計(jì)算提供了簡(jiǎn)便的計(jì)算公式，探討了吊桿“非保向力效應(yīng)”對(duì)系桿拱橋自振特性的影響，筆者所得結(jié)論對(duì)系桿拱橋設(shè)計(jì)中的抗震計(jì)算與動(dòng)力性能評(píng)估具有參考價(jià)值。

［1］ 范立礎(chǔ)，胡世德，葉愛(ài)君.大跨度橋梁抗震設(shè)計(jì)［M］.北京：人民交通出版社，2001：35-45.

［2］ 李國(guó)豪.橋梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定與振動(dòng)［M］.北京：中國(guó)鐵道出版社，1991：68-72.

［3］ 項(xiàng)海帆，劉光棟.拱結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定與振動(dòng)［M］.北京：人民交通出版社，1991：56-60.

［4］ 包世華.結(jié)構(gòu)力學(xué)（上）［M］.3版.武漢：武漢理工大學(xué)出版社，2007：32-38.

［5］ 劉世忠，歐陽(yáng)永金，沈波.鋼管混凝土系桿拱橋的整體穩(wěn)定性及自振特性分析［J］.甘肅科學(xué)學(xué)報(bào)，1994，6（1）：28-35. Liu Shizhong，Ouyang Yongjin，Shen Bo.An analysis of the structure stability and dynam IC behav 10R of a steel plpe arch bridge with vertical hangers［J］.Journal of Gansu Scieces，1994，6（1）：28-35.（in Chinese）

［6］ 吳鴻慶，任俠.結(jié)構(gòu)有限元分析［M］.北京：中國(guó)鐵道出版社，2000：89-96.

［7］ 任俠，吳鴻慶.用MRVDS方法求解振動(dòng)特征值的若干問(wèn)題［J］.鐵道學(xué)報(bào)，1993，15（2）：93-100. Ren Xia，Wu Hongqing.On the convergence and rootmissing problem of the MRVDs method［J］.Journal of China Railway Society，1993，15（2）：93-100.（in Chinese）

［8］ 陳寶春.鋼管混凝土拱橋設(shè)計(jì)與施工［M］.北京：人民交通出版社，1999：85-92.

U448.29

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.02.001

劉世忠，男，1962年1月生，博士、教授博士生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)闃蛄航Y(jié)構(gòu)有限元分析，橋梁檢測(cè)評(píng)估與加固。曾發(fā)表《大溫差影響下劉家峽大橋基準(zhǔn)索股的調(diào)整》（《橋梁建設(shè)》2014年第44卷第3期）等論文。

E-mail：Liusz2000@163.com

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51368032）

2013-01-21；

2014-05-09