孫 鳳，李 清，金俊杰，段振云

（沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，沈陽 110870）

可變磁路式永磁懸浮系統(tǒng)模型辨識與分析*

孫 鳳，李 清，金俊杰，段振云

（沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，沈陽 110870）

可變磁路式永磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，很難得到較準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，而系統(tǒng)辨識方法是解決問題的有效途徑。文章闡述了永磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其工作原理，并根據(jù)其運(yùn)行機(jī)理及相關(guān)準(zhǔn)則通過數(shù)學(xué)方法建立系統(tǒng)平衡位置處電流-磁鐵轉(zhuǎn)角-位移之間關(guān)系模型；其次，通過懸浮實(shí)驗(yàn)采集真實(shí)輸入輸出數(shù)據(jù)，利用模型辨識方法獲得系統(tǒng)ARX模型，對比兩種系統(tǒng)模型受階躍擾動(dòng)的仿真結(jié)果表明：辨識模型的最終穩(wěn)態(tài)值與實(shí)際結(jié)果一致且調(diào)節(jié)時(shí)間短，振蕩次數(shù)和實(shí)際結(jié)果吻合，系統(tǒng)響應(yīng)特性較好；理論模型的階躍響應(yīng)存在穩(wěn)態(tài)誤差且振蕩次數(shù)多，調(diào)節(jié)時(shí)間長，這是由于理論模型中結(jié)構(gòu)參數(shù)測算誤差導(dǎo)致的仿真結(jié)果偏差。

永磁懸?。荒Ｐ捅孀R；階躍響應(yīng)；穩(wěn)態(tài)誤差

0 引言

磁懸浮技術(shù)具有無接觸、無摩擦、高精度、無需潤滑等一系列優(yōu)點(diǎn)，使磁懸浮技術(shù)的應(yīng)用越來越廣泛，目前主要應(yīng)用于磁懸浮列車、磁軸承等領(lǐng)域［1-3］。磁懸浮技術(shù)主要分為電磁懸浮技術(shù)及永磁懸浮技術(shù)，電磁懸浮技術(shù)的不足之處在于高耗能、應(yīng)用過程中需要持續(xù)不斷的供電。而永磁懸浮技術(shù)具有節(jié)能，永不失磁等優(yōu)點(diǎn)，能有效解決磁懸浮技術(shù)高制造成本的缺陷，對于磁懸浮技術(shù)的普及與推廣具有重要意義［4-5］。

永磁懸浮技術(shù)的突出優(yōu)點(diǎn)，使其快速成為當(dāng)今的科研熱點(diǎn)并能有效解決復(fù)雜問題，新型永磁懸浮軸承應(yīng)用于透平機(jī)及心臟泵中，解決了傳統(tǒng)旋轉(zhuǎn)式心臟泵摩擦所帶來的溶血、血栓等問題［6-7］。永磁隔振器的設(shè)計(jì)應(yīng)用可提高超精密等加工場合零部件加工精度［8-10］。永磁懸浮系統(tǒng)的提出及研究集中于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、參數(shù)優(yōu)化、磁力分析等方面，求得永磁懸浮系統(tǒng)的精確模型對于上述問題的研究至關(guān)重要。目前，研究者們主要根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、運(yùn)行機(jī)理、物理規(guī)律等知識消除中間變量獲得動(dòng)力學(xué)模型，但永磁懸浮系統(tǒng)的強(qiáng)非線性特性給理論模型的建立帶來了較多困難，而基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的系統(tǒng)辨識方法無需深入了解系統(tǒng)運(yùn)行機(jī)理，對于復(fù)雜系統(tǒng)建模更具優(yōu)勢［11-13］。

本文提出通過改變磁通量繼而改變導(dǎo)磁懸浮物懸浮力的可控磁路式永磁懸浮系統(tǒng)。系統(tǒng)中，磁通量由盤狀永磁鐵產(chǎn)生，通過鐵軛及懸浮物構(gòu)成閉合導(dǎo)磁回路。因此，通過電機(jī)旋轉(zhuǎn)改變永磁鐵轉(zhuǎn)角可使回路中的磁通量改變，繼而改變懸浮力的大小。

本文首先闡述了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及懸浮原理并建立系統(tǒng)理論模型。其次，依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)利用系統(tǒng)辨識方法獲得系統(tǒng)ARX（extended auto-regressivemodel，擴(kuò)展自回歸模型）模型。最后，分別給予兩種方法所得模型相同的階躍擾動(dòng)，并對結(jié)果進(jìn)行分析和總結(jié)。

1 系統(tǒng)懸浮原理

本文提出的可控磁路式永磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。該裝置主要由徑向磁化的盤狀永磁鐵、兩個(gè)鐵軛及導(dǎo)磁鐵棒組成。兩個(gè)“F”形鐵軛對立安裝在盤狀永磁鐵兩側(cè)，導(dǎo)磁鐵棒安放在兩鐵軛正下方。

圖1 系統(tǒng)工作原理圖

設(shè)定圖1a所示狀態(tài)為初始狀態(tài)，此時(shí)永磁鐵轉(zhuǎn)角為0°，N極在正上方，S極在正下方。由N極發(fā)出的磁力線分別經(jīng)兩鐵軛回到S極不經(jīng)過鐵棒，鐵棒和鐵軛之間無懸浮力產(chǎn)生。如圖1b所示，永磁鐵旋轉(zhuǎn)30°角，部分磁力線從N極出發(fā)經(jīng)右鐵軛、導(dǎo)磁鐵棒、左鐵軛構(gòu)成的回路回到S極，因此鐵棒與鐵軛之間存在懸浮力。隨著永磁鐵轉(zhuǎn)角的增大，流經(jīng)鐵棒的磁力線也不斷增加，懸浮力增大，說明兩鐵軛與鐵棒間的懸浮力可通過改變永磁鐵轉(zhuǎn)角大小來控制。

2 理論模型建立

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖2所示。圖中m為鐵棒的質(zhì)量；fm為鐵棒與鐵軛之間的吸引力；d表示鐵棒與鐵軛間的懸浮氣隙；D為導(dǎo)磁鐵軛與永磁鐵間的氣隙；z表示鐵棒偏離穩(wěn)定懸浮處的垂直位移（向上為正）；θ為盤狀永磁鐵回轉(zhuǎn)角（順時(shí)針方向?yàn)檎?；g為重力常數(shù)。當(dāng)D，d一定時(shí)，懸浮力與永磁鐵轉(zhuǎn)角間的關(guān)系如圖3所示：

圖2 模型圖示及符號定義

圖3 懸浮力與磁鐵轉(zhuǎn)角關(guān)系圖

由圖可知鐵棒懸浮力fm是關(guān)于氣隙長度和永磁鐵轉(zhuǎn)角的函數(shù)：

此模型是根據(jù)系統(tǒng)內(nèi)在機(jī)理及相關(guān)定理在平衡位置處對轉(zhuǎn)角θ、位移z作線性化處理所得結(jié)果。各變量值如表1所示。

表1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)

3 模型辨識

控制領(lǐng)域中，理想的控制效果與精確的數(shù)學(xué)模型是分不開的，對于復(fù)雜系統(tǒng)而言，系統(tǒng)辨識法是建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的有效方法。

3.1 輸入輸出數(shù)據(jù)采集

系統(tǒng)懸浮實(shí)驗(yàn)中用懸浮物位移與永磁鐵轉(zhuǎn)角雙PD控制，控制器參數(shù)分別為 kp1=125930，kd1= 282.87；kp2=145.48，kd2=0.615，穩(wěn)定懸浮狀態(tài)如圖4所示。

圖4 系統(tǒng)穩(wěn)定懸浮狀態(tài)

當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置處穩(wěn)定懸浮時(shí)，給懸浮物施加0.04mm的階躍外擾，系統(tǒng)受到干擾后，通過PD2控制器的調(diào)節(jié)，永磁鐵轉(zhuǎn)角增大，懸浮力增加，鐵棒會向上移動(dòng)，通過控制系統(tǒng)的實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)，永磁懸浮系統(tǒng)可在很短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到新的穩(wěn)定懸浮狀態(tài)，各參數(shù)響應(yīng)情況如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)響應(yīng)曲線

3.2 模型結(jié)構(gòu)選擇及辨識

ARX模型（擴(kuò)展自回歸模型）為參數(shù)型動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型，是基于實(shí)際響應(yīng)來表述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的模型。具有結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性好等優(yōu)點(diǎn)，對于線性系統(tǒng)及非線性系統(tǒng)均有較高的辨識精度。本文選取ARX模型作為辨識模型結(jié)構(gòu)，其基本結(jié)構(gòu)為

式中U（k）為系統(tǒng)輸入，即電機(jī)控制電流；Y（k）為系統(tǒng)輸出量，即懸浮物位移和永磁鐵轉(zhuǎn)角；e（k）為白噪聲。z-1為后移算子；其中

I為ny×ny維單位陣；Ai，Bi分別為ny×ny，ny× nu維矩陣。

利用系統(tǒng)辨識軟件，選定模型階次為na=2，nb= 5，nc=0時(shí)辨識程度高，結(jié)果如圖6所示，模型結(jié)構(gòu)參數(shù)為

圖6 模型辨識結(jié)果

3.3 模型檢驗(yàn)

模型檢驗(yàn)是模型辨識的重要環(huán)節(jié)，為分析模型有效性，引入均方根誤差（RMSE）及相對誤差（RE）來衡量其正確性，計(jì)算方法為：

圖6所得辨識結(jié)果中位移輸出的均方根誤差為0.0055，相對誤差為0.0123%；轉(zhuǎn)角輸出的則分別為0.1809，0.0323%。觀察圖6，位移及轉(zhuǎn)角的辨識輸出與實(shí)驗(yàn)輸出只在方向變化時(shí)有些許差異，初始位置及新的穩(wěn)定懸浮位置值均符合實(shí)際結(jié)果，圖示結(jié)果及定量分析均說明模型與實(shí)際輸出擬合的較好，具有較高的辨識精度，適用于系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析及結(jié)果預(yù)測。

4 模型對比分析

為比較兩種建模方法的差異，使用理論模型及辨識模型階躍響應(yīng)結(jié)果同實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較分析。實(shí)驗(yàn)及仿真中均為0.03mm階躍擾動(dòng)且三種情況下均為PD控制且控制器參數(shù)相同，響應(yīng)結(jié)果如圖7。

圖7 階躍響應(yīng)對比

圖7a為懸浮物位移響應(yīng)曲線，辨識模型輸出穩(wěn)態(tài)值符合實(shí)驗(yàn)輸出，動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程與實(shí)驗(yàn)基本一致，而理論模型輸出穩(wěn)態(tài)誤差較大，且振蕩次數(shù)多；圖7b為永磁鐵轉(zhuǎn)角響應(yīng)曲線，辨識模型輸出結(jié)果與實(shí)際吻合，時(shí)間響應(yīng)平穩(wěn)性較好，只是超調(diào)量比實(shí)際略小，而理論模型輸出依然存在穩(wěn)態(tài)誤差且調(diào)節(jié)時(shí)間長，動(dòng)態(tài)響應(yīng)不能反應(yīng)實(shí)驗(yàn)真實(shí)情況；而對于圖7c電機(jī)的輸入電流，辨識輸出結(jié)果相比理論模型輸出更符合實(shí)際情況。綜合對比可見，辨識模型的輸出終值與實(shí)驗(yàn)輸出結(jié)果符合，其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)較好，調(diào)節(jié)時(shí)間及系統(tǒng)響應(yīng)過程與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致，動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性也比較好，而理論模型的動(dòng)態(tài)響應(yīng)及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)均不能反應(yīng)系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行特性；由于理論模型所涉及的結(jié)構(gòu)參數(shù)是通過間接測量所得，存在不可避免的誤差，且模型是在平衡位置處經(jīng)過線性化得到的，這一系列的不可控因素導(dǎo)致了仿真結(jié)果與實(shí)際結(jié)果的偏差，而辨識模型是基于能表征系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行特性的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的，減少了測量誤差對系統(tǒng)準(zhǔn)確性的影響，所以辨識模型能較準(zhǔn)確的反應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng)特性。

5 結(jié)論

本文提出一種基于改變導(dǎo)磁回路有效磁通量繼而改變懸浮力大小的永磁懸浮系統(tǒng)。并依據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及磁力特性建立了理論狀態(tài)空間模型；其次，利用系統(tǒng)懸浮實(shí)驗(yàn)實(shí)測數(shù)據(jù)完成模型辨識。理論模型、辨識模型及實(shí)驗(yàn)的階躍響應(yīng)結(jié)果對比表明：理論模型的實(shí)際輸出存在穩(wěn)態(tài)誤差且調(diào)節(jié)時(shí)間長，儒蕩次數(shù)多；而辨識模型的輸出終值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致，其儒蕩次數(shù)少，能很快達(dá)到新的穩(wěn)定懸浮狀態(tài)，響應(yīng)過程與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致，即其系統(tǒng)響應(yīng)特性好，對于后續(xù)系統(tǒng)研究具有重要意義。

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（編輯 李秀敏）

M odel Identification and Analysis for Permanent M agnetic Suspension System Using Flux Path Control

SUN Feng，LIQing，JIN Jun-jie，DUAN Zhen-yun
（School of Mechancial Engineering，Shenyang University of Technology，Shenyang 110870，China）

Permanentmagnetic suspension system using flux path controlmethod have complex structures，it’s hard to get the accurate numericalmodel，the system identification method is an effective way to solve the problem.The structure and suspension principle of system is explained，the current-angle of themagnetdisplacement relation model at equilibrium position is setup based on working principles and correlation criterion.Second，acquisition inputand output data through suspension experiment，using themodel identification method to obtain system ARX model，step response of two differentmodels indicate that：the final steady state value of identification model is consistentw ith actual result and the adjusting time is short，the oscillation frequency agreew ith the reality，system response is better.The step response of theoreticalmodel have steady-state error and oscillation frequency is larger，adjustment time is long，the deviation of simulation resultsmay caused by themeasuring error of structural parameters for theoreticalmodel

permanentmagnet suspension；model identification；step response；steady-state error

TH166；TG659

A

1001-2265（2015）07-0087-04 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.07.024

2014-11-05

國家自然科學(xué)基金（51105257，51310105025）；遼寧省高等學(xué)校杰出青年學(xué)者成長計(jì)劃（LQJ2014012）；中國博士后科學(xué)基金（2015M571327）；十二五國家科技支撐計(jì)劃（2014BAF08B01）

孫鳳（1978-），男，滿族，遼寧阜新人，沈陽工業(yè)大學(xué)副教授，博士，研究方向?yàn)榇艖腋〖夹g(shù)與數(shù)控技術(shù)，（E-mail）sunfeng@sut.edu.cn；通訊作者：李清（1990-），男，沈陽工業(yè)大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)電系統(tǒng)控制與優(yōu)化，（E-mail）sutliqing@163.com。