王 樂，李海泓，張 玲

(中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471009)

0 引 言

滾柱絲杠按其用途可分為行星滾柱絲杠(RSM)、差動(dòng)式滾柱絲杠及循環(huán)式滾柱絲杠，其中行星滾柱絲杠具有很高的承載能力，能適應(yīng)極高的速度加速度，且具有很高的穩(wěn)定性［1］，因此在傳動(dòng)進(jìn)給系統(tǒng)中得到廣泛的應(yīng)用。行星滾柱絲杠主要由五部分組成:絲杠、滾柱、螺母、持環(huán)及齒輪，如圖1 所示。

行星滾柱絲杠是把轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)形式轉(zhuǎn)化為軸向運(yùn)動(dòng)形式的機(jī)構(gòu)，其與行星滾珠絲杠(BSM)結(jié)構(gòu)相似，區(qū)別在于行星滾柱絲杠的載荷傳遞元件為螺紋滾柱，而非滾珠，相比于行星滾珠絲杠，行星滾柱絲杠的基礎(chǔ)表面具有更大的曲率半徑，而且接觸表面的數(shù)量也較多，這決定了行星滾柱絲杠擁有高壽命、大載荷及高速度運(yùn)行能力。

圖1 行星滾柱絲杠結(jié)構(gòu)示意圖

行星滾柱絲杠一般應(yīng)用在關(guān)鍵的、高精度機(jī)械里，如醫(yī)療器械［2－4］、航空航天工業(yè)［5－6］、光學(xué)裝置［7］、機(jī)器人及高精密度機(jī)床［8－9］。國內(nèi)外對(duì)行星滾柱絲杠的研究日趨成熟，能夠得到廣泛的工業(yè)應(yīng)用是建立在對(duì)行星滾柱絲杠效率、失效形式以及動(dòng)態(tài)載荷試驗(yàn)的深入研究的基礎(chǔ)之上;Velinsky［10］對(duì)行星滾柱絲杠的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了研究，并給出了其效率隨螺紋螺旋角及接觸角變化規(guī)律。現(xiàn)有的研究主要集中在滾柱絲杠大轉(zhuǎn)角運(yùn)動(dòng)特性［11－12］，對(duì)小轉(zhuǎn)角運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)力學(xué)及受力特性研究還是一片空白。本文首先通過理論分析建立行星滾柱絲杠的數(shù)學(xué)模型，從彈性變形及傳動(dòng)關(guān)系研究行星滾柱絲杠運(yùn)行過程;其次建立行星滾柱絲杠的有限元模型，通過有限元顯式算法對(duì)行星滾柱絲杠進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，研究行星滾柱絲杠動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。最終獲得行星滾柱絲杠的運(yùn)動(dòng)特性和動(dòng)力學(xué)特性，為其工業(yè)應(yīng)用提供了依據(jù)。

1 行星滾柱絲杠數(shù)學(xué)模型

行星滾柱絲杠在運(yùn)行時(shí)，尤其是在小信號(hào)的絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，其軸向位移可以分為嚙合接觸彈性變形量和傳動(dòng)軸向位移兩部分。

1.1 嚙合接觸彈性變形量

1.1.1 行星滾柱絲杠的赫茲理論模型

1896年，Hertz 在經(jīng)典赫茲彈性接觸理論基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出了關(guān)于兩彈性體點(diǎn)接觸的局部應(yīng)力和變形的經(jīng)典解［13］，經(jīng)典赫茲理論建立在如下假設(shè)條件上:

a. 兩個(gè)接觸表面光滑，只能夠產(chǎn)生彈性變形，且服從胡克定律。對(duì)于行星滾柱絲杠，可以假設(shè)各部件的加工表面是光滑的，在額定載荷工作條件下，接觸點(diǎn)處產(chǎn)生的塑性變形量不超過各轉(zhuǎn)動(dòng)體當(dāng)量半徑的千分之一，這樣可以認(rèn)為行星滾柱絲杠工作在彈性與塑性的臨界點(diǎn)處。

b. 等效接觸面的尺寸遠(yuǎn)小于接觸的轉(zhuǎn)動(dòng)體的表面曲率半徑。行星滾柱絲杠的嚙合運(yùn)動(dòng)中，絲杠與滾柱的接觸、滾柱與螺母的接觸都屬于點(diǎn)接觸，充分接觸之后相當(dāng)于小面接觸，接觸面相比接觸體曲率半徑相當(dāng)小，滿足假設(shè)。

c. 考慮接觸表面間的法向壓力載荷，不考慮接觸表面之間的切向摩擦力。行星滾柱絲杠屬高精度傳動(dòng)裝置，可以忽略各傳動(dòng)部件之間的摩擦力，把嚙合傳動(dòng)過程簡化為正壓力接觸傳動(dòng)。

用赫茲接觸理論方法求解點(diǎn)接觸，可以采用查表法獲得各參數(shù)數(shù)值，也可以根據(jù)接觸模型計(jì)算出的主曲率F(ρ)的值，經(jīng)過迭代或插值積分得到系數(shù)ma，mb，K(e)，L(e)的值，再代入應(yīng)力應(yīng)變表達(dá)式中求出接觸問題的解。本文為了獲得較精確的赫茲接觸理論解，將結(jié)合數(shù)值積分、數(shù)值迭代兩種方法對(duì)赫茲理論的偏心方程進(jìn)行求解，得到等效接觸橢圓的偏心率，進(jìn)而得到接觸橢圓長短半軸，再代入到應(yīng)力應(yīng)變公式中得到赫茲理論解。計(jì)算時(shí)，輸入的參數(shù)有三個(gè):行星滾柱絲杠基本結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料屬性及點(diǎn)接觸法相壓力載荷。

對(duì)于行星滾柱絲杠，簡化的赫茲點(diǎn)接觸模型如圖2 所示。在載荷Q 的作用下，螺紋嚙合接觸點(diǎn)將擴(kuò)展成為一個(gè)接觸面。絲杠－滾柱嚙合點(diǎn)接觸及滾柱－螺母嚙合點(diǎn)接觸部分可以簡化為一個(gè)橢圓，橢圓長軸為2a，短軸為2b。

圖2 行星滾柱絲杠赫茲點(diǎn)接觸模型

長半軸a 及短半軸b 的表達(dá)式如下:

接觸橢圓的長短半軸系數(shù)分別為

式中:k 為橢圓率，k=b/a;K(e)為第一類完全橢圓積分;L(e)為第二類完全橢圓積分。k(e)，L(e)可分別由下式求出:

根據(jù)赫茲理論，得到

式中:Q 為法向壓力;δ 為接觸彈性趨近量;E'為當(dāng)量彈性模量;E1，E2為兩接觸物體的彈性模量;μ1，μ2為兩接觸物體的泊松比;∑ρ 為兩物體在接觸點(diǎn)處的主曲率的和;橢圓偏心率e 與橢圓率k的關(guān)系為

主曲率函數(shù)F(ρ)由下式計(jì)算得到:

也可以表示為

若已知接觸物體在接觸點(diǎn)處的各個(gè)主曲率，則可以由式(7)或式(8)得到主曲率函數(shù)，然后進(jìn)行數(shù)值迭代得到偏心率e，再得到長短半軸系數(shù)ma，mb，最后得到彈性趨近量δ。

1.1.2 嚙合接觸面曲率計(jì)算

行星滾柱絲杠副中絲杠與滾柱接觸時(shí)，其第一、二主曲率分別為

行星滾柱絲杠副中滾柱與螺母接觸時(shí)，其第一、二主曲率分別為

行星滾柱絲杠結(jié)構(gòu)基本參數(shù)如表1 所示。

表1 行星滾柱絲杠基本結(jié)構(gòu)參數(shù)

由公式(9)得絲杠－滾柱接觸主曲率ρ11=0.357 1，ρ12=0.246 6，ρ21=0，ρ22=0.108 9，進(jìn)而可得絲杠－滾柱的主曲率函數(shù)如下:

由公式(10)得滾柱－螺母接觸主曲率ρ11=0.357 1，ρ12=0.246 6，ρ21=0，ρ22=0.042 9，進(jìn)而可得滾柱－螺母的主曲率函數(shù)如下:

1.1.3 彈性變形量計(jì)算

行星滾柱絲杠材料選用42CrMo4，其材料性能參數(shù):93 ℃時(shí)，彈性模量210 GPa，密度7 800 kg/m3，泊松比0.29。

對(duì)第一、第二類完全橢圓積分K(e)，L(e)，采用龍貝格(Romberg)積分法進(jìn)行數(shù)值積分，積分表達(dá)式如下:

式中:a=0;b=π/2;Tm，k為2m－2 階牛頓－科特斯(Newton－Cotes)公式計(jì)算結(jié)果;對(duì)于第一類完全橢圓積分對(duì)于第二類完全橢圓積分

式中F(ρ)由式(11)～(12)計(jì)算得到，式(8)為關(guān)于橢圓偏心率e 的方程，編制數(shù)值積分及數(shù)值迭代的Matlab 程序求解得到e 值，將得到的e 值代入到式(5)中，可得最大彈性變形量δ。

a. 絲杠－滾柱點(diǎn)接觸理論求解

不同載荷軸向Q 作用下，絲杠－滾柱接觸橢圓面的長、短軸隨載荷的變化曲線如圖3 所示，接觸點(diǎn)彈性趨近量隨載荷的變化曲線如圖4 所示。

b. 滾柱－螺母點(diǎn)接觸理論求解

不同載荷軸向Q 作用下，滾柱－螺母接觸橢圓面的長、短軸隨載荷的變化曲線如圖5 所示，接觸點(diǎn)彈性趨近量隨載荷的變化曲線如圖6 所示。

圖3 長、短軸變化曲線

圖4 彈性變形量變化曲線

圖5 長、短軸變化曲線

圖6 彈性變形量變化曲線

1.2 傳動(dòng)軸向位移

行星滾柱絲杠三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)部件的節(jié)圓半徑影響相對(duì)轉(zhuǎn)速的大小，各部件的螺紋導(dǎo)程及螺紋旋向決定螺母的軸向進(jìn)給量。絲杠與滾柱之間存在軸向位移差，但由于螺母與滾柱螺紋節(jié)距匹配及螺母持環(huán)的約束，滾柱相對(duì)于螺母無相對(duì)軸向位移，只做平面轉(zhuǎn)動(dòng)。

1.2.1 行星滾柱絲杠無滑移傳動(dòng)

行星滾柱絲杠副無滑移傳動(dòng)形式如圖7 所示，絲杠與滾柱運(yùn)動(dòng)過程中相切于節(jié)圓切點(diǎn)B，滾柱與螺母相切于節(jié)圓切點(diǎn)A。

圖7 行星滾柱絲杠無滑移傳動(dòng)

由于螺母無周向速度，故A 點(diǎn)周向速度為零;由于絲杠有自轉(zhuǎn)角速度ωS，故滾柱B 點(diǎn)的軸向速度如下式:

由運(yùn)動(dòng)關(guān)系可得，滾柱的圓心速度:

假設(shè)絲杠轉(zhuǎn)過θS角度，其節(jié)圓上B 點(diǎn)轉(zhuǎn)過的弧長為sB=rSθS，由圓心速度方程可知，滾柱中心O 轉(zhuǎn)過弧長為

約束點(diǎn)B 相應(yīng)的轉(zhuǎn)角如下式:

式中:a 為絲杠與滾柱的中心距。

故行星滾柱絲杠的傳動(dòng)關(guān)系為

式中:l 為軸向傳動(dòng)位移;pS為絲杠導(dǎo)程;pR為滾柱導(dǎo)程;當(dāng)絲杠與滾柱螺紋旋向相同時(shí)取正號(hào)，當(dāng)絲杠與滾柱螺紋旋向相反時(shí)取負(fù)號(hào)。

行星滾柱絲杠的結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式(18)，且本文采用的行星滾柱絲杠副絲杠與滾柱螺紋旋向相反，取負(fù)號(hào)得

1.2.2 行星滾柱絲杠有滑移傳動(dòng)

當(dāng)考慮行星滾柱絲杠副運(yùn)動(dòng)過程中絲杠與滾柱接觸嚙合滑動(dòng)時(shí)，絲杠相對(duì)傳動(dòng)螺母轉(zhuǎn)角為θ'SC，如圖8 所示。

圖8 行星滾柱絲杠有滑移傳動(dòng)

絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)2π 角度時(shí)，絲杠、滾柱、螺母轉(zhuǎn)角的關(guān)系滿足下式:

式中:θ'R為滾柱轉(zhuǎn)角;θ'SC為絲杠相對(duì)于螺母轉(zhuǎn)角;θ'S為絲杠轉(zhuǎn)角。

絲杠實(shí)際轉(zhuǎn)過角度與絲杠滑動(dòng)轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系如下式:

結(jié)合式(20)～(21)有:

行星滾柱絲杠運(yùn)動(dòng)過程中，考慮嚙合滑動(dòng)，滾柱轉(zhuǎn)角應(yīng)小于沒有嚙合滑動(dòng)條件下的轉(zhuǎn)角，絲杠滑動(dòng)轉(zhuǎn)角小于沒有嚙合滑動(dòng)條件下的轉(zhuǎn)角，用下面條件表示:

代入到上式有:0 ≤θ'SC≤θSC，查有關(guān)行星滾柱絲杠技術(shù)資料可知，在額定載荷下，絲杠滑動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)量之間滿足關(guān)系式θslide= 0.005θS，有:

由式(24)可得行星滾柱絲杠副傳動(dòng)關(guān)系如下式:

當(dāng)絲杠與滾柱螺紋旋向相同時(shí)取正號(hào)，當(dāng)絲杠與滾柱螺紋旋向相反時(shí)取負(fù)號(hào)。結(jié)合行星滾柱絲杠副結(jié)構(gòu)參數(shù)得

2 行星滾柱絲杠有限元分析

2.1 行星滾柱絲杠有限元模型

行星滾柱絲杠的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，螺紋數(shù)量多，考慮到有限元計(jì)算效率，本文對(duì)行星滾柱絲杠的模型進(jìn)行了簡化，如圖9 所示，取等長度的絲杠、滾柱及螺母接觸部分進(jìn)行建模，模型中略去了滾柱中心圓柱部分及絲杠中心圓柱部分。

圖9 行星滾柱絲杠有限元模型

考慮行星滾柱絲杠螺紋結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，螺紋接觸部分采用四面體網(wǎng)格劃分，設(shè)置C3D4 網(wǎng)格單元。每條螺紋面上三層網(wǎng)格，盡量減少網(wǎng)格數(shù)量，總網(wǎng)格數(shù)量為67 944。

定義行星滾柱絲杠材料密度為7.8E－9 ton/mm3，彈性模量為210 000 MPa，泊松比為0.29。螺紋嚙合接觸采用“surface－to－surface”小滑移接觸類型，切向庫倫摩擦系數(shù)為0.3，法向設(shè)置為硬接觸。

設(shè)置兩個(gè)分析步，第一個(gè)分析步施加預(yù)緊拉力，如圖10 所示，使螺紋嚙合充分接觸，第二個(gè)分析步施加絲杠扭矩，如圖11 所示，在扭矩作用下使?jié)L柱、螺母轉(zhuǎn)動(dòng)。第一個(gè)分析步中釋放滾柱及螺母軸向方向自由度，約束三個(gè)部件其他所有自由度，對(duì)螺母施加軸向預(yù)緊力，滾柱和螺母產(chǎn)生軸向位移;第二個(gè)分析步在第一個(gè)分析步基礎(chǔ)上，釋放絲杠、滾柱及螺母轉(zhuǎn)動(dòng)方向自由度，在絲杠扭矩作用下三個(gè)部件產(chǎn)生角位移，滾柱和螺母有軸向位移。

圖10 軸向預(yù)緊力曲線

圖11 絲杠扭矩曲線

2.2 行星滾柱絲杠有限元仿真

對(duì)螺母施加如圖10 所示的預(yù)緊力，對(duì)絲杠施加如圖11 所示的扭矩載荷，總計(jì)算時(shí)間為0.001 s。計(jì)算完成后提取兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)行星滾柱絲杠應(yīng)力分布云圖，如圖12 ～13 所示。

圖12 0.000 313 6 s 時(shí)刻米塞斯應(yīng)力分布

圖13 0.000 704 s 時(shí)刻米塞斯應(yīng)力分布

從行星滾柱絲杠應(yīng)力分布云圖可以看出，行星滾柱絲杠副運(yùn)動(dòng)過程中螺紋嚙合處接觸比較充分，各部件的應(yīng)力分布比較均勻。從表2 中各部件最大米塞斯應(yīng)力可知，絲杠與滾柱比螺母的最大應(yīng)力大，這是因?yàn)榻z杠與滾柱絲杠側(cè)的接觸螺紋的曲率較大，接觸更趨近于點(diǎn)接觸，0.000 313 6 s 時(shí)刻滾柱絲杠側(cè)及0.000 704 s 時(shí)刻絲杠與滾柱最大應(yīng)力超過了材料屈服應(yīng)力，材料局部進(jìn)入塑性屈服。

表2 行星滾柱絲杠最大應(yīng)力分布

在0.000 2 s 之后，絲杠在扭矩作用下開始轉(zhuǎn)動(dòng)，圖14(a)～(c)所示分別為絲杠角位移曲線、滾柱角位移曲線及螺母角位移曲線。滾柱的自轉(zhuǎn)方向與絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反，螺母與絲杠的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反。

圖14 行星滾柱絲杠動(dòng)力學(xué)響應(yīng)曲線

圖14(d)～(e)分別為滾柱軸向位移曲線、螺母軸向位移曲線。0.000 2 s 時(shí)刻，螺母參考點(diǎn)受到的軸向拉力為100 N，平均分布在每個(gè)螺紋接觸點(diǎn)處的拉力為20 N，從圖中數(shù)據(jù)可得0.000 2 s 時(shí)刻滾柱軸向位移為0.001 640 42 mm，與赫茲理論分析得到的彈性變形量0.001 6 mm 相比，相對(duì)誤差為2.5%。0.000 2 s 時(shí)刻之后，滾柱及螺母最大正向軸向位移在0. 000 284 8 s 時(shí)刻達(dá)到，分別為0.001 767 59 mm，0.003 402 09 mm。在實(shí)際進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)中，在預(yù)緊力作用下的螺母的正向軸向位移需作為補(bǔ)償引入到運(yùn)動(dòng)模型中。

圖14(f)為螺母軸向位移在0.000 2 s 之后隨絲杠角位移變化曲線，即行星滾柱絲杠傳動(dòng)關(guān)系曲線。從圖中得到曲線斜率為0.300 010，與理論分析得到的有滑移條件下的螺母軸向位移隨絲杠角位移變化率0.300 882 4 符合很好，誤差只有0.29%。

3 結(jié) 論

本文首先根據(jù)實(shí)際應(yīng)用中的小轉(zhuǎn)角運(yùn)動(dòng)建立了行星滾柱絲杠的數(shù)學(xué)模型，把行星滾柱絲杠的軸向位移分解為嚙合接觸彈性變形量和傳動(dòng)軸向位移，用Hertz 接觸理論求解了不同載荷下嚙合接觸彈性變形量，并推導(dǎo)了行星滾柱絲杠傳動(dòng)關(guān)系;在此基礎(chǔ)上建立了行星滾柱絲杠的有限元模型，通過有限元仿真獲得了行星滾柱絲杠的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。主要研究結(jié)論如下:

a. 在一定預(yù)緊力下，行星滾柱絲杠螺紋嚙合處發(fā)生彈性變形，在行星滾柱絲杠精確控制系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)對(duì)這部分彈性變形量進(jìn)行補(bǔ)償。

b. 通過有限元方法獲得了行星滾柱絲杠螺紋嚙合點(diǎn)接觸的應(yīng)力分布及各部件的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)曲線，結(jié)合理論推導(dǎo)的傳動(dòng)比，為行星滾柱絲杠在進(jìn)給系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用提供了依據(jù)。

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