雷 陽 張劍韜 宋 凱 魏 國 朱春波 陳清泉

（哈爾濱工業(yè)大學電氣工程及自動化學院 哈爾濱 150001）

1 引言

電磁感應式無線電能傳輸（簡稱ICPT）與傳統(tǒng)的供電方式相比，具有安全性、便捷性、可靠性等優(yōu)點，因此具有較大的研究價值與廣泛的應用前景。隨著技術不斷發(fā)展，ICPT技術在生物醫(yī)學、電動汽車、家用電器等眾多領域均有不俗的貢獻。

目前，針對 ICPT系統(tǒng)的研究多集中在“一對一”系統(tǒng)，即一個初級線圈對應一個次級線圈的系統(tǒng)。隨著需求的發(fā)展，“一對二”甚至“一對多”系統(tǒng)也逐漸得到關注與研究。

國外，文獻[1]研究了多發(fā)射線圈系統(tǒng)和多接收線圈系統(tǒng)，由于多發(fā)射線圈或多接收線圈之間的耦合，使得最大效率點和最大功率點都發(fā)生改變，為此提出了多負載系統(tǒng)要實現(xiàn)最大功率輸出、最大效率輸出需滿足的條件。新西蘭奧克蘭大學在文獻[2]中側重研究在新負載接入時產(chǎn)生的浪涌電流的控制方法，同時在文獻[3]中研究了新負載接入頻率抖動的控制方法。美國佛羅里達大學在文獻[4]中對M個初級線圈并聯(lián)、N個次級線圈的ICPT系統(tǒng)進行過探討，研究發(fā)現(xiàn)多次級線圈結構中某線圈的傳輸功率隨附于其他線圈上的負載的變化不敏感。

國內(nèi)，文獻[5]主要研究多負載系統(tǒng)的頻率穩(wěn)定性，次級側負載數(shù)量變化導致系統(tǒng)的工作頻率產(chǎn)生漂移，不但使系統(tǒng)的傳輸功率和效率下降，而且影響了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由此提出了三種控制策略：π形補償網(wǎng)絡結構、動態(tài)補償電感控制策略、動態(tài)開關電容陣列穩(wěn)頻控制。文獻[6]研究了多負載解耦控制方法和多負載的負載類型識別。

感應式無線電能傳輸系統(tǒng)采用補償拓撲以改善系統(tǒng)功率傳輸能力，但同時會導致系統(tǒng)等效高階數(shù)學模型可能會存在多個實數(shù)解，即系統(tǒng)出現(xiàn)多個諧振點，這一現(xiàn)象會對系統(tǒng)頻率控制帶來難題，導致系統(tǒng)穩(wěn)定性降低。為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和功率傳輸能力，需要使系統(tǒng)工作在單諧振點區(qū)域。文獻[7]分析了單負載 ICPT系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，而本文則擴展研究多負載ICPT系統(tǒng)的穩(wěn)定條件。

本文利用次級系統(tǒng)等效到初級系統(tǒng)的反映阻抗的概念，通過對多負載 ICPT系統(tǒng)初級側阻抗零相角的分析以獲取單諧振點條件。

2 多負載ICPT系統(tǒng)模型

2.1 系統(tǒng)簡介

感應式無線電能傳輸技術通過磁場耦合的方式傳遞能量，發(fā)射線圈提供交變電磁場，接收線圈在感應到的交變電磁場的作用下產(chǎn)生感生電動勢，給負載提供能量，從而實現(xiàn)電能的無線傳輸。

圖1 感應式無線電能傳輸示意圖Fig.1 Schematic diagram of ICPT

ICPT系統(tǒng)與傳統(tǒng)的松耦合變壓器相似，由于輸出電流和電壓的大小很大程度依賴于負載阻抗的大小，系統(tǒng)功率傳輸能力受到限制，為了有效的改善這種情況，采用次級補償技術；同時，初級繞組電感值較大，且系統(tǒng)一般工作在高頻條件下，導致系統(tǒng)需提供大量無功功率，功率因數(shù)下降。為了提高發(fā)射端功率因數(shù)，降低發(fā)射端功率負荷，采用初級補償技術[8]。

初、次級補償拓撲主要分為4種，PSSS，PSSP，PPSP，PPSS，其中第一個和第三個字母中的P和 S分別代表初級側和次級側，第二個和第四個字母中的P或S分別代表串聯(lián)補償或并聯(lián)補償，如圖2所示。

圖2 ICPT系統(tǒng)四種補償拓撲Fig.2 Four kinds of compensation topologies of ICPT system

補償結構雖然提高 ICPT系統(tǒng)功率傳輸能力，提高系統(tǒng)品質(zhì)因數(shù)，但是導致系統(tǒng)初級側可能存在多個諧振點，使得系統(tǒng)穩(wěn)定性降低。因此，需要對系統(tǒng)模型進行深入分析。

2.2 系統(tǒng)模型

為了研究多負載 ICPT穩(wěn)定性問題，首先需要研究系統(tǒng)次級系統(tǒng)反映到初級側的阻抗值。本文利用互感耦合模型，以 PSSP補償拓撲為例，分析雙負載 ICPT系統(tǒng)次級側的反映阻抗，在此基礎上進一步推廣到多負載系統(tǒng)的反映阻抗。

圖3 雙負載ICPT系統(tǒng)電路圖Fig.3 Circuit diagram of dual-load ICPT system

圖3為雙負載ICPT系統(tǒng)等效電路圖，其中LP、L1、L2分別為初級繞組、次級兩個繞組的電感值，CP、C1、C2分別為初級側、兩次級側的補償電容值，k1、k2、k12分別為初級繞組與次級繞組、兩次級繞組之間的耦合系數(shù)，ZP、Z1、Z2分別為初級側和兩次級側的總阻抗。

根據(jù)互感耦合理論，雙負載 ICPT系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表達為

為了方便理論公式的化簡與分析，給出系統(tǒng)中具體參數(shù)的表達式，如表1所示。

表1 雙負載ICPT系統(tǒng)具體參數(shù)表達式Tab.1 Specific parameter expression ofdual-load ICPT system

由式（1）得到兩次級側的總反映阻抗為

一般情況下次級繞組之間互感很小，為了方便分析，本文忽略不考慮次級繞組之間的相互耦合，即M12=0。次級側反映阻抗可化簡為

以下推導過程不詳細給出。通過公式化簡，兩種次級補償結構下，N個負載的ICPT系統(tǒng)反映阻抗的實部和虛部統(tǒng)一表達為

式中，kPi為第i個次級繞組與初級繞組的耦合系數(shù)，i為次級系統(tǒng)編號，在 N 負載 ICPT 系統(tǒng)中 i=1,2，··，N；αi、βi分別為第i個次級系統(tǒng)反映阻抗的實系數(shù)和虛系數(shù)，與第i個次級系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)QSi（當次級系統(tǒng)為串聯(lián)補償時，QSi=ωiLi/RLi）和角頻率歸一化參數(shù)ωni有關，在次級側并聯(lián)和串聯(lián)兩種補償拓撲下，其具體表達式如表2所示。

表 2 雙負載ICPT系統(tǒng)αi、βi表達式Tab.2 The expression of αi、βIin dual-load ICPT system

3 多負載ICPT系統(tǒng)穩(wěn)定條件

感應式無線電能傳輸系統(tǒng)使用補償電容以改善系統(tǒng)功率傳輸能力，但同時會導致系統(tǒng)等效高階數(shù)學模型可能會存在多個實數(shù)解，即系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象。本文采用初級阻抗角存在唯一零點的方法分析雙負載 ICPT系統(tǒng)穩(wěn)定條件，再進一步擴展到多負載ICPT系統(tǒng)。

為了便于推導，本文有以下假設：不考慮次級繞組之間的互感對系統(tǒng)的影響；所有次級系統(tǒng)的諧振頻率一致，ωi=ω0；所有次級系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)一致，Qi=QS。

式（5）的解就是初級系統(tǒng)零相角諧振點。系統(tǒng)的穩(wěn)定條件即該方程僅存在唯一解的條件。

在 ICPT系統(tǒng)的設計中，一般需要合理選擇初級補償電容，使得初級諧振頻率和次級諧振頻率一致，從而獲得較大的功率輸出能力。因此，當ω=ω0時，系統(tǒng)初級側工作在諧振狀態(tài)，此時滿足阻抗角為零。結合式（4）和式（5）可得到初級系統(tǒng)補償電容，具體如表3所示。

結合式（4）和式（5）以及表3中初級補償電容值，得到

f(QS,k1,… ,kN,ωn)為一多項式函數(shù)，可以看出，ωn=1為方程的解，即次級諧振頻率為系統(tǒng)固定的零相角點。為了保證該點為系統(tǒng)唯一的零相角點，則 f(QS,kP1,kP2,ωn)=0滿足在任何情況下無解。

表3 次級諧振頻率下的初級諧振電容Tab.3 The primary resonance capacitance at secondary resonance frequency

在PSSP和PSSS補償下，f函數(shù)均可表達為

對于PSSP補償拓撲下的雙負載ICPT系統(tǒng)，

對于PSSS補償拓撲下的雙負載ICPT系統(tǒng)，

為了保證 f(QS,kP1,… ,kPN,ωn)=0無解，只需滿足b2?4ac＜0即可?；喌玫絻煞N補償結構下雙負載ICPT系統(tǒng)穩(wěn)定條件為

同理，根據(jù)次級側導納角的單零點條件可以求得PPSP和PPSS兩種補償結構下的系統(tǒng)穩(wěn)定條件。最終，獲得多負載ICPT系統(tǒng)穩(wěn)定條件，如表4所示。

表4 多負載ICPT系統(tǒng)穩(wěn)定條件Tab.4 The stability conditions of multi-load ICPT system

為了驗證以上理論的正確性，本文以雙負載ICPT系統(tǒng)為例，對PSSP和PSSS補償拓撲的穩(wěn)定條件進行了仿真分析。具體仿真參數(shù)詳見附錄中表5所示。

表5 雙負載ICPT系統(tǒng)仿真參數(shù)Tab.5 Simulation parameters of dual-load ICPT system

圖4為不同負載阻值下，系統(tǒng)初級側阻抗角隨工作頻率的變化曲線。由圖可知，對 PSSP補償拓撲，當負載電阻R＞135 Ω時，初級系統(tǒng)出現(xiàn)3個零相角點，當負載電阻R＜135 Ω時，系統(tǒng)僅存在1個零相角點；對PSSS補償拓撲，當負載電阻R＜6 Ω時，初級系統(tǒng)出現(xiàn)3個零相角點，當負載電阻R＞6 Ω時，系統(tǒng)僅存在1個零相角點。結合表4中公式及表5中系統(tǒng)參數(shù)，計算得到PSSP和PSSS補償拓撲下的穩(wěn)定臨界電阻值分別為134.80 Ω、6.24 Ω，誤差均在5%以內(nèi)，驗證了理論公式的正確性。

圖4 雙負載ICPT系統(tǒng)初級阻抗角Fig.4 Primary impedance angle of dual-load ICPT system

圖5 多負載ICPT系統(tǒng)的臨界負載阻值Fig.5 The critical load value of multi-load system

針對表 5所示系統(tǒng)，本文利用 MATLAB得到了四種補償拓撲下系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界負載電阻值隨負載個數(shù)變化曲線，如圖5所示。由圖可知，對于PSSP和 PPSP補償拓撲，負載個數(shù)增加使得臨界負載阻值降低，且耦合系數(shù)越低，臨界負載阻值越高，系統(tǒng)穩(wěn)定工作區(qū)在臨界線下方；對于PSSS和PPSS補償拓撲，負載個數(shù)增加使得臨界負載阻值變大，且耦合系數(shù)越低，臨界負載阻值越低，系統(tǒng)穩(wěn)定工作區(qū)在臨界線上方。

4 結論

本文利用互感耦合模型，研究了多負載 ICPT系統(tǒng)次級側等效到初級側的反映阻抗。為了保證最大功率傳輸能力，需要保證初級側諧振頻率與次級側諧振頻率相等，為此，本文給出了四種補償拓撲下的初級諧振電容值，為多負載 ICPT系統(tǒng)的設計提供了理論基礎。多負載 ICPT系統(tǒng)穩(wěn)定工作的條件，即為系統(tǒng)存在唯一零相角諧振點的條件，由此本文得到了系統(tǒng)穩(wěn)定工作需要滿足的條件，并通過仿真分析驗證了理論的正確性：當初級繞組和所有次級繞組之間耦合系數(shù)的平方和與次級系統(tǒng)品質(zhì)因數(shù)滿足穩(wěn)定條件時，系統(tǒng)穩(wěn)定工作。本文的研究結果對于多負載 ICPT系統(tǒng)的優(yōu)化設計具有重要的參考價值。

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