陸曉峰

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2015）21-0072-02

“創(chuàng)新是一個民族進步的靈魂”，創(chuàng)新能力培養(yǎng)的關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，那么什么是創(chuàng)造性思維？創(chuàng)造性思維是指對所用的材料，從新的角度，用新的程序方法處理加工信息，從而獲得新成果的思維活動和過程。創(chuàng)造性思維的基礎(chǔ)是發(fā)散思維，變式教學(xué)具有多元化、多途徑、開放式的設(shè)問和變化， 因此在教學(xué)中發(fā)散思維培養(yǎng)的關(guān)鍵是變式教學(xué)，那么如何進行變式教學(xué)？

變式教學(xué)要把握“變”的切入點，可以從對知識的理解上切入、從對方法的反思上切入、從對條件的反思上切入、從問題的呈現(xiàn)形式上切入，變條件、變形式、變結(jié)構(gòu)、變內(nèi)容改變?yōu)橐粋€新題，都是構(gòu)造變式的有效方法。在教學(xué)方法上采用探究式的教學(xué)， 讓學(xué)生通過對“變”這個過程的參與、體會、實踐，培養(yǎng)他們發(fā)散思維的能力和挖掘創(chuàng)新的潛力，激發(fā)他們對問題研究的激情，形成探究意識。下面結(jié)合案例談?wù)勛兪浇虒W(xué)的實踐。

例1 已知集合A =[1，4） ， B = （ - ∞， a） ，若A∪B ，求實數(shù)a 的取值范圍。

變式1 A = [1，4） ， B = （ - ∞， a） ，若A B ， 求a 的取值范圍。

變式2 A = [1，4） ， B = （ - ∞， a） ，若A B ， 求a 的取值范圍。

變式3 A = [1， a） ， B = （ - ∞，4） ，若A∪B ， 求a 的取值范圍。

點評：本題從條件加以變換，屬于一般層次變題。變式1 、2 只是對集合A 、B 的包含關(guān)系進行變換，變式3則是對集合本身進行變換，這種變換有助于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新意識。本題還可根據(jù)解答的結(jié)果對a 的范圍進行改造，反過來求集合A 與B 的包含關(guān)系，它又是原命題的逆向改造。

例2 已知一曲線是與兩定點O （0 ，0） 、A （3 ，0） 距離的比為的點的軌跡，求曲線的軌跡方程。

變式1 已知一曲線是與兩個定點O （0 ，0） 、A （3 ，0） 距離的比為k （ k > 0） 的點的軌跡， 求此曲線的方程， 并說明是什么曲線。

（略解） 由兩點間的距離公式，點M 所適合的條件可以表示為=k，將上式兩邊平方、化簡得（1-k2）x2+（1-k2）y2-6k2x-9k2=0，易知當(dāng)k = 1 時曲線為直線；當(dāng)k > 0 且k ≠1 時曲線為圓。

變式2 已知一曲線是到定點A （3 ，0） 的距離與到定直線x=的距離的比為的點的軌跡， 求此曲線的方程。

（略解） 由橢圓的第二定義知道，該軌跡是橢圓。

變式3 已知一曲線是到定點A （3 ，0） 的距離與到定直線x=的距離的比為的點的軌跡， 求此曲線的方程。

（略解） 由雙曲線的第二定義易知該軌跡是雙曲線。

變式4 已知一曲線是到定點A （3，0）的距離與到定直線x = - 3 的距離的比為1的點的軌跡，求此曲線的方程。

（略解） 易知該軌跡是拋物線。

點評：挖掘條件將其一般化，是設(shè)計變式的一種重要策略，變式1將條件從特殊化為一般，對曲線的形狀判定考察了分類討論的思想，提高學(xué)生應(yīng)變能力，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)；變式2、3、4，這是從較高層次變題，形相似質(zhì)不同。進一步挖掘條件，將條件中兩定點其中一點變?yōu)橹本€加深了學(xué)生對圓錐曲線定義的理解，使學(xué)生對知識的學(xué)習(xí)做到融會貫通。

例3 tan20O+tan40O+tan20Otan40O=的變式教學(xué)

析：改變20O、40O兩個角，等式是否成立？改變題型結(jié)構(gòu)我們可以得到：

變式1 tan？+tan？+tan？tan？=

變式2 能否得到一般性的結(jié)論？將問題一般化，得到命題：

若 + 60O，則tan +tan +tan tan =tan（ + ）。

變式3 能否改變 、 與常數(shù)，等式右邊仍然為常數(shù)？

tan？+tan？+tan？tan？=常數(shù)

變式4 能否進一步推廣？

tan +tan +tan tan =tan（ + ）

變式5 在“變式4”中若 + =225O，結(jié)論如何？

（1+tan ）（1+tan ）=2

變式6 若 + + =n ，n∈z結(jié)論如何？

tan +tan +tan =tan tan tan

變式7 令a=x-y， =y-x， =z-x結(jié)論如何？

tan（x-y）+tan（y-z）+tan（z-x）=tan（x-y）tan（y-z）tan（z-x）

點評：本題變式采用對命題條件與結(jié)論對調(diào)，探究逆命題是否成立，將條件從特殊化為一般，改變結(jié)構(gòu)等技巧。教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生主動參與探索，運用探究教學(xué)既改善了傳統(tǒng)的教學(xué)方式，也培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自主性、能動性和創(chuàng)造性，能促進學(xué)生形成良好的認知結(jié)構(gòu)，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例4 已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=1，an+2=an+1+an，求an。

變式1：數(shù)列{an}中，已知an+2+an+1=6an，寫出符合條件的其中一個數(shù)列的通項公式。

解：an=2n，an=（-3）n，

an=a·2n，an=b·（-3）n（a，b∈R）

an=a·2n+b·（-3）n（a，b∈R）

變式2：數(shù)列{an}中，已知a2=1，an+2+an+1=6an，寫出符合條件的其中一個數(shù)列的通項公式。

解：an=2n而an=（-3）n，則不符合

an=a·2n，an=b·（-3）n（a，b∈R）

an=a·2n+b·（-3）n（a，b∈R）

a2=a·22+b·（-3）2時滿足。

即只要滿足4a+9b=1時就行。如a=或b=時，滿足。

變式3：數(shù)列{an}中，已知a1=1，an+2+an+1=6an。求數(shù)列an的通項公式。

解： an=a·2n，an=b·（-3）n（a，b∈R）

an=a·2n+b·（-3）n（a，b∈R）

a1=a·21+b·（-3）1時滿足。

即只要滿足2a-3b=1時就行。如當(dāng)a=或b=-時，滿足。

變式4：數(shù)列{an}中，已知a1=1，an+2+an+1=6an。求數(shù)列an的通項公式。

條件an+2+an+1=6an成立，則滿足：

an=a·2n+b·（-3）n（a，b∈R）

條件a1=1成立，則滿足2a-3b=1

條件a2=1成立，則滿足4a+9b=1

三個條件同時滿足，則

所以：數(shù)列an的通項公式為an=·2n-·（-3）n。

點評：本題在變式技巧上從條件入手，先放棄一部分條件，也就是將原問題轉(zhuǎn)化為一個更一般的問題。約束條件少了，降低了門檻，使學(xué)生容易上手，再增加部分條件，使原題得到擴展，由淺入深，做到起點低、目標(biāo)高，小綜合，遵循“由簡單到復(fù)雜，再由復(fù)雜到簡單”，充分體現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生觸類旁通，舉一反三，收到事半功倍的效果。

變式教學(xué)中采用“一題多變”，不僅能加深學(xué)生基礎(chǔ)知識的理解和掌握，更重要的是開發(fā)學(xué)生智力、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、提高思維靈活性，增強了發(fā)散思維能力，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

（責(zé)任編輯 曾 卉）