改造者：尤國強 劉 輝 胡景勤

用于索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)找形的幾何非線性有限元法綜述

改造者：尤國強 劉 輝 胡景勤

索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)在施加預張力之前是柔性體，只有對其施加一定的預張力后才能使其具有確定的形狀和剛度。索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)的找形計算可以得到索網(wǎng)張拉后的形態(tài)、張力分布和結(jié)構(gòu)剛度等結(jié)構(gòu)性能結(jié)果。本文介紹了索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)找形的相關(guān)概念，并根據(jù)已有文獻綜述了用于找形計算的幾何非線性有限元法的基本原理和推導過程。

索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)找形中的狀態(tài)定義

在對索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)進行找形計算時，根據(jù)索張力的施加過程，可對應(yīng)將索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)的形態(tài)劃分為三個不同的狀態(tài)階段。

1.零狀態(tài)

零狀態(tài)時索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)中還未施加預張力，整個索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)可以看作僅是由一些具有給定幾何尺寸和位置的索段所組成的集合體。此時結(jié)構(gòu)不存在預張力，也不承受外部荷載的作用。

2.自平衡狀態(tài)

自平衡狀態(tài)是指索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)在自身預張力的作用下達到的力平衡狀態(tài)。該狀態(tài)下，索網(wǎng)受到沿索網(wǎng)展開方向的張拉作用，由未受力時的柔性體，形成具有一定形狀和剛度的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。

3.外載荷工作狀態(tài)

外載荷工作狀態(tài)是指索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)在自平衡狀態(tài)的基礎(chǔ)上，受到外載荷（承重、風載等）作用所達到的力平衡狀態(tài)。該狀態(tài)可以反映出索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)的具體工作性能。

零狀態(tài)下的索網(wǎng)是由一些柔軟索段聯(lián)結(jié)而成的柔性體，沒有固定的形狀和剛度。當對零狀態(tài)下的索網(wǎng)沿展開方向進行張拉后，它將達到自平衡狀態(tài)，此時索網(wǎng)內(nèi)的張力在仿真計算時被當作初始預張力來處理，而初始預張力的大小決定了索網(wǎng)的初始形狀和剛度。自平衡狀態(tài)在理論上可認為是在一定結(jié)構(gòu)邊界約束條件和機構(gòu)拓撲條件下，由索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)的幾何構(gòu)型和施加的初始預張力相互作用所產(chǎn)生的結(jié)果。只有在索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)達到自平衡狀態(tài)從而具有一定的剛度后，它才能承受外部載荷，進入工作狀態(tài)。

因此，為了準確分析索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)的力學性能，就需要在給定索網(wǎng)索段長度、預張力大小和約束條件的情況下，先計算得到索網(wǎng)的自平衡狀態(tài)。而這個求解索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)初始平衡態(tài)的問題也就是通常所謂的索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)的找形問題。

工程上通常將索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)的找形問題分為以下三類。

1.指定拓撲形態(tài)時的索網(wǎng)找形問題

通常工程實際中需要索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)能夠形成指定的形狀，從而滿足諸如大跨度屋頂或天線反射面等結(jié)構(gòu)的預定形狀要求。此時，需要在指定尺寸和位置的要求下，確定出索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)中索段的長度和索段內(nèi)預張力值的大小。

2.指定預應(yīng)力時的索網(wǎng)找形問題

有時為了滿足結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的要求，需要索網(wǎng)中的預應(yīng)力具有指定的合理分布狀態(tài)。此時，為了滿足這一指定的預應(yīng)力分布要求，則需要通過找形計算，確定出索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)的拓撲形態(tài)信息。

3.指定索網(wǎng)零狀態(tài)時的索網(wǎng)找形問題

當索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的索段長度、施加的預張力大小和拓撲形式都已經(jīng)給定時，需要根據(jù)這些已知條件計算出索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)的形狀和力學性能，以便進一步進行后面的外載荷分析。

指定拓撲形態(tài)時的索網(wǎng)找形問題是工程中最常見的找形問題。

幾何非線性有限元法

從上世紀50年代末到60年代初，有限元法逐漸成為結(jié)構(gòu)分析的主流方法。該方法是一種利用分片差值逼近的離散化方法。從工程和物理的角度來看，有限元法是把連續(xù)性問題轉(zhuǎn)化為離散問題并進行求解的方法；而從數(shù)學角度來看，有限元法是把偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程并對其進行求解的方法。非線性有限元法正是在有限元法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，它可以用于求解帶有非線性偏微分方程的復雜問題。

索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)的非線性特征主要體現(xiàn)在應(yīng)變與位移的幾何非線性關(guān)系上，在對索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)進行非線性有限元分析時，首先需要根據(jù)索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)的拓撲形式將其離散成若干個獨立的索單元；然后以這些索單元為基礎(chǔ)建立各索單元的剛度矩陣；接下來再根據(jù)索單元在整體結(jié)構(gòu)中的位置和相互連接關(guān)系，得到整體結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣；最后由指定的邊界條件迭代求解相應(yīng)的非線性有限元方程，從而得到自平衡態(tài)時的各索單元的節(jié)點位置和內(nèi)力分布。

為了便于整體上的理解，下面將給出索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)幾何非線性有限元分析的普遍推導過程。

在對索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)進行非線性有限元分析時，需要先做出如下假設(shè)：

1.索段被假定為只能受拉、不能受壓的索桿單元；

2.索桿單元的材料特性滿足胡克定律。

對于離散后的結(jié)構(gòu)，由虛功原理可寫出：

式中，δ｛d*｝T——虛位移；

δ｛ ε*｝T——對應(yīng)于虛位移的虛應(yīng)變；

｛σ｝——應(yīng)力矩陣；

｛p｝——外載荷列陣。

由應(yīng)變的增量形式，可得到應(yīng)變和位移的關(guān)系為：

式中，［B］——應(yīng)變矩陣。

上式即為增量形式的幾何方程，將此式代入式（1）可得：

索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)中單元位移和單元應(yīng)變之間的關(guān)系是非線性的，為了能夠明確表達出單元應(yīng)變的物理意義，這里將應(yīng)變矩陣寫為線性部分和非線性部分的組合形式：

［BNL］——索單元幾何非線性特性引起的非線性應(yīng)變部分。

另外，對于索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)而言，其材料特性仍為線性狀態(tài)，即應(yīng)力和應(yīng)變之間仍呈線彈性關(guān)系，因此有：

式中，［D］——材料特性矩陣；

｛σ0｝——初應(yīng)力矩陣。

由式（2）和式（7）可得：

為了求切線剛度矩陣，將上式兩邊對｛d｝取微分，可得：

將式（6）和式（7）代入上面和式中的第一項可以得到：

其中［Kσ］稱為初應(yīng)力矩陣。

再將式（8）、式（5）代入式（10）中和式的第二項可得：

其中，［Ke］和［Kg］分別稱為彈性矩陣和初始位移矩陣，并有：

此時，平衡方程最終可寫為如下形式：

上面的［KT］稱為總切線剛度矩陣。

至此本文整理出了索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)的幾何非線性有限元方法的推導計算過程。這些推導為索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)的找形計算提供了理論依據(jù)，并可以作為理論基礎(chǔ)進一步進行索網(wǎng)張拉結(jié)構(gòu)的外載荷平衡態(tài)分析計算和動力性能分析計算。

尤國強 劉 輝 胡景勤

西安翻譯學院

感謝陜西省教育廳專項項目（14JK2040）和院級科研項目（BK001）對本文的資助。

10.3969/j.issn.1001-8972.2015.16.040